大一下高等数学知识点.docx

1、大一下高等数学知识点高 等 数 学 A 2 知 识 点【注意】 不考试的知识点：带 * 号的（除球面坐标系、比值审敛法） ，二次曲面，斯托克斯公式，函数的幂级数展开式的应用，一般周期函数的傅立叶级数，物理应用部分，一、概念与定义1、数量积、向量积及坐标表示（向量的位置关系） ；2、柱面，旋转曲面的方程形式及常见曲面画图，平面，直线的方程及其位置关系，平面束；曲面、曲线、实体在坐标平面上的投影3、偏导数定义及判定一点可导的定义方法；4、偏导、连续、全微分的关系，方向导数与梯度；5、极值、条件极值，最值和驻点 . 及拉格朗日乘数法；6、七类积分的关系，格林公式、高斯公式；7、级数的定义，等比级数的

2、和，级数收敛的必要条件，常见级数的敛散性及判定方法。二、计算1、求极限（1）二元函数求极限：代入法、两类特殊极限、无穷小性质等（2）极限不存在的判断：取不同的路径2、求偏导数或全微分（1）定义在某一点可导，常见于分段函数（2）一个变量为常数， 按一元函数求导法则计算， 对于指定点的偏导可以先代入一个变量再求；（3）多元复合函数求导链式法则；（4）隐函数（方程与方程组）求导及其高阶导数不要记公式，理解方法；（5）抽象函数求导及其高阶导数注意符号；zzx xzyy（6）求（指定点）全微分或判断是否可微用定义 lim200y2x3、求重积分（画图）（1）二重积分坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积

3、函数特点定】 ，积分次序的交换；（2）三重积分坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】 ；（3）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对 1 积分时的计算。4、求曲线、面积分（画图）“一代、二换、三定限”（1）代入参数方程或 z f x, y ；不同的积分换的公式不同；（2）定限或定区域的时候注意方向性【第二类】及定限规则（3）格林公式、高斯公式的应用验证条件并灵活使用；（4）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对 1 积分时的计算。5、无穷级数（1）数项级数审敛；（2）幂级数收敛域与和函数，函数展开成幂级数；（3）傅立叶级数的收敛情况 Dirichlet 定理的结论三、 应用1、偏导数的几何

4、应用空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方向导数与梯度。2、偏导数求极值以及条件极值、最值；3、重积分、曲线、面的几何应用平面区域的面积、空间曲面的面积，曲顶柱体的体积；四、证明1、极限不存在、连续性、可导、可微；2、偏导数相关等式；3、格林公式积分与路径无关、原函数；4、级数的敛散性判定注意级数的分类与对应方法；5、向量的位置关系，平面、直线的位置关系等几何问题。曲面及其方程常见曲面方程柱面只含有两个字母的三原方程，缺少的字母为母线圆锥面zx2y2方程中旋转旋转抛物面zx2y2 或 z 1x2y2含有两个字母曲面球zR2x2y2 或 x x0y y0z z0R2222的圆柱面x2

5、y2R2 或 z2y2R2 或 x2z2R2平方和平面与直线方程点向式一般式两点式直线x x0y y0z z0A1 x B1 y C1 z D1x x0y y0z z0mnpA x B y C z D2x1 x0y1y0z1 z0222点法式一般式截距式平面A x x0 B y y0C z z0 0Ax By Cz Dxyz1abc直线与直线 垂直、平行、相交（夹角）位置平面与平面 垂直、平行、相交（夹角）关系直线与平面 垂直、平行、相交（夹角） 、平面束偏导、连续、可微偏导数连续可微函数连续 函数偏导数存在隐函数的求导形式确定的函数fx, y0yfx一个方程x, y, z0zfx, yffx

6、, y, z0yy xgx, y, z0zz x方程组f u,v, x, y0u u x, yg u,v, x, y0v v x, y求导方法视 y 为 x 的函数，两端对 x 求导，解得 y视 z 为 x, y 的函数，两端对 x, y 求偏导，解得 zx , zy视 y, z 为 x 的函数，两端同时对 x 求导，解得 y , z视 u, v 为 x, y 的函数，两端对 x, y 求偏导，解得 ux ,uy , vx ,vy高阶导数与偏导数的求导复合函数的链式法则函数中间变量求导【链式法则】zfu, vuu xdzz duz dv注意导数与偏导数的符号vv xdxu dxv dxuu x

7、, y注意求导要完整zfu, vzz uz v ,zz uz v注意抽象复合函数的符号v v x, yxu xv xyu yv y偏导数的应用问题应用曲线的切线与法平面曲线 xt , yt , ztrt ,t ,tT曲面的切平面与法线曲面 Fx, y, z0rFx, Fy , Fzn函数 zfx, y，方向ffcosfcos方向导数与梯度rlxycos ,coslgradufx, yf x , f y令 zxzy 0 得驻点与不可导点极值函数 zf x, y并由 ACB 2 判断极值情况条件极值函数 z fx, y，条件 g x, y0Lagerange 乘数法重积分的几何应用度量应用平面面积

8、SD1dxdy1ydx xdy2 LDS : zz x, y，则 S22曲面面积1 zxzy dxdy1 dSD xy立体体积Vf x, y dxdy1 dVD xy曲线弧长l1 dsL重积分的计算坐标系 区域表示 化为定次积分 适用类型先单后重x, y, z z1 x, y z z2 x, y , x, y D xy【穿线法】直角坐标系先重后单x, y, z z1 z z2 , x, y D z【切片法】三重积分f x, y, z dV, , z z1 , z z2 , , , D xy柱面坐标系先单后重方法中用极坐标求解二重积分, r02,0,0r球面坐标系先确定，然后确定，最后穿线法确定

9、 rX-型区域Dx, yaxb,1xy2x【穿线法】二重积分直角坐标系Dx, ycyd ,1yx2y 穿 线Y-型区域f x, y d法 DD,12极坐标系先确定，然后穿线法确定z2 x , yf x, y, z dz dxdyz1 x, yDxydf x, y, z dxdy dzcDzf cos , sin ,z d d dzx r sin cos , y r sin sin ,z r cosdxdydz r 2 sin d d drb2 xdx f x, y dya1 xd2 ydy f x, y dxc1 yd2f cos , sin d1一般的立体区域柱面区域或被积函数含有x2 y2

10、球面区域或被积函数含有x2 y2 z2一般的平面区域圆形区域或被积函数含有x2 y2曲线、曲面积分的差异对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分形式f x, y dsLP x, y dx Q x, y dyLfx, y, z dSPdydz Qdzdx Rdxdy一代x t y t dsx t y t dxz z x, y dSz z x, y 根据方向性无L L无Pdydz Pdydz二换2t2tdtt dt dy t dt2 21 zx zx dxdy指定侧定二重积分符号特殊性质对 1积分为 L的长度垂

11、直性 L 垂直与坐标轴则关于该坐标的积分为0对 1积分为的面积垂直性 L 垂直与坐标平面则关于该坐标平面的两个坐标的积分为0对 1积分为在坐标平面投影的面积（带有正负号）计算三定限（域）化为积分tft ,t2t2tdt起点t , ttQt ,tt dtP终点D xyfx, y, z x, y122dxdyzxzxDxyR x, y, z dxdyR x, y, z x, y dxdyD xyDxyGREEN公式计算第二类曲线积分的用法利用公式的时机被积函数很复杂或积分路径很复杂或明显的PQyxD 内无奇点直接利用公式化成二重积分L 封闭时D 内有奇点用辅助闭曲线去掉奇点后利用公式，再减去辅助曲

12、线上的积分PQ积分与路径无关，可以改变积分路径或选择简单的路径yx【一般选择平行于坐标轴的折线段】L 不封闭时用辅助曲线封闭化后利用公式，再减去辅助曲线上的积分PQyx【一般选择平行于坐标轴的折线段】若 dzx, yP x, y dx Q x, y dy公式的独特用法求原函数P x, y dx Q x, y dy ，则可设 u x, y0,0GAUSS公式计算第二类曲面积分的用法利用公式的时机三种坐标积分同时出现或被积函数很复杂或积分曲面是特殊的曲面（柱、锥、球）封闭时直接利用公式化成三重积分不封闭时用辅助曲面封闭化后利用公式，再减去辅助曲面上的积分【一般选择平行于坐标平面的平面】对称性区域上

13、奇偶性函数的积分区域对称性被积函数的奇偶性定积分关于原点对称关于 x 为奇函数关于 x 为偶函数关于 X 轴对称关于 y 为奇函数关于 y 为偶函数二重积分关于 x 为奇函数关于 Y 轴对称关于 x 为偶函数关于 XOY对称关于 z 为奇函数关于 z 为偶函数三重积分关于 XOZ对称关于 y 为奇函数关于 y 为偶函数关于 YOZ对称关于 x 为奇函数关于 x 为偶函数关于 X 轴对称关于 y 为奇函数关于 y 为偶函数对弧长的曲线积分关于 x 为奇函数关于 Y 轴对称关于 x 为偶函数对坐标的曲线积分关于 XOY对称关于 z 为奇函数关于 z 为偶函数对面积的曲面积分关于 XOZ对称关于 y

14、 为奇函数关于 y 为偶函数关于 YOZ对称关于 x 为奇函数关于 x 为偶函数多坐标的曲面积分结论a2aa1、奇函数f x dx 0、偶函数f x dx 2 f x dxaa01、奇函数fx, y d0D2、偶函数fx, y d2fx, y dD1 为 D 中 x0 y0部分DD11、奇函数fx, y, z dV02、偶函数fx, y, z dV2f x, y, z dV 1 为中 x0 y0、 z0 部分11、奇函数fx, y ds0L2、偶函数fx, y ds2 f x, y ds L1 为 L 中 x0 部分LL1没有对称性的相关结论1、奇函数fx, y, z dV02、偶函数fx,

15、y, z dV2 f x, y, z dV 1 为中 x0 y 0、 z0 部分1没有对称性的相关结论七类积分间的关系对面积的曲面积分对弧长的曲线积分曲 曲线PdxQdyPdydzQdzdxRdxdy面P cosQ cosR cosdSL定积分二重积分积P cos积Q cos dsL分分对坐标的曲线积分 对坐标的曲面积分GREEN公式 二重积分 三重积分 GAUSS公式STOKES公式数项级数的审敛方法否用比值或根式判定发散，lim un 0级数发散原级数发散n交否 1是比较审敛错否 2是级绝对收敛正项级数比值审敛数否根式审敛收敛加绝对值un任意项级数n 1条件收敛幂级数收敛域形式收敛区间收敛域an xnlim an 1, R1 得收敛区间 R, Rn 0nananx x0令 x x0t ，求an tn 的收敛域，回带得 x 范围讨论端点的敛散nn 0n 0性，得收敛域a2 n x2n 等（缺项）un 1x1，得收敛区间令 limn 0nunx幂级数和函数第一步：求收敛域第二步：对和函数 S x 求导或积分得到等比级数或 ex、 sinx 等, 标上收敛区间第三步： S xxxS x dx 或 S xS x dx 表上收敛域0 0