二叉树期权定价模型在欧式期权和美式期权的应用.ppt

1、第五章第五章5.6二叉树定价模型介绍二叉树定价模型介绍11/5/20221陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院一个简单的二叉树模型一个简单的二叉树模型股票的现价为$20三个月之后股票的价格或为$22 或为$18Stock Price=$22Stock Price=$18Stock price=$2011/5/20222陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院Stock Price=$22Option Price=$1Stock Price=$18Option Price=$0Stock price=$20Option Price=?一份看涨期权一份看涨期权一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执

2、行价格为$21.11/5/20223陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院考虑一个资产组合:持有 D 份股票 成为一份看涨期权的空头当 22D 1=18D or D=0.25，资产组合是无风险的22D 118D构造无风险资产组合构造无风险资产组合11/5/20224陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院资产组合的估值资产组合的估值(无风险利率为无风险利率为无风险利率为无风险利率为 12%)12%)无风险组合为:持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头三个月后组合的价值为 220.25 1=4.50组合在时刻0的价值为 4.5e 0.120.25=4.367011/5/20225陕西科技大学理学院

3、陕西科技大学理学院期权的估值期权的估值资产组合为 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670股票的价值是 5.000(=0.2520)从而，期权的价格为 0.633(=5.000 4.367)11/5/20226陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院推广到一般情形推广到一般情形一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 TSu uSd dS11/5/20227陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院推广到一般情形推广到一般情形(continued)(continued)考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头当 D满足下面的条件时，组合为无风险：SuD u=S

4、d D d orSuD uSdD d11/5/20228陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院推广到一般情形推广到一般情形(continued)(continued)组合在时刻 T的价值为 Su D u组合在时刻0的价值为 (Su D u)erT组合在时刻0 的价值又可以表达为 S D f从而 =S D (Su D u)erT 11/5/20229陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院推广到一般情形推广到一般情形(continued)(continued)于是，我们得到 =p u+(1 p)d erT其中 11/5/202210陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院Risk-Neutral Valu

5、ation=p u+(1 p)d e-rT变量 p和(1 p)可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值Su uSd dSp(1 p)11/5/202211陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院最初例子的修正最初例子的修正由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.12 0.25 =22p +18(1 p);p=0.6523或者，我们可以利用公式Su =22 u=1Sd =18 d =0S p(1 p)11/5/202212陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院期权的估值期权的估值 期权的价值为 e0.120.25 0.65231+0.34770 =0.

6、633Su =22 u=1Sd =18 d =0S0.65230.347711/5/202213陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院两步二叉树模型两步二叉树模型每步长为3个月20221824.219.816.211/5/202214陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院欧式看涨期权的估值欧式看涨期权的估值在节点 B的价值=e0.120.25(0.65233.2+0.34770)=2.0257在节点 A的价值=e0.120.25(0.65232.0257+0.34770)=1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF11/5/2022

7、15陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院一个看跌期权的例子：一个看跌期权的例子：X52504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF11/5/202216陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院美式期权该如何估值？美式期权该如何估值？505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF11/5/202217陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院1 二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型1.1 二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法 熟悉熟悉1.2 基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展 熟悉熟悉1.3 构造树图的其他方法和思路构造树图的其他

8、方法和思路 了解了解1.4 二叉树定价模型的深入理解二叉树定价模型的深入理解 熟悉熟悉2 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟2.1 蒙特卡罗模拟的基本过程蒙特卡罗模拟的基本过程 熟悉熟悉2.2 蒙特卡罗模拟的技术实现蒙特卡罗模拟的技术实现 熟悉熟悉2.3 减少方差的技巧减少方差的技巧 了解了解2.4 蒙特卡罗模拟的理解和应用蒙特卡罗模拟的理解和应用 了解了解3 有限差分方法有限差分方法3.1 隐性有限差分法隐性有限差分法 熟悉熟悉3.2 显性有限差分法显性有限差分法 熟悉熟悉3.3 有限差分方法的比较分析和改进有限差分方法的比较分析和改进 了解了解3.4 有限差分方法的应用有限差分方法的应用 了解了解5

9、.6 二叉树定价模型二叉树定价模型11/5/202218陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院1 1、从开始的、从开始的 上升到原先的上升到原先的 倍，即到达倍，即到达 ；2 2、下降到原先的、下降到原先的 倍，即倍，即 。图图5.15.1 时间内资产价格的变动时间内资产价格的变动把期权的有效期分为很多很小的时间间隔把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔，并假设在每一个时间间隔 内证券内证券价格只有两种运动的可能：价格只有两种运动的可能：其中其中 .如图如图5.15.1所示。价格上升的概率假设为所示。价格上升的概率假设为 ，下降的概率假设为，下降的概率假设为 。相应地，期

10、权价值也会有所不同，分相应地，期权价值也会有所不同，分别为别为 和和 。1.二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型11/5/202219陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院二叉树模型实际上是二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连度二值运动来模拟连续的资产价格运动续的资产价格运动 1.二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型11/5/202220陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院二叉树模型可分为以下几种方法：二叉树模型可分为以下几种方法：（一）单步二叉树模型（一）单步二叉树模型 1.1.无套利定价法无套利定价法 2.2.风险中性定价法风险中性定价法 3.3.风险中性

11、定价法风险中性定价法（二）证券价格的树型结构（二）证券价格的树型结构 4.4.证券价格的树型结构证券价格的树型结构（三）倒推定价法（三）倒推定价法 5.5.倒推定价法倒推定价法二叉树方法的一般定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例二叉树方法的一般定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例 6.6.一般定价过程一般定价过程1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法11/5/202221陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院构造投资组合包括构造投资组合包括 份股票多头和份股票多头和1 1份看涨期权空头份看涨期权空头当当 则组合为无风险组合则组合为无风险组合此时 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，

12、得因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得将将 代入上式就可得到：代入上式就可得到：其中其中 1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法无套利定价法：无套利定价法：11/5/202222陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院在风险中性世界里：在风险中性世界里：（1 1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2 2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值参数值满足条件：满足条件：假设证券价格遵循几何布朗运动，则：假设证券价格遵循几何布朗运动，则：再设定：再设

13、定：（第三个条件的设定则可以有所不同，（第三个条件的设定则可以有所不同，这是这是CoxCox、RossRoss和和RubinsteinRubinstein所用的条件）所用的条件）由以上三式可得，当由以上三式可得，当 很小时：很小时：从而从而 以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法11/5/202223陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院一般而言，在一般而言，在 时刻，证券价格有时刻，证券价格有 种可能，它们可用符号表示为：种可能，它们可用符号表示为：其中其中注意：由于注意：由于

14、，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法11/5/202224陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端定价法，从树型结构图的末端T T时刻开始往回倒推，为期权定价。时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在时刻的期权价值的预期值在 时时间长度内以无风险利率间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值；贴

15、现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。中较大者作为本结点的期权价值。1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法11/5/202225陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院假设把一期权有效期划分成假设把一期权有效期划分成N N个长度为个长度为 的小区间，同时用的小区间，同时用 表示结点表示结点 处的证券价格可得：处的证券价格可得：其中其中假

16、定期权不被提前执行，假定期权不被提前执行，后，则：后，则：（表示在时间（表示在时间 时第时第j j个结点处的欧式看跌期权的价值）个结点处的欧式看跌期权的价值）若有提前执行的可能性，则：若有提前执行的可能性，则：1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法11/5/202226陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院1.2基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展11/5/202227陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院当标的资产支付连续收益率为当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为增长率应该为 ，因此：因此：1.2基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展对于股价指数期权来说，对于股价指数期权来说，为股票组合的红利收益率；为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，对于外汇期来说，为国外无风险利率，为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。11/5/202228陕西科技大学理学院陕西科技大学理学院支付已知红利率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权