常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换).ppt

1、学习目标学习目标学习目标学习目标:1.1.1.1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换；理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换；理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换；理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换；2.2.2.2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；3.3.3.3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换从几何

2、上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。往往将直线变成直线或点。往往将直线变成直线或点。往往将直线变成直线或点。1.1.恒等变换矩阵恒等变换矩阵(单位矩阵单位矩阵)温故知新温故知新恒等变换恒等变换恒等变换恒等变换是指对平面上任何一点是指对平面上任何一点是指对平面上任何一点是指对平面上任何一点(向量向量向量向量)或图形施以或图形施以或图形施以或图形施以矩阵矩阵矩阵矩阵 对应的变换对应的变换对应的变换对应的变换,都把自己变为自己都把自己变为自己都把自己变为自己都把自己变为自己.2.2.伸压变换矩阵伸压变换矩阵 伸压变换伸压变换伸压

3、变换伸压变换 矩阵是指将图形作沿矩阵是指将图形作沿矩阵是指将图形作沿矩阵是指将图形作沿x x轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩,或沿或沿或沿或沿y y轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵.伸压变换温故知新温故知新求圆求圆C：在矩阵在矩阵作用下变换所得的曲线作用下变换所得的曲线.两个几何图形有何特点？两个几何图形有何特点？问题情境问题情境 O 已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片已知在平面直角坐标的第一象限有一

4、张汽车图片F,F,F,F,将它做关于将它做关于将它做关于将它做关于x x轴、轴、轴、轴、y y轴和坐标原点对称的变换轴和坐标原点对称的变换轴和坐标原点对称的变换轴和坐标原点对称的变换,分别得分别得分别得分别得到图片到图片到图片到图片F1,F2,F3,F1,F2,F3,F1,F2,F3,F1,F2,F3,这些变换能用矩阵来刻画吗这些变换能用矩阵来刻画吗这些变换能用矩阵来刻画吗这些变换能用矩阵来刻画吗?问题情境问题情境 轴对称的几问题1：若将一个平面图形在矩阵的作用变换下得到关于何图形，则如何来求出这个矩阵呢？变换矩阵为变换矩阵为问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？对称的图形；对称的图形；对称

5、的图形；对称的图形；对称的图形；对称的图形；对称的图形；对称的图形；把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于x x轴对称的图形；轴对称的图形；轴对称的图形；轴对称的图形；(1)把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于原点对称的图形；原点对称的图形；原点对称的图形；原点对称的图形；(2)把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于直线直线直线直线 (3)把一个几何图形变换为与之关于把一个

6、几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于直线直线直线直线 (4)一般地，称形如一般地，称形如 这样将一个平面图形这样将一个平面图形这样将一个平面图形这样将一个平面图形F F F F变为关于定直线或定点对称的变为关于定直线或定点对称的变为关于定直线或定点对称的变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵平面图形的变换矩阵平面图形的变换矩阵平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的称之为反射变换矩阵，对应的称之为反射变换矩阵，对应的称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（变换叫做反射变换，其中（变换叫做反射变换，其中（变换叫做反射变换，其中（3

7、3 3 3）叫做中心反射，其余）叫做中心反射，其余）叫做中心反射，其余）叫做中心反射，其余叫轴反射叫轴反射叫轴反射叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.构建数学构建数学例例1 1 求出曲线求出曲线 在矩阵在矩阵 作用下变换所得的图形作用下变换所得的图形.-11O1数学应用数学应用例例2.2.求出直线求出直线 在矩阵在矩阵 作用下变换得到的图形作用下变换得到的图形.1O1数学应用数学应用变变:例例3.3.求直线求直线 在矩阵在矩阵 作用下变换得到的图形作用下变换得到的图形.思考思

8、考1 1：若矩阵：若矩阵 改为矩阵改为矩阵 则变换得到的图形是什么？则变换得到的图形是什么？思考思考2 2：我们从中能猜想什么结论？：我们从中能猜想什么结论？数学应用数学应用一般地一般地一般地一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成二阶非零矩阵对应的变换把直线变成二阶非零矩阵对应的变换把直线变成二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线直线直线直线.这种把直线变为直线的变换叫做线性变换这种把直线变为直线的变换叫做线性变换这种把直线变为直线的变换叫做线性变换这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.或点或点变式：变式：设设 若若 定义的线性变换把直线定义的线性变换把直线 变换成另一直线变换成另一直线 求求

9、 的值的值.学生活动学生活动1.1.求平行四边形求平行四边形OBCDOBCD在矩阵在矩阵 下变换得到的几何图形，并给出图示，其中下变换得到的几何图形，并给出图示，其中 作用作用2.2.求出曲线求出曲线在矩阵在矩阵 作用下变换得到的曲线作用下变换得到的曲线.学生活动学生活动学生活动学生活动1.1.求矩形求矩形OBCDOBCD在矩阵在矩阵 几何图形，并给出图示，其中几何图形，并给出图示，其中 作用下变换得到的作用下变换得到的2.2.求出曲线求出曲线经经 作用下变换得到的曲线作用下变换得到的曲线.和和4.4.二阶矩阵二阶矩阵 对应的变换将对应的变换将 与与分别变换成分别变换成 （1 1）求矩阵）求矩

10、阵 （2 2）求直线）求直线 在此变换下所变成的直线在此变换下所变成的直线 的解析式的解析式.与与3.求求在在分别作用下变换得到的曲线分别作用下变换得到的曲线.学生活动学生活动2 2.旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转的变换矩阵的变换矩阵的变换矩阵的变换矩阵.其中其中其中其中称为旋转角称为旋转角称为旋转角称为旋转角,点点点点OO为旋转中心为旋转中心为旋转中心为旋转中心.旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换构建数学构建数学旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换M=M

11、=旋转变换矩阵旋转变换矩阵旋转变换矩阵旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两主对角线上的两个数相等，副对角线上的两主对角线上的两个数相等，副对角线上的两主对角线上的两个数相等，副对角线上的两个数互为相反数个数互为相反数个数互为相反数个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为且每行、每列的两个数的平方和为且每行、每列的两个数的平方和为且每行、每列的两个数的平方和为1.1.另外中另外中另外中另外中心对称与旋转心对称与旋转心对称与旋转心对称与旋转1801800 0是同一变换是同一变换是同一变换是同一变换,要注意旋转变换中旋转方向要注意旋转变换中旋转方向要注意旋转变换中旋转方向要注意旋

12、转变换中旋转方向为逆时针为逆时针为逆时针为逆时针.旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋

13、转1801800 0的变换相当于的变换相当于的变换相当于的变换相当于关于定点作中心反射变换关于定点作中心反射变换关于定点作中心反射变换关于定点作中心反射变换.数学应用数学应用例例例例4.4.已知已知已知已知A A（0 0，0 0）、）、）、）、B B（2 2，0 0）、）、）、）、C C（2 2，1 1）、）、）、）、D D（0 0，1 1）试求矩形试求矩形试求矩形试求矩形ABCDABCD绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转90900 0后所得到的图形，并后所得到的图形，并后所得到的图形，并后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图。求出其顶点坐标，画出示意图。求

14、出其顶点坐标，画出示意图。求出其顶点坐标，画出示意图。变式：将条件改为矩形变式：将条件改为矩形变式：将条件改为矩形变式：将条件改为矩形ABCDABCD绕原点顺时针旋转绕原点顺时针旋转绕原点顺时针旋转绕原点顺时针旋转30300 0.延伸拓展延伸拓展 已知二阶矩阵已知二阶矩阵已知二阶矩阵已知二阶矩阵MM对应的变换将（对应的变换将（对应的变换将（对应的变换将（1 1，-1-1）与（）与（）与（）与（-2-2，1 1）分别变换为（分别变换为（分别变换为（分别变换为（5 5，7 7）与（）与（）与（）与（-3-3，6 6）.（1 1）求矩阵）求矩阵）求矩阵）求矩阵MM；（2 2）求直线）求直线）求直线）求直线L:L:x-y=4在此变换下所成的直线在此变换下所成的直线在此变换下所成的直线在此变换下所成的直线L L/的解析式的解析式的解析式的解析式.