机械优化设计方法02.ppt

1、第一章 机械优化设计概述第一节 应用实例 机械优化设计问题来源于生产实际。现在举典型实例来说明优化设计的基本问题。图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 Mpa，材料密度=7.8 /，许用压应力 =420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力 和失稳临界应力 的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。图2-2 人字架的受力人字架的优化设计问题归结为：使结构质量但应满足强度约束条件稳定约束条件钢管所受的压力失稳的临界力钢管所受的压应力钢管的临界应力强度约束条件可以写成稳

2、定约束条件可以写成人字架的总质量这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解。除了解析法外，还可以采用作图法求解。1-3人字架优化设计的图解第三节优化设计问题的数学模型一、设计变量 在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直处于变化的参数称为设计变量。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：图2-4 设计空间二、约束条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束性能约束侧面约束针对性能要求只对设计变量的取值范围限制（又称边界约束）（按性质分）按数学表达形式分：约束等式约束不等式约束可行域：凡满足所有约束条件的

3、设计点，它在设计空间的活动范围。一般情况下，其设计可行域可表示为：图2-5 二维问题的可行域三、目标函数 目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目标。如：轴的质量，弹簧的体积，齿轮的承载能力等。在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的优劣，故目标函数也可称评价函数。目标函数的一般表示式为：优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值，即使通常目标函数单目标设计问题多目标设计问题 目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即四、优化问题的数学模型 优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。优化设计问题的一般数学表达式为：数学模型的分

4、类：(1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：确定型模型随机型模型设计变量和参数取值确定设计变量和参数取值随机(2)按目标函数和约束函数的性质分：a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数称为线性规划问题，其数学模型一般为：b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：五、优化问题的几何解释无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在目标函数等值面的中心。约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在可行域内或在可行域边界上。第四节优化设计问题的基本解法求解优化问题的方法：解析法数值法数学模型复杂时不便求解可以

5、处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题图1-11 寻求极值点的搜索过程求解优化问题的基本解法有：求解优化问题的基本解法有：二、基本解法二、基本解法解析法解析法解析法解析法数值解法数值解法数值解法数值解法解解解解析析析析法法法法：即即利利用用数数学学分分析析(微微分分、变变分分等等）的的方方法法，根根据据函函数数（泛泛函函）极极值值的的必必要要条条件件和和充充分分条条件件求求出出其其最最优优解解析析解的解的求解方法求解方法 。在目标函数比较简单时，求解还可以。在目标函数比较简单时，求解还可以。局限性：局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复

6、杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。学分析方法就会带来麻烦。最最优优化化方方法法是是与与近近代代电电子子计计算算机机的的发发展展紧紧密密相相联联系系的的，数数值值计计算算法法比比解解析析法法更更能能适适应应电电子子计计算算机机的的工工作作特特点点，因因为为数数值值计计算算的迭代方法具有以下特点：的迭代方法具有以下特点：1 1）是数值计算而不是数学分析方法；）是数值计算而不是数学分析方法；2 2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3 3）最后

7、得出的是逼近精确解的近似解。）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。这些特点正与计算机的工作特点相一致。数值解法：数值解法：数值解法：数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化

8、设计问题的基本解法。法）是优化设计问题的基本解法。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、最优步长的确定等。数值迭代法的数值迭代法的基本思路：基本思路：基本思路：基本思路：是进行反复的数值计算，寻是进行反复的数值计算，寻求求目标目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的度的最优点最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：1 1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X X（0 0），从从X X（0 0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出

9、出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到一步达到X X（1 1）点；点；2 2）得到新点）得到新点X X（1 1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从方向及适当的步长，从X X（1 1）点出发再跨出一步，达到点出发再跨出一步，达到X X（2 2）点，点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。目标函数的最优点。1.1.求解步骤求解步骤在中间过程中每一步的迭代形式为：在中间过程中每一步的迭代形式为：图图1-11 迭代计算机逐步逼近最优点过程示

10、意图迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图 上式中：上式中：X X（k k）第第k k步迭代计算所得到的点，称第步迭代计算所得到的点，称第k k步迭代点，步迭代点，亦为第亦为第k k步设计方案；步设计方案；a a（k k）第第k k步迭代计算的步长；步迭代计算的步长；S S（k k）第第k k步迭代计算的探索方向。步迭代计算的探索方向。用用迭迭代代法法逐逐步步逼逼近近最最优优点点的探索过程如图的探索过程如图1-81-8所示。所示。运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：函数值下降的要求：（1 1）选择搜索方向）选择搜索方向）

11、选择搜索方向）选择搜索方向（2 2）确定步长因子）确定步长因子）确定步长因子）确定步长因子（3）给定收敛准则）给定收敛准则收敛：收敛：迭代法要解决的问题：迭代法要解决的问题：2.2.迭代终止准则迭代终止准则（1 1）点距准则）点距准则或或ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)（2）函数值下降量函数值下降量 准则准则或或xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)（3 3）目标函数梯度）目标函数梯度 准则准则 上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。一种或多种同时满足来进行判定。采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：图图图图1-12 1-12 优化设计流程优化设计流程优化设计流程优化设计流程三、优化设计三、优化设计 一般步骤一般步骤