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1、第3章 系统模型分类与数学描述31 系统模型的分类311系统与模型 系统可以定义为由相互联系、相互制约、相互作用的各个部分组成，具有一定整体功能和综合行为的统一体。模型是系统特征的部分信息的一种有用的抽象描述形式，是系统物理特性的数学抽象，它以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。从形式上，模型有物理模型、数学模型等形式。物理模型是实际系统某些特征的物理模拟(如缩小r的相似系统)，而数学模型则是用数学结构(例如图表，微分方程、差分方程、传递函数等数学方程)来表示系统的某种特征。例如，由质量块、弹簧和阻尼器组合构成的力学系统，可抽象表示成如图所示的模型。图中，F(t)为外力，假设

2、弹簧满足虎克定理，阻尼器为线性阻尼，则可建立的微分方程式为单自由度机械系统这就是图示系统的数学模型。另一方面，对于不同的物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。如图所示的电路，其回路方程如下：RLC电路 上述事实表明，同一种数学模型可以以描述物理性质和外貌截然不同的系统，但系统建模必须满足一定的条件。对于同一物理系统，在不同条件下，将得到不同形式的数学模型。在如图中，若弹簧不满足虎克定理，阻尼器的阻尼也不与速度成比例，那么得到的系统模型将要复杂得多。对于较复杂的系统，其数学模型可能是一个高阶微分方程。通常规定，微分方程的阶数为系统的阶次。可以把这种高阶微分方程表示成一阶联

3、立方程组的形式，这是同一个系统模型的两种截然不同的表现形式，前者称为输入输出方程，后者称为状态方程，它们之间可以相互转换。如果系统数学模型、初始状态以及输入激励信号均已确定，则可运用数学方法求解其响应输出。一般情况下，求解结果可以得到物理解释并赋予物理意义。总之，系统分析的过程，是从实际物理问题抽象为数学模型，经数学解析后再回到实际的过程。312系统分类 系统的分类问题比较复杂，方法也很多，通常我们可以根据数学模型的差异对系统进行分类，主要包括：1连续时间系统与离散时间系统 若系统的输入和输出都是连续时间信号，则称其为连续时间系统。若系统的输入和输出都是离散时间信号，则称其为离散时间系统。如前

4、两图所示系统都是连续时间系统，而数字计算机则是一个典型的离散时间系统。实际上，离散时间系统经常与连续时间系统组合应用，这种情况称为混合系统，连续时间系统的数学模型常用微分方程表示，而离散时间系统则主要用差分方程描述。2集中参数系统与分布参数系统 由集中参数元件构成的系统称为集中参数系统(如集中质量、弹簧、阻尼构成的力学系统)；而含有分布参数元件的系统则称为分布参数系统(如质量均布、变截面的弹性梁)。集总参数系统可用常微分方程进行描述，而分布参数系统的数学模型可以是偏微分方程或有限元模型，这时描述系统的独立变量仅有时间参数，而且还有描述空间几何位置的参数。3线性系统与非线性系统 具有叠加性与齐次

5、性的系统称为线性系统，所谓叠加性时指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和，而齐次性是指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。对于不满足叠加性和齐次性的系统被称之为非线性系统。4时变系统与时不变系统 如果系统的参数不随时间发生变化，则称其为时不变系统系统(或非事变系统、定常系统)；如果系统的参数随时间改变，称称其为时变系统(或参变系统)。综合以上两方面的情况，我们可能遇到线性时不变、线性时变、非线性时不变、非线性时变等系统。现以图为例来说明这几种系统数学模型的差异。若m、c、k都是线性、非时变元件，就可构成一个线性时不变系统，其数学模型如公式，

6、它是一个常系数线性微分方程。若质量m受某种外部控制作用而改变其大小(如质量块为一盛满水的水箱，在水箱下部有一可控的放水口)，即m(t)是时间的函数，则方程式将为变参线性微分方程，这是一个线性时变系统。如果c是非线性阻尼，而m、k仍保持线性、非时变，则可得到一个非线性常微分方程，这是一个非线性时不变系统。32 线性定常系统的数学描述 工程上常见的大多数控制对象(设备、装置或生产过程等)在所研究的有限时间区间内，当输入量和输出量只住较小范围内变化时，一般都町以看作是线性定常系统。若控制对象的工作范围较宽，往往也可以划分成多个小区段，对其进行逐段线性化处理。当控制对象受到某种特定形式(如阶跃、脉冲、

7、简谐波等)的输入作用后，输出量会从一个平衡状态转变到另一平衡状态，两个平衡状态之间的变化过程 过渡过程，就反映出对象的动态特性。如果认为这种动态特性不随时间变化，则系统便具有定常性质。描述线性定常系统动态特性的数学模型，其分类如表所示。表中除状态方程外，凡表示输入(控制)变量与输出(被控制)变量之间数量关系的其他各种模型，统称作输入输出模型。本章中以单输入、单输出情况为主，介绍连续系统和离散系统的各种数学模型；对于多输入、多输出情况，只就其模型的某些特点作简的说明。考虑到实际工作中有时会遇到下述情况;控制对象的某一种数学模型已经掌握，或可以比较容易地精确测定或辨识出来，而整个系统的控制方案所需

8、要的却是另一种模型，因此，在本章中还将对各种模型之间相互转换关系作了必要的论述；再考虑到系统辨识工作中还经常遇到输入信号是平稳随机过程(或序列)情况，线性系统对这类输入的响应与系统特性(或参数)之间的基本关系往往是辨识方法(如频域响应法、相关分析法和时间序列的ARMA建模法等)的理论依据，因此，本章还设有章节对此作了分析与讨论。本章最后以离散系统情况为例，说明了当线性定常系统的输入、输出数据是在随机观测噪声干扰下获取时，系统模型表达式的特点(即如何由普通差分方程形式转化为CARMA模型及预报误差方程形式)。321连续时间系统的数学模型 3211 微分方程 利用线性系统所遵循的物理定律，可在系统

9、的某个运行工况附近，把输入相对于其基准值U0的变化量u(t)和输出相对于其基准值Y0的变化量y(t)之间的动态关系，表示成如下n阶常系数线性微分方程：式中n为系统的阶数，0(0)为系统的纯时延，0 0的系统称为延时系统。显然，在线性定常系统情况下，参数a1，an；b1bm和0 都应与时间t以及u(t)和y(t)的大小无关。在绝大多数情况下，式右边u(t)的导数项最高阶次为mn即有b0=b1=bn-m-1=0，于是得 这时系统仍然称作n阶线性系统。3212 传递函数 现设系统的输入u(t)和输出y(t)的拉氏变换都存在，分别为U(s)=Lu(t)和和Y(s)=Ly(t)，则对上式两边各项求拉氏变

10、换，并令初始条件为零，可得进一步可得出线性定常系统的传递函数为 将A(s)和B(s)作因式分解后，可将传递函数写成如下零、极点表达式式中 称作系统的特征方程式，其根spi=pi+jpi(i=1，2，n)称作系统的极点，而 的根szi(i=1，2，m)称作系统的零点。为保证系统稳定，n个极点都应分布在s平面j轴的左方，即spi的实部应满足极点和零点全都不在S平面上j轴右方的系统称为最小相位系统，否则即为非最小相位系统。一般来说，只要H(s)的分母、分子多项式A(s)、B(s)没有公因子，则H(s)与微分方程式便是一一对应的。当给定输入u(t)的具体形式后，U(s)即为已知，从而可得再求拉氏反变换

11、，即得输出y(t)=L-1Y(s)。3213 频率响应函数 对于一般具有稳定性的工程系统，当输入端加入简谐信号u(t)=Ausin(t+u)后，其稳态输出也为简谐信号，其角频率与输入相同，即y(t)=Aysin(t+y)。显然u(t)和y(t)的稳态解仍满足微分方程式。现在先把u(t)和y(t)改写成指数函数形式式中，Im表示对取虚部。再把以上二式代入公式中，同时利用关系式：并对照公式，即可导出频率响应函数 由此可见，频率响应函数H(j)只是传递函数H(s)当s=j时的特殊情况，通常也是复数，可表示为模-幅角形式：式中称作幅频特性，表示输出对输入的比值与角频率叫的关系；又称作相频特性，表示输出

12、对输入的相位移与角频率叫的关系。进一步，将H(j)表示成实部一虚部形式，则分别得出实频特性R()和虚频特性I()，即3214 脉冲响应函数 在初始条件为零时，线性系统对于单位脉冲输入u(t)=(t)产生的响应y(t)=h(t)称作单位脉冲响应函数。因为这时U(s)=L(t)=l和U(j)=F(t)=1，由公式得Y(s)=H(s)和Y(j)=H(j)，于是h(t)与H(s)之间的关系为线性系统应具有以下两个重要性质，即 1因果性2稳定性 利用拉氏变换的卷积定理，不难由公式推知，当线性系统输入u(t)满足条件u(t)=0(t0)时，系统输出端上的响应为 3215 阶跃响应函数 在初始条件为零时，线

13、性系统对于单位阶跃输入u(t)=1(t)产生的响应y(t)=g(t)，称作单位阶跃响应函数。反之有于是再利用拉氏变换的终值定理，可得g(t)的稳态值为 g(t)曲线进入并保持在其稳态值g()附近 5或2范围以内所需要的时间，称作系统的调整时间Ts，它反映了系统过渡过程的长短。3216 状态微分方程 若对公式所描述的线性定常连续系统采用如下n维状态向量式中，则可由公式引出以下二次方程式中，上述两个方程分别称为n阶线性定常连续系统的状态方程(它总是一阶微分方程形式)和输出(观测)方程。由此二式所描述的系统方程框图如图所示。线性定常连续时间系统状态模型 对上式求拉氏变换，得联立方程，消去X(s)，即

14、得连续系统传递函数的另一种表达式 对于同一控制对象，状态向量x(t)可以有多种选择(包括向量维数不同的情况在内)，都能得到同样的输入输出间的关系。322离散时间系统的数学模型 如图所示，离散时间系统的基本组成为：采样器(采样周期为T)、保持器(常用的是零阶保持器)、控制对象。离散系统以输入u(t)和输出y(t)的采样值uk=uk=u(t)|t=kT和yk=y(t)|t=kT分别作为输入量和输出量。离散时间系统组成 3221 差分方程 微分方程是连续系统最基本的一种模型，对应地，差分方程与离散系统也有同样的关系。离散系统在动态情况下，输入、输出采样值序列uk和yk之间的关系可以表示成为如下常系数

15、线性差分方程：(33)式与(329)式中的系数对同一控制对象显然是各不相同的，两式时延量d与0的关系是d=0T。3222 脉冲传递函数 设系统的输入输出采样序列的z变换均存在，分别为U(z)=Zu(k)和Y(z)=Zy(k)，则对上式两边各项求Z变换，并令初始条件为零，可得进一步可得出系统的脉冲传递函数为：式中，3223 脉冲响应序列 在初始条件为零时，线性系统对于单位脉冲序列k产生的响应yk=hk称为单位脉冲采样序列。因为这时U(z)=Zk=1，Y(z)=H(z)，所以h(k)与H(z)的关系为反之与连续系统的脉冲响应函数h(t)类似，h(k)也有以下性质：1.因果性2.稳定性 需要注意的是

16、；对于同一个研究对象，其离散系统的脉冲响应序列hk并不对应于其连续系统脉冲响应函数h(t)的采样值hkT。事实上，当k输入离散系统中后，经过零阶保持所得到的是一个宽度为T高度为1的方波。系统对此方波的响应为因此，脉冲响应序列实际上是上述方波响应的采样值序列，即 上式表明，仅当采样周期T很小时，脉冲响应序列值hk才近似地与对应的脉冲响应函数h(t)的采样值hkT成正比，比例系数即为T。3224 阶跃响应序列 在初始条件为零时，离散系统对单位阶跃序列1k所产生的响应yk=gk称作单位阶跃响应序列。这时有反之 3225 状态差分方程 若对(329)式所描述的线性定常离散系统采用如下n维状态向量表示：式中，则由(329)式可得出下面两个联立方程：式中，(343)式和(344)式分别称作n阶离散系统的状态方程(它总是一阶差分方程形式)和输出(观测)方程。对该二式求z变换得由上二式消去X(z)，得离散系统脉冲传递函数的另一种表达式 323状态微分方程与状态差分方程的关系 对同一控制对象，在应用计算机进行采样控制前后，其连续系统模型和离散系统模型的系数矩阵、A、B间的对应关系是当A为非奇异阵时，上式