第四章：固体力学大变形基础.ppt

1、固体力学大变形基本知识固体力学大变形基本知识1.1.物体运动的物质描述物体运动的物质描述2.2.格林和阿尔曼西应变格林和阿尔曼西应变3.3.物体运动等的空间描述和变形率物体运动等的空间描述和变形率4.4.欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力5.5.大变形时平衡方程和虚位移原理大变形时平衡方程和虚位移原理6.6.大变形本构关系大变形本构关系11.1 1.1 物体运动的物质描述物体运动的物质描述-拉格朗日描述拉格朗日描述 t=0的坐标为的坐标为Xi，t时刻位置为时刻位置为xi，质点质点运动可表为运动可表为 对物体对物体t时刻时刻位置和位置和变形的刻划称为构形变形的刻划称为构形或

2、位形，如图示。或位形，如图示。描述运动的参照基准称为描述运动的参照基准称为参考位形参考位形，以初，以初始位形作参考位形的描述称为始位形作参考位形的描述称为物质描述物质描述或或拉拉格朗日描述格朗日描述，Xi称为称为物质坐标物质坐标。2 物体现时坐标物体现时坐标xi对物质坐标对物质坐标Xi的偏导数的偏导数称为称为变形梯度变形梯度，是，是非对称的二阶张量非对称的二阶张量。因此可以将变形梯度视作一种线性变换，因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元它将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中变换为现时位形中的线元的线元dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯

3、度在大变形分析中变形梯度在大变形分析中很重要很重要。现时位形两邻点的距离为现时位形两邻点的距离为1.2、变形梯度变形梯度3物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，和和 是一一对应的，那么在参考位形的任意点是一一对应的，那么在参考位形的任意点JacobiJacobi行行列式列式J J不为零。也即变形梯度可逆不为零。也即变形梯度可逆 Ricci 可由可由RicciRicci置换符号的定义和行列式的性质证明置换符号的定义和行列式的性质证明Ricci符号符号4证明证明由此可见，由此可见，返回返回5设图示初始位形微元体体积设图示初始位形微元体体积设图示

4、初始位形微元体体积设图示初始位形微元体体积为为为为d dV V0 0，三线元为三线元为三线元为三线元为运动变形后，现时位形三线元为运动变形后，现时位形三线元为运动变形后，现时位形三线元为运动变形后，现时位形三线元为1.3、体积变换公式体积变换公式6变形梯度变形梯度变形梯度变形梯度因此，现时位形的体积可表为因此，现时位形的体积可表为体积变换公式体积变换公式0ddddVJXXXJekjiijk=7 仿体积的上述说明，图示面元可表为仿体积的上述说明，图示面元可表为 如果记初始和现时如果记初始和现时位形的密度分别为位形的密度分别为则由质量守恒，可得则由质量守恒，可得因此对不可压缩物体因此对不可压缩物体

5、又因又因1.4、面积变换公式面积变换公式体积变换公式体积变换公式8由此面元变换公式也可表为由此面元变换公式也可表为根据根据变形梯度张量可逆变形梯度张量可逆面积变面积变换公式换公式面积变面积变换公式换公式1.4、面积变换公式面积变换公式91.5 GreenGreen和和AlmansiAlmansi应变张量应变张量设初始和现时位形中设初始和现时位形中设初始和现时位形中设初始和现时位形中P P P P、Q Q Q Q两点两点两点两点的距离分别为的距离分别为的距离分别为的距离分别为研究变形前后线段尺度的变化研究变形前后线段尺度的变化研究变形前后线段尺度的变化研究变形前后线段尺度的变化可以获得变形的度量

6、可以获得变形的度量可以获得变形的度量可以获得变形的度量应变应变应变应变格林应变张量格林应变张量格林应变张量格林应变张量阿尔曼西张量阿尔曼西张量阿尔曼西张量阿尔曼西张量格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是它是它是它是lagrangelagrangelagrangelagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是坐标的函数

7、。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是EulerEulerEulerEuler坐标的函数坐标的函数坐标的函数坐标的函数。10 质点的位移向量也同样可用初始位形和现时质点的位移向量也同样可用初始位形和现时位形定义位形定义上式对上式对lagrangelagrange坐标或对坐标或对EulerEuler坐标求偏导坐标求偏导，可可得变形梯度张量分别为得变形梯度张量分别为位移对坐标（位移对坐标（）的偏导数，称为）的偏导数，称为位移梯位移梯度张量度张量。初始坐标的函数初始坐标的函数现时坐标的函数现时坐标的函数1.5 1.5 GreenGreen和和AlmansiAlmansi应变张量应变张量11 由此公式

8、可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物一点处至少有三个相互垂直的应变

9、主轴，任两与主轴平行的物质线元，变形过程中仍保持垂直。质线元，变形过程中仍保持垂直。质线元，变形过程中仍保持垂直。质线元，变形过程中仍保持垂直。将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位移梯度张量表示的应变公式如下移梯度张量表示的应变公式如下移梯度张量表示的应变公式如下移梯度张量表示的应变公式如下1.5 1.5 GreenGreen和和AlmansiAlmansi应变张量应变张量12格林应变张量格林应变张量格林应变张量格林应变张量阿尔曼西张量阿尔曼西张量阿尔曼西

10、张量阿尔曼西张量13这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的变形时的变形时的变形时的柯西应变柯西应变柯西应变柯西应变-工程应变工程应变工程应变工程应变 当位移梯度远小于当位移梯度远小于当位移梯

11、度远小于当位移梯度远小于1 1 1 1时，对任意函数时，对任意函数时，对任意函数时，对任意函数F F有如下关系有如下关系有如下关系有如下关系具具具具有有有有相相相相同同同同量量量量级级级级14若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则则则物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是到处存在充分必要条件是到处存在充分必要

12、条件是到处存在充分必要条件是到处存在1.5 1.5 GreenGreen和和AlmansiAlmansi应变张量应变张量客观张量客观张量GreenGreenGreenGreen应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标 是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时，是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时，是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时，是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时，P,QP,QP,QP,Q两点的尺度不变，同时两点的尺度不变，同时两点的

13、尺度不变，同时两点的尺度不变，同时 也不变，因此联系也不变，因此联系也不变，因此联系也不变，因此联系P,QP,QP,QP,Q两两两两点的尺度的变化及点的尺度的变化及点的尺度的变化及点的尺度的变化及 的的的的GreenGreenGreenGreen应变张量的各个分量也应变张量的各个分量也应变张量的各个分量也应变张量的各个分量也不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张量称为量称为量称为量称为客观张量客观张量客观张量客观张量。152.2.物体运动的空

14、间描述和变形率物体运动的空间描述和变形率质点运动的质点运动的质点运动的质点运动的空间描述空间描述空间描述空间描述或或或或欧拉描述，欧拉描述，欧拉描述，欧拉描述，处质点的速度。处质点的速度。处质点的速度。处质点的速度。瞬时位置瞬时位置xi处质点的加速度应该如下求取处质点的加速度应该如下求取当地部分当地部分当地加速度当地加速度 对流部分、对流部分、对流部分、对流部分、迁移加速度迁移加速度迁移加速度迁移加速度其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项是非均匀速

15、度场质点运动的贡献。是非均匀速度场质点运动的贡献。是非均匀速度场质点运动的贡献。是非均匀速度场质点运动的贡献。称为称为称为称为速度的物质速度的物质速度的物质速度的物质导数导数导数导数。其中导数其中导数其中导数其中导数 称为称为称为称为速度梯度张量速度梯度张量速度梯度张量速度梯度张量。),(txvvi=xi16速度梯度张量可分成两部分速度梯度张量可分成两部分因此，速度梯度张量为因此，速度梯度张量为旋率张量旋率张量变形率张量变形率张量反对称反对称反对称反对称对称对称对称对称任意函数的时间变化率物质导数任意函数的时间变化率物质导数刚体转动的角速度刚体转动的角速度刚体转动的角速度刚体转动的角速度Vij

16、VijVijVij就反映了邻域的纯变形。就反映了邻域的纯变形。就反映了邻域的纯变形。就反映了邻域的纯变形。点点点点P P P P邻域瞬时刚体邻域瞬时刚体邻域瞬时刚体邻域瞬时刚体运动的充分必要运动的充分必要运动的充分必要运动的充分必要条件是，条件是，条件是，条件是，P P P P点的速点的速点的速点的速度梯度是反对称度梯度是反对称度梯度是反对称度梯度是反对称的的的的17若令若令上式两边同乘上式两边同乘eklm，则则质点质点Q相对点相对点P的相对速度为的相对速度为证明证明证明证明因此，利用上式可得因此，利用上式可得刚体转动的角速度刚体转动的角速度刚体转动的角速度刚体转动的角速度18反对称反对称反对称反对称证明证明19 讲义上说明了，讲义上说明了，点点P邻域瞬时刚体运动的充邻域瞬时刚体运动的充分必要条件是，分必要条件是，P点的速度梯度是反对称的点的速度梯度是反对称的。因此，因此，Vij就反映了邻域的纯变形。就反映了邻域的纯变形。因此，因此，是质点是质点P邻域，绕过邻域，绕过P点某轴的刚点某轴的刚体转动，向量体转动，向量 是转动的角速度，因此称为是转动的角速度，因此称为速度场的旋度向量速度场的