专题11 整式的乘除精讲精练解析版北师大版.docx

1、专题11 整式的乘除精讲精练解析版北师大版2019-2020学年七年级下学期期末考试高分直通车（北师大版）专题1.1整式的乘除（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】一 幂的运算1.同底数幂的乘法：（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（m，n是正整数）（2）推广：（m，n，p都是正整数）2.幂的乘方与积的乘方：（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘（m，n是正整数）（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（n是正整数）3.同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减（a0，m，n是正整数，mn）4.零指数幂与负整数指数幂：零指数幂：a0=1（a0）

2、 负整数指数幂：（a0，p为正整数）二 整式的乘法1.单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式2.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加3.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加三整式的除法1.单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式2.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项

3、式，再把所得的商相加四乘法公式1.完全平方公式：（1）完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”（2）应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式2.平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=a2-b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；公

4、式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便【典例剖析】考点1 同底数幂的乘法【例1】（2019秋武汉期末）若ama2a7，则m的值为 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可计算【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加得m+27解得m5故答案为5【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加【变式1-1】（2019秋历下区期末）若am3，an2，则am+n 【分析】根据同底数幂的乘法法

5、则解答即可【解析】am3，an2，am+naman3（2）6故答案为：6【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变，指数相加【变式1-2】（2019秋历城区期末）若a4a2m1a11，则m 【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可【解析】a4a2m1a11，a4+2m1a11，a2m+3a112m+311，解得m4故答案为：4【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加【变式1-3】（2019秋耒阳市期末）已知am2，an5，则am+n 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案【解析】am+naman5210，故答案为：10【点睛】本题考查

6、了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加考点2 幂的乘方【例2】（2019秋浏阳市期末）已知am2，an3（m，n为正整数），则a3m+2n 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案【解析】am2，an3（m，n为正整数），a3m+2n（am）3（an）223328972故答案为：72【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确正确相关运算法则是解题关键【变式2-1】（2019秋浦东新区期末）如果am6，an9，那么a2m+n 【分析】分别根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可【解析】am6，an9，a2m+n（am）2an62936

7、9324故答案为：324【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键【变式2-2】（2019秋南宁期末）已知2xa，32yb，y为正整数，则23x+10y 【分析】直接利用已知结合幂的乘方运算法则将原式变形进而得出【解析】32yb，（25）y25yb23x+10y23x210y（2x）3（25y）2a3b2故答案为：a3b2【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键考点3 积的乘方【例3】（2019秋天心区校级期末）计算：（4）20200.252019 【分析】根据积的乘方运算法则计算即可【解析】原式420190.2520194

8、 120194144故答案为：4【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键【变式3-1】（2019秋和平区期末）若a3m+n54，am3，则an 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可【解析】a3m+n（am）3an54，am3，故答案为：2【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键【变式3-2】（2019秋福清市期末）若2x+3y+20，则9x27y的值是【分析】由2x+3y+20可得2x+3y2，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则解答即可【解析】由2x+3y+20可得2x+3y2，9x27y32x

9、33y32x+3y32故答案为：【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键【变式3-3】（2019秋仁寿县期末）12019+22020（）2021 【分析】根据幂的定义以及积的乘方运算法则化简计算即可【解析】12019+22020（）20211+22020（）2020 故答案为：【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键积的乘方，等于每个因式乘方的积【考点4】同底数幂的除法【例4】（2019秋安居区期末）若2x3，4y5，则2x2y+1的值为【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而计算即可【解析】2x

10、3，4y22y5，2x2y+12x22y2352故答案为：【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键【变式4-1】（2019秋南江县期末）已知xa2，xb9，则x3a2b 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可【解析】xa2，xb9，x3a2b（xa）3（xb）2故答案为：【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键【变式4-2】（2019秋朝阳区期末）ax5，ay3，则axy 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可【解析】ax5，ay3，axyaxay53故答案为：【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数

11、幂相除，底数不变，指数相减【变式4-3】（2019秋遂宁期末）若3a2，3b5，则33a2b 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则解答即可【解析】3a2，3b5，33a2b（3a）3（3b）22352故答案为：【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键【考点5】零指数幂与负整数指数幂【例5】（2019秋江汉区校级期末）满足等式（3x+2）x+51的x的值为 【分析】结合零指数幂的概念：a01（a0），进行求解即可【解析】（1）当3x+21时，x，此时（1+2）1，等式成立；（2）当3x+21时，x1，此时（3+2）1+51，等式成立；（3）当x+5

12、0时，x5，此时（15+2）01，等式成立综上所述，x的值为：或1或5故答案为：或1或5【点睛】本题考查了零指数幂，解答本题的关键在于熟练掌握零指数幂的概念：a01（a0）【变式5-1】（2019秋渝北区期末）若（x1）01，则x需要满足的条件 【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案【解析】若（x1）01，则x需要满足的条件是：x1故答案为：x1【点睛】此题主要考查了零指数幂的定义，正确把握定义是解题关键【变式5-2】（2019秋丰南区期末）若（x2）x1，则x 【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则求出答案【解析】（x2）x1，x0时，（02）01，当x3时，（32）31，则

13、x0或3故答案为：0或3【点睛】此题主要考查了零指数幂以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键【变式5-3】（2019秋仁怀市期末）计算： 【分析】按照零指数幂和负指数幂的定义求解即可【解析】2213故答案为3【点睛】本题主要考查的是零指数幂和负指数幂的内容，特别注意对于负整数指数幂，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数【变式5-4】（2019秋双清区期末）计算：（2019）0+|1|（）1 【分析】根据零指数幂的意义以及负整数的意义即可求出答案【解析】原式1+120，故答案为：0【点睛】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义以及负整数幂的意义，本题

14、属于基础题型【变式5-5】（2019秋长白县期末）计算：（）2+4（1）2019|23|+（5）0【分析】根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案【解析】原式（3）2+4（1）8+1948+12【点睛】本题考查实数运算，解题的关键是正确理解负整数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型考点6单项式乘单项式【例6】（2019秋九龙坡区期末）计算：3ab2a2b 【分析】原式利用单项式乘单项式法则计算即可求出值【解析】原式6a3b2，故答案为：6a3b2【点睛】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式6-1】（2019秋潮州期末）计算：（2xy）2（5x2y）

15、 【分析】先利用积的乘方计算，再利用单项式乘单项式的计算方法计算即可【解析】原式4x2y2（5x2y）20x4y3故答案为：20x4y3【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握计算方法和计算法则是解决问题的关键【变式6-2】（2019秋海淀区期末）计算：（2a）3（a）4a2 【分析】原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值【解析】原式8a3a4a28a5，故答案为：8a5【点睛】此题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式6-3】（2019秋海淀区期末）计算2x5x的结果等于 【分析】根据单项式乘以单项式

16、法则：系数与系数相乘、同底数幂相乘即可得结果【解析】2x5x2x6故答案为2x6【点睛】本题考查了单项式乘单项式，：在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；注意按顺序运算；不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式考点7单项式乘多项式【例7】（2019春澧县期末）计算：3x2（x6y） 【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算即可【解析】3x2（x6y）3x3+18x2y，故答案为：3x3+18x2y【点睛】本题考查的是单项式与多项式相乘的运算法则，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加【变式7-1】（2019秋叙州区期末）若a23a10，则a（a

17、3）+2 【分析】首先计算乘法，再把式子进行变形代入即可【解析】a（a3）+2a23a+2a23a1+30+33，故答案为：3【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，关键是掌握单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加【变式7-2】（2019秋九龙坡区期末）已知，则（yz）m+（zx）n+（xy）t的值为 【分析】设k，变形后代入要求的式子，计算求值【解析】设k，则mk（y+zx），nk（z+xy），tk（x+yz）所以（yz）m+（zx）n+（xy）tk（y+zx）（yz）+k（z+xy）（zx）+k（x+yz）（xy）ky2+yzxy

18、yzz2+xz+z2+xzyzxzx2+xy+x2+xyxzxyy2+yzk00故答案为：0【点睛】本题考查了多项式乘以多项式变形代入是解决本题的关键【变式7-3】（2018秋新建区期末）若（x2a）x+2x的展开式中只含有x3这一项，则a的值是 【分析】首先利用单项式乘以多项式整理得出x3+（2a）x进而根据展开式中只含有x3这一项得出2a0，求出即可【解析】（x2a）x+2x的展开式中只含有x3这一项，x3ax+2xx3+（2a）x中2a0，a2， 故答案为：2【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及解一元一次方程，能正确进行去括号合并同类项是解题关键考点8多项式乘多项式【例8】（201

19、9秋黄冈期末）已知（x+my）（x+ny）x2+2xy6y2，则m2n+mn2的值为 【分析】根据多项式乘多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）am+an+bm+bn计算，再把m2n+mn2因式分解，即可得出答案【解析】（x+my）（x+ny）x2+2xy6y2，x2+nxy+mxy+mny2x2+（m+n）xy+mny2x2+2xy6y2，m+n2，mn6，m2n+mn2mn（m+n）6212故答案为：12【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项【变式8-1】（2019秋青山区期末）已知（x+4）（x9）x2+mx36，则m的值为 【分析】根据整

20、式的运算法则即可求出答案【解析】（x+4）（x9）x25x36， m5，故答案为：5【点睛】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型【变式8-2】（2019秋江岸区期末）已知（x+p）（x+q）x2+mx+12，其中p，q为正整数，则m 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则变形，利用多项式相等的条件确定出m的值即可【解析】（x+p）（x+q）x2+（p+q）x+pqx2+mx+12，pq12，p，q均为正整数，121122643，又mp+qm13，8，7，故答案为：13，8或7【点睛】此题考查了多项式乘多项式，关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每

21、一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加【变式8-3】（2019秋博白县期末）已知a+b4，ab3，则代数式（a+2）（b+2）的值是 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再整体代入，即可求出答案【解析】a+b4，ab3，（a+2）（b+2）ab+2（a+b）+43+24+415，故答案为：15【点睛】本题考查了多项式乘以多项式和求代数式的值，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键考点9完全平方公式【例 9】（2019秋武汉期末）已知实数a，b满足ab3，ab2，则a+b的值为 【分析】根据完全平方公式可得答案【解析】因为ab3，ab2，所以a2+b2（ab）2+2ab32

22、+229+413，所以（a+b）2a2+b2+2ab13+2217，所以a+b故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键【变式9-1】（2019秋宜城市期末）若（x+y）219，（xy）25，则x2+y2 【分析】根据完全平方公式，即可解答【解析】（xy）25，x22xy+y25 ，（x+y）219，x2+2xy+y219 ，+得：2x2+2y224，x2+y212故答案为：12【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式【变式9-2】（2019秋仁怀市期末）若x+y2，x2+y210，则xy（）A3 B3 C4 D4【分析】根据x+y2，x2+y

23、210，由完全平方公式变形可以求值【解析】x+y2，x2+y210，（x+y）2x2+2xy+y2，2xy（x+y）2（x2+y2），（2）2104106，xy3故选：A【点睛】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键是熟记完全平方公式【变式9-3】（2020浙江自主招生）已知x满足（x2014）2+（2016x）28，则（x2015）2的值是 【分析】题目求（x2015）2，把方程中的x2014、x2016转化为（x2015），利用换元法求解即可【解析】方程（x2014）2+（2016x）28可变形为：（x2015）+12+（x20151）28设x2015y则原方程可转化为：（y+1）2+（y

24、1）28y2+2y+1+y22y+18即2y26y23即（x2015）23故答案为：3【点睛】本题考查了完全平方公式和换元法，把x2014、x2016转化为（x2015+1）、（x20151）是解决本题的关键考点10平方差公式【例10】（2019秋渝北区期末）已知x2y22019，且x673y，则xy 【分析】根据平方差公式即可求出答案【解析】x2y22019，且x+y673，（x+y）（xy）2019，xy3，故答案为：3【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型【变式10-1】（2019秋大同期末）已知mn1，则m2n22n的值为 【分析】首项将原式变形为

25、（m+n）（mn）2n，然后再代入计算即可【解析】mn1，m2n22n（m+n）（mn）2n（m+n）2nm+n2nmn1故答案为：1【点睛】本题主要考查的是平方差公式和求代数式的值能够正确运用整体代入是解题的关键【变式10-2】（2019秋仁怀市期末）若（a+b+1）（a+b1）15，则a+b的值为 【分析】先根据平方差公式进行计算，再变形，最后两边开方即可【解析】（a+b+1）（a+b1）15，（a+b）2115，（a+b）216，a+b4，故答案为：4【点睛】本题考查了平方差公式和平方根，能得出（a+b）216是解此题的关键考点11整式的混合运算【例11】（2019秋新乡期末）计算（1）

26、a6a5a3+（2a2）4（a2）3（3a）2（2）（2xy）24x（xy）【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算完全平方式、单项式乘多项式，再合并同类项即可得【解析】（1）原式a11a3+16a8a69a2a8+16a89a86a8；（2）原式4x24xy+y24x2+4xyy2【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序及其运算法则【变式11-1】（2019秋息县期末）计算下列各题：（1）；（2）（2x+y）2+（x+y）（xy）5x（xy）【分析】（1）先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；（2）先根

27、据整式的乘法法则和乘法公式算乘法，再合并同类项即可【解析】（1）原式9+191；（2）原式4x2+4xy+y2+x2y25x2+5xy9xy【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，实数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键【变式11-2】（2019秋新洲区期末）计算（1）（2x）3（5xy2）（2x2y）2（2）（x+2y3）（x2y+3）【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，计算即可求出值【解析】（1）原式8x3（5xy2）4x4y210；（2）原式x2（2y3）2x2（4y212y+9）x24y2+12y9【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键考点12整式的化简求值【例12】（2019秋开福区校级期末）先化简，再求值