第二章各向异性弹性力学.ppt

1、第二章第二章 各向异性弹性力学各向异性弹性力学各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别l差别在于差别在于:本构方程本构方程l其它平衡方程其它平衡方程,几何方程几何方程,协调方程协调方程,和边界条和边界条件等则完全相同件等则完全相同.l即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂.单元体应力及正负号规定单元体应力及正负号规定如果作用面的外法线指向坐标系中

2、相应坐标轴的如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的正向正向,而应力分量也指向对应坐标轴的正向而应力分量也指向对应坐标轴的正向,则应则应力分量为正。当两个下标中力分量为正。当两个下标中,只有一个指向坐标轴只有一个指向坐标轴的正向时的正向时,该应力分量就为负该应力分量就为负.yx作用在y面上的正应力作用在y面内x方向的剪应力z静力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元体的体积力力要平衡！力要平衡！几何关系(小变形)(6)变形要协调！变形要协调！三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变亦可以描述变形，它们之间满足以下关系！亦可以描述变形，它们之间满足以下关

3、系！本构方程（6）反映出材料反映出材料的性质！的性质！与与之间的关系之间的关系各向异性弹性力学问题需满足的基本方程l与各向同性弹性力学一样与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性各向异性弹性力学有力学有1515个未知量个未知量l1515个场方程个场方程静力平衡方程（静力平衡方程（3 3）几何关系（）几何关系（6 6）本构方程（）本构方程（6 6）可以求解了吗？可以求解了吗？给定力的边界条件(3)定解还需边界条件！定解还需边界条件！给定位移的边界条件(3)各向异性弹性力学问题需满足的基本方程（另一组定解方程）l与各向同性弹性力学一样与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性各向异性弹性力学有力学有1212

4、个未知量个未知量l1212个场方程个场方程静力平衡方程（静力平衡方程（3 3）几何关系（）几何关系（6 6）本构方程（）本构方程（6 6）变形协调方程（变形协调方程（3 3）变形协调方程(3/6)只有三个是独立的，为什么？只有三个是独立的，为什么？l以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方面构成各向异性弹性力学的基本方程,与各向同性弹性力学的区别在于物理方程.其它均相同 弹性介质的本构关系弹性介质的本构关系 均质弹性体的弹性性质均质弹性体的弹性性质 坐标转换坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式应力应变及弹性系数转轴公式)弹性对称性弹性对称性本构关系的简化本构关系的简化 正交异性材料弹性常数的物

5、理意义正交异性材料弹性常数的物理意义2.1 弹性介质的本构关系弹性介质的本构关系2.1.1 弹性介质的本构关系弹性介质的本构关系 规定下标规定下标i，j与一维指标对应如下次序：与一维指标对应如下次序：(21)则（则（2 21 1）的两式可以写成的两式可以写成矩阵乘法矩阵乘法的形式，第一式的形式，第一式可以写作可以写作 记作记作 可以理解为张量等式，可以理解为张量等式，理解为应力张量和应变张理解为应力张量和应变张量，量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式，理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式，理解为应力列矢量和应变列矢量，理解为应力列矢量和应变列矢量，L理解为弹性刚度矩理解为弹性刚度

6、矩阵。阵。L与与M具有具有Voigt对称性，因此矩阵对称性，因此矩阵L与与M为为9列列9行的行的对称矩阵。对称矩阵。（22）由于应力张量与应变张量都是对称张量。（由于应力张量与应变张量都是对称张量。（2 22 2）式）式中的列矢量中的列矢量 与与 的第的第4行与第行与第5行相同，第行相同，第6行与第行与第7行行相同，第相同，第8行与第行与第9行相同。弹性刚度矩阵行相同。弹性刚度矩阵 与柔度矩阵与柔度矩阵 第第4行、列与第行、列与第5行、列相同，第行、列相同，第6行、列与第行、列与第7行、列相同，行、列相同，第第8行、列与第行、列与第9行、列相同。利用这种对称性，可以把应行、列相同。利用这种对称

7、性，可以把应力张量力张量 与应变张量与应变张量 写成写成6个元素的个元素的“列矢量列矢量”相应的，相应的，L与与M可写成可写成6行行6列的对称矩阵列的对称矩阵也也就就是是说说，各各列列除除去去重重复复的的元元素素，但但第第1、2、3列列的的元元素素的的数数值值不不变变，而而第第4、5、6列列的的元元素素则则乘乘以以2。此此时时，张张量量运运算算与与矩矩阵阵运运算算仍仍然然一一样，但失去了矩阵地对称性。样，但失去了矩阵地对称性。有的文献中定义应力有的文献中定义应力“列矢量列矢量”为为 应变应变“列矢量列矢量”为为 注意：注意：，就是剪切角就是剪切角 ，。于是可以把弹性本构关系写成：于是可以把弹性

8、本构关系写成：或或（23）（24）容易导出矩阵容易导出矩阵C，s与与L，M之间的关系为之间的关系为 2.1.2 弹性应变能密度弹性应变能密度 固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体内。这种能量称为应变能。内。这种能量称为应变能。通过对体微元的研究，可以得到弹性应变能密度：通过对体微元的研究，可以得到弹性应变能密度：其中其中(Voigt对称性对称

9、性)(Voigt对称性对称性)由线弹性可以得由线弹性可以得由线弹性可以得由线弹性可以得2.2 均质弹性体的弹性性质均质弹性体的弹性性质对对于于均均质质弹弹性性体体，材材料料的的性性质质与与位位置置坐坐标标无无关关。其其应应变变位位能能是是应应变变分分量量 ，的的函函数数，而而且且只只取取决决于于应应变变的的最最终终值值。从从数数学学上上说说，是是应应变变状状态态的的单单值值函函数数，而而且与积分路径无关，且与积分路径无关，必是对必是对 应变分量的全微分，即：应变分量的全微分，即：可得可得（25）为了便于以后的讨论，给出为了便于以后的讨论，给出 的展开式的展开式（26）2.3 坐标转换坐标转换(

10、应力应变及弹性系数应力应变及弹性系数转轴公式转轴公式)2.3.1 斜面应力斜面应力为了讨论过点为了讨论过点A任意斜面任意斜面的应力，在点的应力，在点A附近取一附近取一个四面体微元个四面体微元ABCD(图图 21)。图21斜面斜面BCD的外法线为的外法线为N，令令N的方向余弦为：的方向余弦为：则有则有 式中，式中，、依次为三角形依次为三角形BCD、ACD、ABD、ABC的面积。令四面体微元的体积为的面积。令四面体微元的体积为dV，斜面斜面BCD上应力向量在坐标方向上的分量为上应力向量在坐标方向上的分量为 、，则由，则由四面体微元的四面体微元的 的条件得到的条件得到：（27）得到方程如下：得到方程

11、如下：写成矩阵形式写成矩阵形式 也也就就是是说说，若若应应力力张张量量为为已已知知，则则任任一一斜斜面面上上的的应应力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。（28）2.3.2 应力应变转轴公式应力应变转轴公式三维情况：三维情况：图22坐坐标标系系如如图图22所所示示，新新坐坐标标与与原原坐坐标标的的方方向向余余弦弦列列于于表表1 ：其中其中xyzxl1m1n1yl2m2n2zl3m3n3 表1即即 （29）将将式式（29）展展开开，并并按按一一定定次次序序排排列列应应力力张张量量，可可得应力分量转轴公式：得应力分量转轴公式：（21

12、0）称为应力转换矩阵称为应力转换矩阵同理可得，应变分量转轴公式同理可得，应变分量转轴公式（211）称为应力转换矩阵称为应力转换矩阵二维情况二维情况：二维情况的坐标建立如下两图：二维情况的坐标建立如下两图：图23图24同理：同理：（212）（213）（214）2.3.3 弹性系数的转轴公式弹性系数的转轴公式 各向异性体的弹性特性随方向不同而异，即各向异性各向异性体的弹性特性随方向不同而异，即各向异性体的弹性系数是方向的函数，它们与坐标的取向有关，只体的弹性系数是方向的函数，它们与坐标的取向有关，只有在各向同性情况下，弹性系数在任意正交坐标系是不变有在各向同性情况下，弹性系数在任意正交坐标系是不变

13、的。的。已知已知 求逆求逆 又因为又因为 所以可得所以可得通过单位体积应变能函数通过单位体积应变能函数U0可以证明：可以证明：从而可以得到：从而可以得到：所以所以其中其中为新坐标系中的柔度矩阵为新坐标系中的柔度矩阵 为新坐标系中的刚度矩阵为新坐标系中的刚度矩阵 以上即为弹性系数转轴公式的矩阵形式。以上即为弹性系数转轴公式的矩阵形式。（215）2.4 弹性对称性弹性对称性本构关系的简化本构关系的简化 大大多多数数工工程程材材料料内内部部结结构构具具有有对对称称性性，这这决决定定了材料的弹性特性也具有对称性。了材料的弹性特性也具有对称性。均质弹性体中，若过每一点的不同方向的弹性均质弹性体中，若过每

14、一点的不同方向的弹性特征不同，称为特征不同，称为一般均质各向异性体一般均质各向异性体，它具有，它具有3636个个非零的非零的弹性系数，但其中弹性系数，但其中21个独立的弹性系数。若物个独立的弹性系数。若物体中的每一点出现有对称的方向，这些方向上的弹体中的每一点出现有对称的方向，这些方向上的弹性特征相同，它就具有弹性对称。具有弹性对称的性特征相同，它就具有弹性对称。具有弹性对称的物体，广义虎可定律的方程和能量函数的表达式都物体，广义虎可定律的方程和能量函数的表达式都可以简化，在弹性系数之间出现依赖关系。可以简化，在弹性系数之间出现依赖关系。Voigt对称性对称性:可证明张量可证明张量L对双指标对

15、双指标ij和和kl具有对称性具有对称性。2.4.1 一个弹性对称面一个弹性对称面 弹弹性性对对称称面面就就是是指指经经过过物物体体内内的的每每一一点点都都有有这这样样的的平面，在这个平面的对称方向上弹性特性是相同的。平面，在这个平面的对称方向上弹性特性是相同的。取取xy坐标面与弹性对称面平行，坐标面与弹性对称面平行，z轴与弹性对称面垂轴与弹性对称面垂直（如图），现研究体微元直（如图），现研究体微元ABCDE的弹性对称问题。的弹性对称问题。由弹性对称面的由弹性对称面的定义知，当倒置定义知，当倒置z轴轴 时，在坐标系时，在坐标系(x、y、z)和（和（x、y、）中，中，体微元具有相同的应体微元具有相

16、同的应力、应变关系。换言力、应变关系。换言之，弹性系数之，弹性系数 、不因倒置不因倒置z轴而发生变轴而发生变化。化。图25 弹弹性性体体单单位位体体积积的的应应变变能能 是是应应变变状状态态的的单单位位函函数数，而而且且能能量量是是标标量量，不不因因坐坐标标的的选选择择不不同同而而改改变变其其量量值值。但但是是当当z轴轴变变成成 轴轴时时，有有些些物物理理量量将将变变号号。用用u，v，w和和u，v，w分别表示两坐标中的位移分量，存在着下述关系：分别表示两坐标中的位移分量，存在着下述关系：与与 有关的剪应变分别为：有关的剪应变分别为：所以可得：所以可得：也就是说，也就是说，z轴倒置时，与轴倒置时，与z方向有关的剪应变分量变号。方向有关的剪应变分量变号。（216）（217）由由 的的表表达达式式不不难难看看出出，除除非非含含 和和 的的一一次次项项的的刚刚度度系系数数等等于于零零，否否则则不不能能保保证证 的的量量值值不不变变。于于是是，有有 刚度系数减少了刚度系数减少了8个，剩下个，剩下13个。个。同样可以证明，柔度系数也剩下同样可以证明，柔度系数也剩下13个。个。于是，当于是，当z轴垂