最新高中数学人教版必修5全套教案.docx

1、最新高中数学人教版必修5全套教案最新精品 资料1 1 1 正弦定理教学目标知识与技能： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发 ,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察， 推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理， 并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力， 通过三角形函数、 正弦定理、 向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩

2、证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程一.课题导入如图 1 1-1，固定ABC 的边 CB 及 B ，使边 AC 绕着顶点 C 转动。A思考：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？C二.讲授新课 探索研究 在初中， 我们已学过如何解直角三角形， 下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，asin Absi

3、n Bsin C1cA有 c， c，又c ,abcc则 sinA sinBsin CCabc从而在直角三角形ABC 中， sin AsinB sinC思考 1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，（ 1）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，ab有 CD= asin Bbsin A,则 sin Asin B ，Ccb同理可得 sin CsinB ，baabc从而 sin AsinBsin CAcB（2）当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己

4、推导）思考 2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。BB（证法二）：过点 A 作单位向量 jAC，由向量的加法可得ABACCB则 j ABj( ACCB) jABjACjCBC00BjAB cos 90A0 j CB cos 90 CAacj csin AasinC ，即 sin AsinC同理，过点 C 作 jBC ，可得bcabcsi nBsCin从而 sinA sinBsin C从上面的研探过程，可得以下定理abc正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin AsinBsin C 理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成

5、正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ak sin A ， bk sinB ， ck sin C ；abcabcbac（2） sinAsinBsin C 等价于 sinA sin B ， sin CsinB ， sinAsin C思考：正弦定理的基本作用是什么？absin A已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin B ；sinAa sin B已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如b。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例题分析 例 1在ABC 中，已知 A32.00， B81.80， a42.9 cm，解三角形。解：根

6、据三角形内角和定理，C1800( AB)1800 (32.00 81.80 )66.20；asin B42.9sin81.80根据正弦定理，bsin Asin32.0080.1(cm) ；as i nC0c4 2. 9 s i n 6 6. 21(cm ).s i nA7 4.根据正弦定理，s i n 3 20. 0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习：在 ABC 中，已知下列条件解三角形。（1） A45 ， C 30 ， c10cm ，（2） A60 ， B 45 ， c 20cm例2在ABC 中，已知 a20cm， b28 cm， A 400，解三角形（角度精确到 10 ，边长

7、精确到 1cm）。解：根据正弦定理，sin B bsin A28sin40 00.8999.00B 6400a20因为 0 B180，所以，或 B 116.0C1 8 0A(B) 180( 4 06 4) casinC20sin7607 6030(cm). 当 B64 时，00000sin Asin40， casinC20sin240 当 B1160时， C1800(AB) 1800 (4001160)240sin Asin40 013(cm).应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课堂练习第4页练习第 2题。aAbBcCk( ko)ABC 中， sinsinsin思考题

8、：在，这个 k 与ABC 有什么关系？三.课时小结（由学生归纳总结）abcabck k0（1）定理的表示形式： sinAsinBsin Csin AsinB sin C；或 a k sin A， b k sin B ， ck sin C ( k0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。四.课后作业： P10 面 1、 2 题。1.2 解三角形应用举例 第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣 ,并体会数学的应用价值；同时培养学生运

9、用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点： 由实际问题中抽象出一个或几个三角形， 然后逐个解决三角形， 得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题， “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？” 在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离， 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道， 对于未知的距离、 高度等，存在着许多可供选择的测量方案， 比如可以应

10、用全等三角形、 相似三角形的方法， 或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间， 不能用全等三角形的方法来测量，所以， 有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。 今天我们开始学习正弦定理、 余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2) 例1、如图，设A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一

11、点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A 、B两点的距离(精确到0.1m)提问 1：ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边 AB 的对角， AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。ABAC解：根据正弦定理，得sin ACB=sin ABCACsin A C B55sinACB55sin 7555sin75AB =sin A B C =sinABC

12、 =sin(180 51 75 )=sin54 65.7(m)答:A 、 B 两点间的距离为65.7 米变式练习：两灯塔 A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东30，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ，则 A 、 B 之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略： 2 a km例 2、如图， A 、B 两点都在河的对岸 （不可到达），设计一种测量 A 、B 两点间距离的方法。分析： 这是例 1 的变式题， 研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D 两点。 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与

13、一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D ，测得 CD=a ，并且在 C、D 两点分别测得 BCA= ，ACD= ， CDB= ， BDA = ，在 ADC 和 BDC 中，应用正弦定理得asin()AC =sin180()asinBC =sin180()a sin()=sin()a sin=sin()计算出 AC 和 BC 后，再在ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =AC 2BC 22 AC BC cos分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选

14、取相距40 米的 C、 D 两点，测得BCA=60， ACD=30，CDB=45 ，BDA =60略解：将题中各已知量代入例2 推出的公式，得 AB=20 6评注： 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本 4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。课堂练习：课本第14 页练习第 1、 2 题归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有

15、关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解四、课后作业课本第 22 页第 1、2、3 题思考题：某人在 M 汽车站的北偏西 20 的方向上的 A 处，观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶。公路的走向是 M 站的北偏东 40 。开始时，汽车到 A 车前进 20 千米后，到 A 的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远，的距离为才能到达31 千米，汽M 汽车站？解：由题设， 画出示意图， 设汽车前进20 千米后到达 B 处。在ABC 中，AC=31 ，

16、BC=20 ，AB=21 ，由余弦定理得AC 2BC 2AB 223cosC=2AC BC= 31,432则sin 2 C =1- cos 2 C = 312 ,123sinC = 31 ,35 3所以 sin MAC = sin （ 120 -C） = sin120 cosC - cos120 sinC = 62在MAC 中，由正弦定理得31AC sinMAC335 3MC = sinAMC =262=35从而有 MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶 15 千米才能到达M 汽车站。作业：习案作业三1.2 解三角形应用举例 第二课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解

17、决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点、难点重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件三、教学过程.课题导入提问：现实生活中 ,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.讲授新课 范例讲解 例1、 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

18、分析：求 AB 长的关键是先求AE ，在 ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA ，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计算出AE 的长。解：选择一条水平基线HG ，使 H、 G、B 三点在同一条直线上。由在H、 G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是、， CD = a ，测角仪器的高是h，那么，在ACD 中，根据正弦定理可得asina sinsinAC =sin()AB = AE + h=ACsin + h= sin()+ h例 2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角=5440 ，在塔底 C 处测得 A处的俯角=501 。已知铁塔 BC 部分的高为27

19、.3 m,求出山高 CD( 精确到 1 m)师: 根据已知条件 ,大家能设计出解题方案吗？若在ABD 中求 CD ，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出 BD 边。师：那如何求BD 边呢？生：可首先求出AB 边，再根据BAD=求得。解: 在ABC 中,BCA=90+, ABC =90-,BCABBAC=-,BAD =.根据正弦定理 ,sin() =sin(90)BC sin(90)BCcos所 以AB=sin()= sin()在RtABD 中,得BDBCcossin=ABsin BAD=sin()27.3cos501 sin54 4027.3cos501 sin5440将测量数据代入上式 ,得

20、BD =sin(5440 501)=sin4 39 177 (m)CD =BD -BC 177-27.3=150(m)答: 山的高度约为150 米.思考：有没有别的解法呢？若在ACD 中求 CD，可先求出 AC 。思考如何求出 AC ？例 3、如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 ,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D在东偏南 15 的方向上 ,行驶 5km 后到达 B 处 ,测得此山顶在东偏南 25 的方向上 ,仰角为 8 ,求此山的高度CD.思考 1：欲求出 CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？（在 BCD 中）思考 2：在 BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出

21、CD, 根据条件 ,易计算出哪条边的长？（ BC边）解: 在ABC 中,A=15,C= 25-15 =10 ,根据正弦定理 ,BCABABsin AsinA =sinC ,BC=sinC 7.4524(km) CD=BC tanDBC BCtan8 1047(m)答: 山的高度约为1047 米.课堂练习：课本第 17页练习第 1、 2、 3 题.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。.课后作业作业：习案作业五1.2 解三角形应用举例 第三课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

22、一些有关计算角度的实际问题2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。二、教学重点、难点重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程.课题导入 创设情境 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度， 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中 ,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课 范例讲解 例 1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75 的方向航