运筹学-动态规划应用举例.ppt

1、第九章第九章 动态规划应用举例动态规划应用举例1 1 资源分配问题资源分配问题 将一定的资源将一定的资源(原料原料,资金资金,机器设备等机器设备等)恰恰当的分配给若干使用者当的分配给若干使用者,使总的目标函数值为最使总的目标函数值为最优。属静态规划问题优。属静态规划问题,人为的引入阶段因素。人为的引入阶段因素。1.1 1.1 一维一维资源分配问题资源分配问题静态规划模型静态规划模型 Max z=g Max z=g1 1(x(x1 1)+g)+g2 2(x(x2 2)+)+g gn n(x(xn n)x x1 1+x+x2 2+x xn n=a=a x xi 0 0 i=1,2,=1,2,n,n

2、原料总数为原料总数为a a,用于生产用于生产n n 种产品种产品,x xi 为分配为分配生产第生产第 i 种产品的原料数量种产品的原料数量,收益为收益为g gi i(x(xi i)。如何分配收益最大？如何分配收益最大？将将n n 种产品种产品(使用资源的对象、用户使用资源的对象、用户)划分为划分为n n 个阶段；个阶段；状态变量状态变量s sk k:分配给生产第分配给生产第k k 种产品至第种产品至第n n 种种 产品的原料数量产品的原料数量；决策变量决策变量x xk k(u(uk k):分配给生产第分配给生产第k k 种产品的原种产品的原 料数量料数量；状态转移方程：状态转移方程：s sk

3、k+1+1=s sk k x xk k状态允许集合状态允许集合(约束条件约束条件)：0 0s sk ka,sa,s1 1=a=a 决策允许集合：决策允许集合：0 0 x xk ks sk k ,x xn n=s sn n 动态规划递推关系动态规划递推关系例例1 5 5台设备台设备,3,3个工厂个工厂,可提供的盈利见下表可提供的盈利见下表,如何分配使利润最大？如何分配使利润最大？解解:甲甲,乙乙,丙三个工厂分别编号为丙三个工厂分别编号为1,2,31,2,3 设设 x x x xk k 分配给第分配给第k k 个工厂的设备台数。个工厂的设备台数。静态规划模型静态规划模型 Max z=p Max z

4、=p1 1(x(x1 1)+p)+p2 2(x(x2 2)+p)+p3 3(x(x3 3)x x1 1+x+x2 2+x+x3 3=5,x=5,x1 1,x,x2 2,x,x3 3 0 0 整数整数p pk k(x(xk k)x xk k 台设备分配到第台设备分配到第k k 个工厂的盈利数。个工厂的盈利数。盈盈盈盈 工厂工厂工厂工厂 利利利利设备台数设备台数设备台数设备台数甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙0 0 0 01 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 45 5 5 50 0 0 03 3 3 37 7 7 79 9 9 912121212131313130 0 0 05 5 5 5

5、101010101111111111111111111111110 0 0 04 4 4 46 6 6 6111111111212121212121212资源分配问题的阶段划分原则资源分配问题的阶段划分原则:有几个用户有几个用户,就把问题分成几个阶段。就把问题分成几个阶段。本题按工厂的个数本题按工厂的个数,分为分为3个阶段。个阶段。分析分析:k=3,k=3,把第把第3 3阶段初所拥有的所有设备全部分给阶段初所拥有的所有设备全部分给 工厂工厂3(3(单一用户分配单一用户分配)；k=2,k=2,把第把第2 2阶段初所拥有的所有设备全部分给阶段初所拥有的所有设备全部分给 工厂工厂2 2和工厂和工厂3

6、(23(2个用户分配个用户分配)；k=1,k=1,把第把第1 1阶段初所拥有的阶段初所拥有的5 5台设备全部分给台设备全部分给 工厂工厂1,1,工厂工厂2 2和工厂和工厂3(33(3个用户分配个用户分配)。状态变量状态变量s sk k :分配给第分配给第k k 个个工厂至第工厂至第3 3个个工厂的工厂的 设备台数设备台数；0 0s sk k5,s5,s1 1=5=5决策变量决策变量x xk k:分配给第分配给第k k 个个工厂的设备台数；工厂的设备台数；0 0 x xk ks sk k ,x xn n=s sn n状态转移方程：状态转移方程：s sk k+1+1=s sk k-x xk ks

7、sk k+1+1分配给第分配给第k+1k+1个个工厂至第工厂至第3 3个个工厂的设备台数工厂的设备台数最优值函数最优值函数 fk k (s sk k )s sk k台设备分配给第台设备分配给第k k 个个工厂至第工厂至第3 3个个工厂的最大盈利值。工厂的最大盈利值。递推基本方程递推基本方程k=3 k=3 0 0 0 0s s s s3 3 3 35,5,5,5,s s s s3 3 3 3 取值范围取值范围 s s s s3 3 3 3=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5 x x x x3 3 3 3 取值范围取值范围 x x x x

8、3 3 3 3=s=s=s=s3 3 3 3=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5将将x x x x3 3 3 3 的值逐个代入的值逐个代入基本方程基本方程,计算结果填入表中计算结果填入表中 x x x x3 3 3 3s s s s3 3 3 3P P P P3 3 3 3(x x x x3 3 3 3)f f3 3(s(s3 3)x x x x3 3 3 3*0 01 12 23 34 45 50 01 12 23 34 45 50 04 46 61111121212120 04 46 61111121212120 01 12 23

9、 34 45 5k=2 k=2 00s s2 25,5,s s2 2 取值范围取值范围 s s2 2=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5 对对s s2 2 的每取值的每取值,确定确定x x2 2 取值范围取值范围0 0 x x2 2s s2 2 根据状态转移方程根据状态转移方程 s s3 3 =s s2 2-x x2 2,确定确定s s3 3s s2 2=0,x=0,x2 2=0=0s s2 2=1,x=1,x2 2=0,1=0,1s s2 2=2,x=2,x2 2=0,1,2=0,1,2s s2 2=3,x=3,x2 2=0,1,2,3=0,1,2,3s s2 2=4,x=4,x

10、2 2=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4s s2 2=5,x=5,x2 2=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5s s3 3=s s2 2-x-x2 2=0=0 =1,0 =1,0 =2,1,0 =2,1,0 =3,2,1,0 =3,2,1,0 =4,3,2,1,0 =4,3,2,1,0 =5,4,3,2,1,0 =5,4,3,2,1,0k=1 sk=1 s1 1=5,=5,0 0 x x1 1s s1 1,x,x1 1 取值范围取值范围 x x1 1=0,1,2,3,4,5=0,1,2,3,4,5 根据状态转移方程根据状态转移方程 s s2 2 =s s1 1 x x1 1,

11、确定确定s s2 2 取值范围取值范围 s s2 2 =5,4,3,2,1,05,4,3,2,1,0 x x x x2 2 2 2s s s s2 2 2 2P P P P2 2 2 2(x x x x2 2 2 2)+)+)+)+f f3 3 3 3(s s s s3 3 3 3)f f2 2(s(s2 2)x x x x2 2 2 2*0 01 12 23 34 45 50 01 12 23 34 45 50+00+00+40+40+60+60+110+110+120+120+120+125+05+05+45+45+65+65+115+115+125+1210+010+010+410+41

12、0+610+610+1110+1111+011+011+411+411+611+611+011+011+411+4 11+011+00 05 510101414161621210 01 12 22 21,21,22 2 x x x x1 1 1 1s s s s1 1 1 1P P P P1 1 1 1(x x x x1 1 1 1)+)+)+)+f f2 2 2 2(s s s s2 2 2 2)f f1 1(5(5 )x x x x1 1 1 1*0 01 12 23 34 45 55 50+210+213+163+167+147+149+109+10 12+512+5 13+013+02

13、1210,20,2从从k=1,k=1,可得全过程最优指标函数可得全过程最优指标函数 f1 1(s(s1 1)=21)=21按决策顺序可推出按决策顺序可推出,有有2 2个最优决策方案个最优决策方案设备总数改为设备总数改为4 4台台,取取s s1 1=4,=4,只需修改只需修改k=1k=1 的表格的表格4 4台台 x x1 1*=1,=1,x x2 2*=2,=2,x x3 3*=1=1；f1 1(s(s1 1)=17)=17 或或x x1 1*=2,=2,x x2 2*=2,=2,x x3 3*=0=03 3台台 x x1 1*=0,=0,x x2 2*=2,=2,x x3 3*=1=1；f1

14、1(s(s1 1)=14)=14x x1 1*=0=0=0=0 x x2 2*=2=2x x3 3*=3=3s s2 2 =s s1 1-x x1 1*=5=5s s3 3 =s s2 2-x x2 2*=3=3(1(1(1(1)x x1 1*=2=2=2=2x x2 2*=2=2x x3 3*=1=1s s2 2 =s s1 1-x x1 1*=3=3s s3 3 =s s2 2-x x2 2*=1=1(2(2(2(2)这种只将资源合理分配不考虑回收这种只将资源合理分配不考虑回收,而决而决策变量取离散值的问题策变量取离散值的问题,称为称为资源平行分配问资源平行分配问题题。实际中。实际中,如货

15、物分配如货物分配,资金分配等。资金分配等。例例 有资金有资金4 4万元，投资万元，投资A A、B B、C C三个项目，每三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。三个项目三个项目A A、B B、C C的投资效益（万吨）和投入资的投资效益（万吨）和投入资金（万元）关系见表。金（万元）关系见表。求对三个项目的最优投资分配，使总投资效求对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。益最大。解：解：阶段阶段k k：每个投资项目作为一个阶段；每个投资项目作为一个阶段；状态变量状态变量s sk k：投资第投资第k k个项目至第个项目至第n n个项目的个项目的

16、 资金数；资金数；状态允许集合状态允许集合:0 0 s sk k4,s4,s1 1=4=4 决策变量决策变量u uk k:第第k k 个项目的投资；个项目的投资；决策允许集合决策允许集合D Dk k(u(uk k ):0 0 u uk ks sk k ,u un n=s sn n状态转移方程：状态转移方程：s sk k+1+1=s sk k-u uk k ；阶段指标：阶段指标：v vk k(s sk k ,u uk k)见表中所示；见表中所示；递推方程：递推方程：fk k(s sk k)=)=maxmaxv vk k(s sk k ,u uk k)+)+fk k+1+1(s sk k+1+1)f4 4(s s4 4)=0 k=3,2,1=0 k=3,2,1 k=3 k=3 f3 3(s s3 3)=max)=maxv v3 3(s s3 3,u u3 3)+)+f4 4(s s4 4)=max =maxv v3 3(s s3 3,u u3 3)s s3 3=u u3 3k=3k=3，s s3 3=u u3 3=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4 k=2k=2k=2k=2，0u0u0