初中竞赛几何必做100题高难度版.docx

1、初中竞赛几何必做100题高难度版初中竞赛几何必做 100 题第一题：已知： ABC 外接于 O ， BAC 60 ， AE BC ， CF AB ， AE 、 CF 相交于点 H ，点 D 为弧 BC 的中点，连接 HD 、 AD .求证： AHD 为等腰三角形 .第二题：如图， F 为正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AC 、 AF ， 延 长 AF 交 AC 的平行线 DE 于点 E ，连接 CE ,且 AC=AE.求证： CE CF .第三题：ABC 中， AB AC ， BAC 20 ， BDC AD BC .第四题：已知：求证：ABC 中， D 为 AC 边的中点， A 3

2、C ， ADB 45 .AB BC .第五题：如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 交于点 E ， BAC 50 ， ABD 60 ，CBD 20 ， CAD 30 ， ADB 40 ，求 ACD .A第六题：ABC 30 ，ADC 60 ， AD DC ，求证： AB2 BC 2 BD2 .第七题：如图， PC 切 O 于 C ， AC 为圆的直径， PEF 为 O 的割线， AE 、 AF 与直线 PO 相交于 B 、 D .求证：四边形 ABCD 为平行四边形 .EP第八题：已知：在 求证：ABC 中， AB AC ， A 80 ， OBC 10 ， OCA 20 .AB

3、 OB .第九题：ABCD 中， OAD ODA 15 ，求证： OBC 为正三角形 .第十题：已知：正方形 ABCD 中 ，接 PC .求证： PC BC .E 、 F 为 AD 、 DC 的中点，连接 BE 、 AF ，相交于点 P ，连第十一题：如图， ACB 与 ADE 都是等腰直角三角形，交 BE 于 F ，求证： CFD 90 .AADE ACB 90 ， CDF 45 ， DFDF第十二题：已知： ABC 中， CBA 2 CAB ， CBA的角平分线 BD 与 CAB 的角平分线 AD 相交于点 D ，且 BC AD .求证： ACB 60 .第十三题：ABC 中， AC BC

4、 ，C 100 ， AD 平分 CAB .求证： AD CD AB .第十四题：已知： ABC 中， AB BC ， D 是 AC 的中点，过 D 作 DE BC 于 E ，连接 AE ，取 DE中点 F ，连接 BF .求证： AE BF .第十五题：ABC 中， A 24 ， C 30 ， D 为 AC 上一点， AB CD ，连接AB BC BD AC .第十六题：已知：的中点求证：ABCD 与 A1B1C1D1均为正方形， A2 、 B2 、 C2 、 D2 分别为 AA1 、 BB1 、 CC1 、 DD1A2 B2C2 D2为正方形 .第十七题：45 ，如图，在 ABC三边上，向外

5、做三角形 ABR 、 BCP 、 CAQ ，使 CBP CAQBCP ACQ 30 ， ABR BAR 15 .求证： RQ 与 RP 垂直且相等 .第十八题：如图，已知 AD 是 O 的直径， D 是 BC 中点， AB 、 AC 交 O 于点 E 、 F ， EM 、 FM是 O 的切线， EM 、 FM 相交于点 M ，连接 DM .求证： DM BC .第十九题：如图，三角形 ABC 内接于 O ，两条高 AD 、 BE 交于点 H ，连接 AO 、 OH 。若 AH 2 ，BD 3 ， CD 1，求三角形 AOH 面积 .如图， DAC 2x ， ACB 4x ， ABC 3x ，

6、AD BC ，求 BAD .已知：在 Rt ABC 中， ABC 90 ， D 为 AC 上一点， E 是 BD 的中点， 1 2 .求证： ADB 2 ABD .B已知正方形 ABCD ， P 是 CD 上的一点，以 AB 为直径的圆 O 交 PA 、 PB 于 E 、 F ，射线 DE 、 CF 交于点 M .求证：点 M 在 O 上 .DCB DBA 30已知，点 D 是 ABC内一定点，且有 DAC求证： ABC 是正三角形 .如图，过正方形的顶点 A 的直线交 BC 、 CD 于 M 、 N ， DM 与 BN 交于点 L ， BP BN ，交 DM 于点 P .求 证 ： （ 1）

7、 CL MN ； （ 2） MON BPM .已知：在正方形 ABCD 中， E 是 CD 上一点， AE 交 BD 于点 G ，交 BC 的延长线于点 F ，连接 OF ，交 CD 于点 H ，连接 GH .求 证 ： （ 1）当且仅当 E 为 CD中点时， OG GH AO；CF CH已知： ABCD 与 AEFG 均为正方形，连接 CF ，取 CF 的中点 M ，连接 DM 、 ME .求证： MDE 为等腰直角三角形 .ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，且 AB AD ， AO OC 。请你猜想AB BO 与 BC OD 的数量关系，并证明你的结论 .ABDC 中，

8、ABCACB 58 ， CAD 48 ， BCD 30 ，求 BDA在 ABC 中， D 是 AB 的中点， DAC 2 DCA ， DCB 30 ，求 B 的度数 .在四边形ABCD 中， AD CD ， AC BD ， AB AC ，求 BEC 的度数 .DACB 90 ， CAB 60 ， CDNCB 8 ，求 EMD 的度数 .68 ，如图， ABC 中， BD AC 于 D ， E 为 BD 上一点，且 ABD 38 ， CBDBCE 14 ， DCE 8 ，求 DAE 的度数 .NCD 为 O 的直径， A 、 B 为半圆上两点， DE 为过点 D 的切线， AB 交 DE 于 E

9、 ，连接OE ，交 CB 于 M ，交 AC 于 N .求证： ON OM78 ，求如图，四边形 ABCD 中， BC CD ， BCA 21 ， CAD 39 ， CDABAC 的度数 .A D20 ，求如图，四边形 ABCD 中， AD CD ， BAC 10 ， ABD 50 ， ACDCBD 的度数 .如图， BD CE ， G 、 H 为 BC 、 DE 中点， AB AC ， FD FE ， BAC DFE . 求证： AF / GHGFCB如图，在正方形 ABCD 中，有任意四点 E 、 F 、 G 、 H ，且 EF 4 、 GH 3 ，四边形EFGH 的面积为 5 ，求正方形

10、 ABCD 的面积 .2 C 3 B ， 2BC AB ，求 A .在 ABC 中， ABC 60 ， D 是 BC 边上一点， DC AB ， DAB 21 ，求 C .在 ABC 中， ABBDE 2 CED求证： BD 2CD .已知， FC 是正方形 ABCD 和正方形 AEFG 上的点 F 、 C 的连线，点 H 是 FC 的中点，连接 EH 、 DH 。求证： EH DH 且 EH DH .第四十二题：70CAD DAB 10 ， CBD 40 ， DBA 20 ，求证： CDB第四十三题：如图， E 、 F 分别是圆内接四边形求证： AFD BFDDADBC 的对角线 AB 、

11、CD 的中点，若 DEB CEB .AEF O已知： AB AC ， ADB 60 ， BCE 30求证： BA BEABC ， A为直角， I 为内心， BD 、 CE 分别为两内角平分线。IBC 的面积为 S 。求四边形 BCDE 的面积 .AB AC CD DE ，且 BE BD ，求 EBD 的度数 .如图， ABC CDE ， D ABC 90 ，点 B 在 CD 上， AB 、 CE 交于 F ，过 B作 BG AC 于 G ，交 CE 于 H ，连接 AH 并延长，交 CD 于 I ，设 AB x ， BC y 。（ x y ）BC求 ： （ 1 ） AH 的长（用 x ， y

12、表示） ； （ 2） 的值 .IC在 ABC 中， AD BC ， P 是 ABC外接圆 O 上一点，点 P 关于 AB 、 AC 的对称点为点 E 、 F ，连接 EF 与 AD 交于点 H ，求证： H 是 ABC 的垂心 .OB .如图，点 D 、 E 分别在 AC 、 AB 上， BD 与 CE 交于点 O ， AD AE ， OC求证： AC AB（寻求直接证法）以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。求证：这两条线段垂直且相等 .HFOIANBPDCM如图，ABC为一普通三角形，求证： AB2 PC AC 2 PB BC( AP2 PB PC)ABC 中，BE

13、 PBAD AE ；若D 、 E 分别在 AC 、 AB 上， BD 、 CE 交于 P ，CD PC ，求证： AB AC .（直接证明）如图， O 、 I 分别为 ABC 的外心和内心， AD 是 BC 边上的高， I 在线段 OD 上，AB AC ，求证： ABC 的外接圆半径等于 BC 边上的旁切圆半径 .如 图 ， 三 角 形 BDC 和三角形 BEA都是等腰直角三角形， BDC BEA 90 ， 连 接 AC ，取 AC 中点 F ，连接 EF 、 DF 、 DE ，证明三角形 DEF 是等腰直角三角形 .ABC 中 ， CA CB ， D 、 E 分别在垂线分别交 AB 于 G

14、、 H ，若 ACBCA 、 CB 上，并且 CE CD ，过 C 、 D 作 AE 的90 ,求证： BG GH .PBA PCA ， D 是 BC 中点，过点 P 分别作F ，求证： D 、 E 、 F 三点共线 .已知， ABC ， BCA 90 ，过 C 作 AB 的垂线，垂足为 D 点，设 X 是线段 CD 内部的一个点， K 在线段 AX 上，满足 BK BC ；类似地， L 在线段 BX 上，满足 AL AC 。令 M 为 AL 与 BK 的交点，证明： MK ML100 ， DC 平分C ， CAE 20 ，求 CDEP ， AD 和 BC 的延长线交于点ABCD 内接于圆，其

15、边 AB 、 DC 的延长线交于点Q ，过 Q 作该圆的两条切线，切点分别为 E 、 F ，求证： P 、 E 、 F 三点共线 .ODCFBE在锐角 ABC 中，CQ AE 、 CP求证： PM ANAC 、 BC 切内接圆于点 E 、 D ，在 AC 、 BC 上取点 Q 、 P ，使得BD ， BQ 交 AP 于点 M ，把 AP 与圆的交点离 A近的记作点 N .D 是 AB 的中点， DAC 2 DCA ， DCB 30 ，求B如图， MN 为 ABC 边 BC 的中垂线， MN 交 ABC 的外接圆于 M 、 N ， 交 BC 于 D ，过 D 做 AN 的平行线， P 为该平行线

16、上一点，过 P 作直线与 PM 垂直交 ABC 于 E 、 F .求证： PE PFABCD 是正方形， CE = EF ， CEF 90 ，连接 AF ， G 是 AF 中点，连接 GD 、GE 。求证： GD GE 且 GD GE .CD设点 I 、 H 分别为锐角 ABC 的内心和垂心，点 B1 、 C1为两边中点，射线 B1I 交边AB 于点 B2（ B2 B ） ，射线 C1I 交 AC 的延长线于点 C2 ， B2C2 与 BC 相交于 K ，A1 为 BHC 的外心 .求证： A 、 I 、 A1 三点共线的充要条件是 BKB2 和 CKC2面积相等 .ABC的内切圆 I 切 A

17、B 、 BC 、 AC 于点 D 、 E 、 F ，直线 EF 与 AI 、 BIM 、 N 、 K .DM KE DN KF四边形 ABCD 内接于 O ，两对角线交于 H 两组对边分别相交于 P 、 Q .求证： H 为 OPQ 的垂心ABAC ， BAC 80 ， PBC 20 ，PCB 40 ，求 APB 的大小 .过圆外一点 A 作圆的切线 AC 、 AD ，再作割线 AEF ， 分 别 经 E 、 F 作圆的切线相交于 B ，求证： B 、 C 、 D 三点共线 .两个半径不等的圆满 K1 、 K 2 交于 A 、B 两点， C 、D 为 K1 、 K 2上两点且 AC AD ，E

18、F 的中垂线交于 P .CB 交 K 2 于 F ， DB 交 K1 于 E ， CD 、求证：CA 、 PA 、EP 构成直角三角形 .如图， ABC 中 ， BAC 60 ， AB 2 AC ，点 P ABC内，且 PA 3 ， PBPC 2 ，求 ABC 的面积 .CD2若 ABC 为等边三角形， O 为其内接圆， D 为 O 上一点，证明或否证： AD2 BD2为定值 .ABC 的内切圆 I 切 BC 于 D ， M 是高 AH 的中点， DM 交圆于 R ，求证： DR 平分BRC .ARMIDB 、如图，正三角形 ABC ，以 A为顶点向外作两个正三角形 ADE 和 AGF ，连接

19、 EF 、CG ，取 EF 、 DB 、 CG 中点 M 、 K 、 N 连接 .求证：三角形 KNM 为正三角形 .AFC ， G 是 AF 上的点，直线 BG 、 CG 分DFA .如图， F 为三角形 ABC 内一点， AFB别交 AC 、 AB 于 D 、 E ，求证： EFAAFED如图， ABC 中，分别在 AB 、 AC 上取点 D 、 E ，使得 BD CE ，连接 BE 、 CD 相交于点 P ，点 M是 BC 的中点，BAC 的平分线 AQ 与 PM 相交于点 Q ，DQ 与 BE 交于点 K ， EQ 与 CD 交于点 T .求证： ( 1)四边形BPCQ是平行四边形2)

20、BK BECTS BKQCD3) S ABKS BKQ S ACT SCTQ4)S CTQABAC如图，平行四边形 ABCD ， E 、 F 、 H 分别为 BC 、 AD 、 BD 中点， G 为 DC 上任一点 ， GE 、 DB 延长线交于 J 点，连接 JF ，取 JF 上的点 I ，使得 IH / AD ，连接 IE ，求证： IE / FG .如图，四边形 ABCD 是圆满内接四边形，对角线 AC BD ， E 是 AB 、 DC 交点， F 是 AD 、LM 和 EFBC 交点， L 、 M 是 AC 、 BD 的中点，连接LM 求证：EF如图，四边形 ABCD 各边都相等， A

21、BC 60 ， FD 与 BA 延长线交于 E 点，延长 BC 至F ，连接 FA 、 CE ，交点为 M ，连接 CA求证： CA2 CM CEM如图，三角形 ABC ， D 为 BC 上的点，过 B 作 BE AE ，交 AD 延长线于 E ，作 CF AD求证： FG GE .三角形 ABC ， O 重心，过 O 作任一直线交 AB 、 AC 于 X 、 Y，求证： OX 2OY .X如图，三角形 ABC ，以 AB 、 AC 为底边向外作等腰 ABD 和 ACE ， AD BD ，AE CE ， DAB EAC ， F 、 G 、 H 、 I 、 J 分别为 AD 、 AE 、 EC

22、、 BD 、 BC 中点，连接 FH 、 IG 、 AJ ，求证： FH 、 IG 、 AJ 三线共点 .如图， A 为圆外一点， AB 、 AC 为圆两条切线，切点为 B 、 C ， ADE 为圆任意一条割线，交圆于 D 、 E ，在圆上取一点 F ，连接 BF 使 得 BF / DE ，连接 CF 交 DE 于 G .求证 ： G 为 DE 中点 .ODF如图，以任意 ABC 三边分别向内侧作三个正三角形 BCD 、 ABE 、 ACF ，连接 AD并延长与 CE 相交于 G ，求证： F 、 B 、 G 三点共线 .S ，另过 A 、 B 分别作圆如图， AC 、 BD 为圆内两条不平行

23、的弦，分别延长后相交于点的两条切线 PA 、 PB ，相交于 P ，连接 BC 、 AD ，交点为 Q ，求证： P 、 Q 、 S三点共线.P 是是圆 O 外一点，过 P 点作圆 O 的两条切线 PA 、 PB ，切点为 A 、 B ， M 为弦 AB 中点 ， C 为圆 O 上优弧 AB 上的任一点，连接 CM 、 CP .求证： ACP BCM .H 是 ABC 垂心， BD AC ， O 是 ABH 外心，点 M 是 AH 中点， CM 、 C 作 CE / GH ，交 AH 延长线于 E .OD DE .已知，锐角 于点 求证：ABC 的外接圆为O ， AD 是直径，过点 B 、 C

24、 作 BC 垂线交直线 CA 、 BAF .BEDADF .第八十八题：设 A 、 B 、 C 、 D 是圆上四点，点 P 满足条件 APC BPD ， AC 与 BD 交于点 E ， PAB 与 PCD 交于 P 、 F 两点，求证： APE FPD .如图， AB 为 O 的任意一条弦， E 、 F 为 AB 三等分点， P 为劣弧 AB 上一点，延长 PE 、PF 分别交 O 于 C 、 D .证明； AC BD CD EF .如图，求证：PB 、 PC 交矩形 ABCD 的对角线于 E 、 F ， DE 与 AF 交于点 Q .PQ BC .AEF 、 CED 、 BDF 垂心分别D

25、、 E 、 F 分别是 BC 、 AC 、 AB 上三点，求证：S DEF S GIH .如图，在 ABC 中， AB AC ， 内 切 圆 I 与边 BC 切于点 D ， AD 交内切圆 I 于另一点 E ，圆 I 的切线 EP 交 BC 的延长线于点 P ， CF / PE ，交 AD 于点 F ，直线 BF 交圆 I 于点M 、 N .证明： ENP ENQ .ABC已知， BAC 90 ， AH BC 于点 H ， 点 J 、 I 、 S 分别是 ABH 、 ACH 、 的旁心， S 在 BC 上的射影是 E ，过 J 、 I 分别作 JE 、 IE 作垂线交于点 G .求 证 ： （

26、 1）四边形 EJGI 是正方形；（ 2） SG/ AE且 SG AE .如图，四边形 ABTG 、 ACDE 是正方形，线段 BC 的中点是 K ，求证： TEK 的面积= GDK 的面积 .如图，在 ABC中，设 AB AC ， 过 A 作 ABC的外接圆的切线 l ，又以 A为圆心， AC为半径作圆分别交线段 AB 于 D ；交直线 l 于 E 、 F .求证：直线 DE 、 DF 分别通过 ABC 的内心与一个旁心 .AFED第九十六题：如图， ABCD 是圆内接四边形， AC 与 BD 的交点为 P ， E 是弧 AB 上一点，连接 EP 并延长交 DC 于点 F ，点 G 、 H

27、分别在 CE ， DE 的延长线上，满足 EAG FAD ，EBH FBC ，求证： C 、 D 、 G 、 H 四点共圆 .如图，锐角三角形 ABC的外心为 O， K 是边 BC上一点（不是边 BC的中点） ， D 是线段AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC 交于点 N ，直线 CD 与 AB 交于点 M .求证：若 OK MN ，则 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆 .如图，圆 I 内切于圆 O ，切点为点 M ， MN 为圆 O 的直径，过点共线.P ，圆 O 的弦 AB 切圆 I 于点 Q ， PQ 的延长线交圆 O 于P 作 PA的垂线交 AN 于点 C ，求证： C 、 I 、 Q 三点2013 年中国西部数学奥林匹克几何题BOG 、已知 PB 、 PC 是 O 的切线，点 G 在 O 上， PG EF ，其中 OE 、 OF 分别是COG 的角平线 .求证： EG GF .第一百题：设 ABC 中 ， BAC 60 ， ATCBTC CTA 120 ，点M 是 BC 的中点 .求证： TA TB TC 2 AM .第一百零一题：如图： O 、 H 是 ABC 的外心和垂心， D 、 F 分别是 BC 、 AB 的中点； P 、 Q 分别在 BA 、BC上，且满足 DP DH ， FQ FH .求证： PQ OHDCFOHB