弹簧10大模型.docx

1、弹簧10大模型弹簧”模型 10 大问题太原市第十二中学 姚维明模型建构 :在我们的日常生活中，弹簧虽然形态各异 , 大小不同 , 但是从弹簧秤 , 机动车的减震装置 , 各种复 位按钮和机械钟表内的动力装置等 , 弹簧处处在为我们服务 .因为弹簧本身的特性，如弹簧弹力的方 向与弹簧所处的伸缩状态有关、弹力的大小与弹簧形变量大小有关；而且，弹簧在伸缩过程中涉及 的物理过程较复杂，物理概念和规律较多，如力和加速度、功和能、冲量和动量等，因此，弹簧类 试题多年来深受物理命题专家的青睐。【模型】弹簧【特点】：（ 1）一般问题中的轻弹簧是一种理想模型，不计质量。（ 2） 弹簧弹力不能突变，弹力变化需要形

2、变量变化，需要时间的积累。 （3）弹力变化： F = kx或 F=kx，其中 F 为弹力（F 为弹力变化）， k 为劲度系数， x 为形变量（ x 为形变变化量）。（ 4 ）弹簧可以贮存能量，弹 力做功和弹性势能的关系为： W = EP 其中 W 为弹簧弹力做功， EP为弹性势能变化。另外， 弹性势能计算公式暂不做要求。、轻弹簧的弹力与弹簧秤的读数问题【典案 1】如图 1，四个完全相同的轻弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力 F作用，而左端的情况则各不相同： 弹簧的左端固定在墙上 弹簧的左端受到大小也为 F 的拉力作用以 l1、l2、 l3、 l4 依次表示四条弹簧的伸长量，则有A

3、、 l1 l2 B 、 l4 l 3 C 、 l1 l3 D 、 l 2 =l4 解析因轻弹簧自身质量不计，则轻弹簧的伸长量与轻弹簧上的弹力大小成正比，因为四种 状态中轻弹簧的弹力均为 F ，故四种状态轻弹簧的伸长量相同；选 D【体验 1】如图 2，四个完全相同的弹簧秤都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力 F作用，而左端的情况则各不相同：弹簧秤的左端固定在墙上的拉力 弹簧秤的左端受到大小也为 F 作用 弹簧秤的左端拴一小物块 块在光滑的水平面上滑动 弹簧秤的左端拴一个小物块 m1，物块在粗糙的水平面上滑动以 l1、l2、l3、 l4依次表示四条弹簧的伸长量，则有A、 l1 =l2 B

4、、 l4 =l3 C 、 l1 l3 D 、 l2 =l4解析弹簧秤的读数取决于弹簧的伸长量，而弹簧秤自身有质量，前两种情况弹簧秤处于平衡 状态，则弹簧的伸长量相同，则读数相同；后两种情况弹簧秤处于加速状态，则弹簧上的弹力不等于 F，则读数不同。对设弹簧秤自身质量也为 m2，则有弹簧秤的读数为 F m1a m1F 对m1 m2设物块所受的滑动摩擦力为 F ，弹簧秤自身质量为 m2, 弹簧秤的拉力为 F, 物块与弹簧秤的共同F f Fm1 fm2加速度为 a ，则弹簧秤的读数为 F m1a f 1 2 , 因此，应选 A、C m1 m2 m1 m2而当弹簧秤自身有质量点评】 轻弹簧的伸长量或弹簧

5、秤的读数只与弹簧上的弹力大小成正比， 时，弹簧秤的读数与作用在弹簧秤钮上的力没有直关系。二、弹簧与绳子约束问题的区别【典案 2】（ 1）如图 3 所示，物体的质量为 m，L2为质量不计的轻弹簧，一端悬挂在天花板上， 与竖直方向夹角为 ，L1 为一水平绳，现将 L1 剪断，求剪断瞬间物体的加速度与弹簧的弹力。解析 设 L1 的拉力为 T1，弹簧的拉力为 T2，重力为 mg，物体在三个力的作用下保持平衡， 沿着水平竖直方向建立直角坐标系。则：T2 cos mg，T2 sin T1T1 mgtan剪断线的瞬间， T1 消失，而弹簧的长度 L2未及发生变化， T2 的大小和方向都不变，物体即在 T1反

6、方向获得加速度。因为 mgtan ma所以瞬时物体加速度： a gtan ，方向水平向右。 瞬时弹簧的弹力： T2 mg 方向沿弹簧向上。cos【点评】 弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为 零或由零突变为某一值。L1 剪断，求剪断瞬间物体的加速2）如果把案例 2 中的弹簧换成细绳子，其它条件不变，将度和绳子的张力。T2 mgcos瞬时绳子的张力：T2 mgcos 方向沿绳子向上。解得瞬时物体的加速度： a gsin 方向为切向。点评】弹簧发生渐变，所以瞬时弹簧弹力“来不及变化”。绳子发生突变，瞬时张力“突然发生变化”，它们有质的变化。因此要具体问题，具体

7、处理。比较上面的两典案可以发现：弹簧与绳子的加速度、拉力大小方向都发生了变化。【体验 2】A、B 两球质量分别为 m1与 m2，用一劲度系数为 k 的弹簧相连，一长为 l 1的细线与 m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴 OO/上，如图 7 所示，当 m1与 m2均以角速度 绕 OO/做匀速圆周运动时，弹簧长度为 l2。求：（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？ （2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？ 解析（1）m2 只受弹簧弹力，设弹簧伸长 l，满足 2kl=m22（l1l2） 弹簧伸长量 l=m22（l1 l2）/k 对 m1 ，受绳拉力 T 和弹簧弹力 F 做匀速圆周

8、运动， 满足： TF = m12l1 绳子拉力 T=m12l1 m22（l1l2）（2）线烧断瞬间2A 球加速度 a1=F/m1=m22（l1 l2）/m12B 球加速度 a2=F/m2=2（l1l2）三、静态平衡下的弹簧问题【典案 3】一个重为 G 的小圆环套在一个竖直放置的半径为 R 的光滑圆环上 ,小圆环由一根劲度系数为 k,自然长度为 L（Lk2。a 和 b 表示质 量分别为 ma和 mb 的两个物块， mamb，将弹簧与物块按如图所示方式悬挂起来。现要求两根弹簧的总长度最大，则应使： ( )A S1在上， a 在上BS1在上， b 在上C S2在上， a 在上D S2在上， b 在上

9、解析 上面弹簧弹力是确定的，等于 ab两物体的重力 要使上面的伸长量大，应使劲度系数小的在上，即 S2 在上面要使下面伸长量大，应让质量大的物体在下面，即 a 物体在下面正确答案 D【点评】 本题是根据胡克定律解题的， 由 F=kx 知要使形变量 x 最大，则必有F 最大或 k 最小。四、动态平衡涉及到的弹簧问题m1k1m2K2【典案 4】如图 10 所示，劲度系数为 k1的轻质弹簧两端分别与质量为 m1 、m2 的物块 1、2 拴 接，劲度系数为 k2的轻质弹簧上端与物块 2 拴接，下端压在桌面上 (不拴接)，整个系统处于平衡状 态。现施力将物块 1 缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚

10、脱离桌面，在此 过程中物块 2 的重力势能增加了多少？物块 1 的重力势能增加了多少？解析 本题中有两个关键性词语应予重视， “轻质” 弹簧即不计弹簧质量； “缓慢地”竖直上提，系统动能无变化，且上提过程中，系统受合力始终为零。原先，系统平衡时， k1 压缩 x1 = m1 g/ k1k2 压缩 x2=(m1 + m2 )g/k2后来， k2 下端刚脱离地面时， k2 没形变，此时 k1 弹簧伸长 x1= m2 g/ k1图 10故物块 2 的重力势能增加 Ep2 = m2 g x2=(m1 + m2 )m2 g2/k22物块 1 的重力势能增加 Ep1= m1 g(x1 +x2 + x1)=

11、 m(1 m1 + m2 )g(1/k1+1/k2 )体验 4如图 11 所示，两个木块质量分别为 m1和 m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2， 上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接) ，整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到k2解析： 对弹簧 2分析： F=m2g， 所以 x= F = m2g ，故选 D KK同静态平衡【点评】 因“缓慢”上提木块，故整个装置在上提过程中是处于一种动态平衡过程中，一样，涉及到的知识是胡克定律，一般用 F=kx 或F=k?x 来求解。五、变速运动中的弹簧问题 弹簧连续形变其弹力为变力，在弹簧作用下的运动一般是加速度变化的变速运动，简谐运

12、动只 是其中的一种。如果连接弹簧的物体做匀变速，必有变化的外力作用，要注意变化的外力存在极值 问题。【典案 5】如图 12 所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空 中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中A升降机的速度不断减小B升降机的加速度不断变大 C先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功 D到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值解析在一般的习题集中，本题常见形式是一个球从高处下落到一支竖在地面上的弹簧的顶 端（图 12）。升降机下落到弹簧下端触地后，就相当于球下落到直立的弹簧上，弄清图 9

13、 中的小球下落情况，也就明白了图 12 中升降机的运动情况，为了说明图 13 中小球接触弹簧后的运动，我们把球接触弹簧后的运动划分成三个点和三个点之间的两个阶段来研究，这三个点就是接触点、平衡 点和最低点。从接触点到平衡点，小球所受的重力大于弹力，加速度逐渐减小，速度逐渐增大，重 力的功大于弹力的功，动能逐渐增大，重力势能逐减少，弹性势能逐渐增大；从平衡点到最低点， 小球所受的弹力大于重力，加速度逐渐增大，速度逐渐减小，重力的功小于弹力的负功，动能逐渐 减少，重力势能逐渐减少，弹性势能逐渐增大。在本例中，对于选项（ D），可以用弹簧振子的一个知识点来分析，把小球接触弹簧后的运动看作简谐运动，那

14、么最低点是简谐运动的一个端点，而接 触点不是端点，接触点位置有速度，由于简谐运动过程中速度小处加速度大，接触点处的加速度为 g，所以最低点处（端点）的加速度就大于 g 。【点评】运用对称性解决简谐运动问题，是最有效的方法。要特别注意简谐运动回 复力、加速度、位移的对称性。【体验 5】如图 14 所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端 各与小球相连，另一端分别用销钉 M、 N 固定与杆上，小球处于平衡状态，设拔除销钉M的瞬间，小球加速度的大小为2 m/s ）A 22 m/s 2, 方向竖直向上C2 m/s 2, 方向竖直向上12m/s2，若不拔除销钉 M而拔除销钉 N 瞬间，小球

15、的加速度可能是 （g=102 22 m/s 2, 方向竖直向下 2 m/s 2, 方向竖直向下 自身的重力、弹簧簧 2 的拉力（或推力） ，这三个力的合力为零。拔去销钉 M ，弹簧 1 的一端失去了“依靠”解析拔去销钉之前，小球受到三个力的作用1 的拉力（或推力） 、弹，另一端 FM也就“使不出力”了，即弹簧 1 对小球的作用力消失，弹簧 2 的作用力暂时 FN不变。拔去销钉 M 的瞬间，小球的加速度为 12m/s2 ，其方向有两种可能， 一种是方向向上，另一种是方向向下。（1） 若方向向上，则拔去 M 之前，球的受力如图甲所示，若拔去 销钉 N，则 F 合 =FM +mg=ma1 ，a1 =

16、22 m/s2 ，方向向下。（2） 若方向向下，则拔去 M 之前，球的受力如图乙所示， 若拔去销钉 N，则 F 合 =FM mg= ma2 ， a2=2m/s2 ，方向向上。【点评】 弹簧所处的状态不同如拉伸、 压缩时，弹力的方向也不相同 题要明白弹簧可能所处的不同的状态就容易得出答案： B、 CmgFM15mgFN乙六、瞬时作用涉及到的弹簧问题【典案 6】质量相同的 A、B 两球，由弹簧连接后，挂在天花板 上，如图 16 所示， aA、aB 分别表示 A、 B 两球的加速度，则（ ）A. 在 c 处剪断瞬间aA 2g,aB 0B. 在 c 处剪断瞬间aA aB g图 1617C. 在 d 处

17、剪断瞬间aA 0,aB gD. 在 d 处剪断瞬间aA g,aB g解析 剪断前， A、B 两球的受力情况如图在 c 处剪断的瞬间， T1 变为零，由于 A、 B 间弹簧的弹力不能发生突变，仍保持原来的大小、 方向不变，由牛顿第二定律的瞬时性特征知， aB=0， aA=2g在 d 处剪断的瞬间，同理可得 T1不变， T2变为零，故 aB=g aA=-g 故选 AD 项。 因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小和方向不变，即弹簧的弹力瞬间不突变。体验 6如图 18 所示，木块 A 与 B 用一轻弹簧相连，竖直放

18、在木块 C 上，A、B、C 的质量之比是 12 3设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出 木块 C 的瞬时，木块 A 和 B 的加速度分别是 aA= ， aB= A、 B、C 的质量分别为 抽出木块 C 前，木块 A 受到重力和弹力一对平衡力， A 受到重力和弹力的大小和方向均没变，故木块 A 的17 所示图 18三者静置于地面，解析 由题意可设以木块 A 为研究对象， 抽出木块 C 的瞬时，木块 瞬时加速度为 0以木块 AB 为研究对象，由平衡条件可知， 木块 C 对木块 B 的作用力 FcB=3mg 以木块 B 为研究对象，木块 B 受到重力、弹力和 FcB 三力平衡，抽出木块 C 的瞬

19、时， 木块 B 受到重力和弹力的大小和方向均没变， FcB瞬时变为 0，故木块 C 的瞬时合外力为竖 直向下的 3mg。瞬时加速度为 1.5g说明 区别不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变m、2m、3m七、临界状态中涉及到的弹簧问题典案 7】如图 19 所示， A、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块 A、B 质量分别为 0.42 kg和 0.40 kg，弹簧的劲度系数 k=100 N/m ，若在木块 A 上作用一个竖直向上的力 F ， 使 A 由静止开始以 0.5 m/s2 的加速度竖直向上做匀加速运动( g=10 m/s2 )( 1)使木块 A 竖直做匀加速运动的过程中，力 F 的最大值(

20、 2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到 A、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了 0.248 J，求这一过程 F 对木块做的功解析 此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物 体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0 时 ,恰好分离 .当 F=0(即不加竖直向上 F 力时)，设 A、 B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为 x，有即 =(mA +mB )g kx=(m A +m B)g 即 x= k对 A 施加 F 力，分析 A、 B 受力如右图所示对 A F+N-m A g=mA a 图对 B kx -N-m Bg=m Ba可知，

21、当 N 0 时， AB 有共同加速度 a=a，由式知欲使 A 匀加速运动，随 N 减小 F 增大 . 当 N=0 时， F 取得了最大值 Fm,即 Fm =m A (g+a)=4.41 N又当 N=0 时， A、 B 开始分离，由式知，此时，弹簧压缩量 kx=m B (a+g) x= mB (a+g) k2AB 共同速度 v2 =2 a(x -x ) 由题知，此过程弹性势能减少了 WP=EP=0.248 J设 F 力功 WF ，对这一过程应用功能原理12WF= 2( mA +mB)v2+(mA +mB)g(x-x)-E p 联立，且注意到 EP=0.248 J 可知， WF=9.64 10-2

22、 J体验 7】一根劲度系数为 k,质量不计的轻弹簧，上端固定 ,下端系一质量为 m的物体 ,有一水平板将物体托住 ,并使弹簧处于自然长度。如图 21 所示。现让木板由静止开始以加速度 a(a g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。解析 设物体与平板一起向下运动的距离为 x 时，物体受重力 mg，弹簧的弹 力 F=kx 和平板的支持力 N 作用。据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma 得 N=mg-kx-mam(g a)当 N=0 时，物体与平板分离，所以此时 xk因为 x 12 at 2，所以 t2m(g a)kaa图 21点评】相互接触的物体间可能存在弹力的相互作用，对于面接

23、触的物体，在接触面间弹力变 为零时，它们将要分离。八、简谐运动涉及到的弹簧问题典案 8】两块质量分别为 m1 和 m2 的木块，用一根劲度系数为 k 的轻弹簧连在一起，现在 m1上施加压力 F，如图 22 所示为了使撤去 F 后 m1跳起时能带起 m2，则所加压 力 F 应多大？解析 m2 恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长 x2，且 kx2=m2g 和m1 速度为零根据简谐振动的对称性求解 ： m2不离开地面， m1做简谐振动， 则振幅： A x1 x0 x2 x0 x1 x2 2x0 m2g 2m1gkk 加压力 F 时 F m1g kx1 所以人 F kx1 m1g (m1 m2)

24、g点评】物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性求解， 会简单的多。【体验 8】如图 23 所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中， 升降机吊索在空中断裂， 忽略摩擦力， 则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的 一段运动过程中： ( )A. 升降机的速度不断减小B.升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的 正功D.到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值解析升降机从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动可以转化为熟悉的弹簧振子，其平衡 位置是重力与弹力相平衡的时刻。升降机的弹簧从触地到平衡位置之前

25、，加速度是在不断减小，速 度不断增大，故选项 A、 B 不正确。弹簧下端触地后，升降机先加速后减速，加速度先减小后增大。 达到平衡位置之前，重力大于弹力，所以重力做正功大于弹力做的负功； 过了平衡位置，弹力大于重力，所以重力做正功小于弹力做的负功。 选项 C 正确。对于选项 D，可以设想有一轻弹簧竖直在水平地面上，将一小球无初速度放于弹簧上，可以证 明小球的运动为简谐运动。由简谐运动的对称性知小球在最低点加速度的值等于在最高点的值。若 小球以一定速度落在弹簧上，在最低点加速度的值必大于重力加速度的值。故选项 D 正确。答案： CD点评简谐运动的对称性在弹簧问题的运动上有广泛的应用，因此在解决有

26、关于位移、速度、 加速度及力的变化时，经常用到。九、弹簧做功与动量、能量的综合问题典案 9】如图 24 中，轻弹簧的一端固定，另一端与碰前)，由功能关系，有滑块 B相连， B静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另 一质量与 B相同滑块 A，从导轨上的 P 点以某一初速度向 B 滑行，当 A 滑过距离 L1时，与 B 相碰，碰撞时间极短，碰 后 A、 B 紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后 A 恰好返回出发点 P并停止。滑块 A 和 B与导轨的滑动摩擦因数都为 ，运动过程中弹簧最大形变量为 L2 ，求 A 从 P 出发时的 初速度 0。解析 设 A、 B质量均为 m，A 刚接触 B时速度为 v

27、11 mv02 1 mv12 mgL122A、B 碰撞过程中动量守恒，设碰后 A、B 共同运动的速度为 v2.有mv1 2mv2 碰后 A、B先一起向左运动，接着 A、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设 A、B 的共同速度为 v3 ，在这过程中，弹簧弹性势能始末两态都为零，利用功能关系，有1 2 1 2(2m)v22 (2m)v32 (2m)g(2L2 ) 22此后 A、B开始分离， A 单独向右滑到 P 点停下，由功能关系有12mv3 mgL1 2由以上各式，解得 v0 g(10L1 16L2 ) 【点评】弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系。它有机地将动量守恒、机械 能守恒

28、、功能关系和能量转化结合在一起，能力要求较高，分析这类问题时，要耐心细致分析弹簧 的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。弹力做功是一个“变力”做功的问题，在中学物理中， “变力”做功应用动能定理来解答，弹性势能 在中学物理中没有定义式，在求其值的时候，必须应用能量守恒的原理来求，对于较综合的题型，虽然先后涉及到几个较复杂的过程，但往往会出现先后二个状态弹簧的形变情况一样，这就意味着图 25先后二个状态弹簧的弹性势能一样，对此必须引起足够的重视。【体验 9】如图 25 所示， 质量为 m1 的物体 A 经一轻质弹簧与下方 地面上的质量为 m2 的物体 B 相连，弹簧的劲度系数为 k，A、

29、 B 都处于 静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A，另一端连一轻挂钩。 开始时各段绳都处于伸直状态， A 上方的一段绳沿竖直方向。 现在挂钩上挂一质量为 m3 的物体 C 并从静止状态释放，已知它恰好能使 B 离开地面但不继续上升。若将 C 换成另一质量为（ m1+ m3）的物体 D ，仍从上述初始位置由静 止状态释放，则这次 B 刚离地时 D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为 g 。解析先后两个状态都讲到 B 刚要离开地面，即弹簧的弹力都等于 m2g，即先后讲到的 B 要离开地面的两个状态对应的弹簧弹性势能相等，由于初态的弹性势能一样，可见弹性势能的改变量 E 相等。 初态：弹簧的压缩量 x1 = m1 g/ kB 刚要离开地面时弹簧的伸长量 x2= m2g/k2第一过程 E= m3g（x1 +x2） m1 g（x1 +x2）第二过程 E=（m1+ m3）g（x1 +x2）m1 g（x1 +x2） （m1+ m3）v m1v解 得： v 2m1（m1 m2 ）g22m1 m2 k【点评】弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量。 弹簧的弹力做功是变力做功，求解一般