探究等腰三角形的性质教学设计.docx

1、探究等腰三角形的性质教学设计案例名称等腰三角形的性质学校教师姓名学生年级八年级课时1教学内容分析 等腰三角形是人教版八年级上十三章轴对称图形的第三节。在此之前，学生已经学习了三角形中的线段与角的基本概念和相关性质，掌握了用SSS、SAS、ASA、AAS以及HL来证明两个三角形全等的方法，也经历过用折叠的方法来作一个角角平分线以及用折叠的方法来验证一个图形是不是轴对称图形的过程，还通过本章一二两节掌握了轴对称图形的定义和性质。这一节内容既是对前面相关知识的综合运用，也是后续学习等边三角形、四边形、勾股定理的基础。通过对本节内容的学习，让学生参与了解、感知知识发生、发展的全过程，对他们体会数学的严

2、谨性、逻辑性，拓宽学生探索图形变化的视野，感受数学的应用价值有重要的作用。学生分析 通过平时的观察了解，我所教授的学生对于三角形的基础知识掌握得较好，已经能够非常熟练地运用三角形的各种判定定理进行证明。但他们对轴对称图形的性质认识还不够深入，对轴对称性在具体图形中的价值体会还不深，需要进一步学习。他们总体的数学基础比较好，具备一定的动手操作能力和分析归纳、语言表达能力，他们对于较抽象的数学演绎推理是能够接受和掌握的。教学目标1.通过试验猜想、主动探究的学习活动，发现并认同等腰三角形的性质定理及推论，探索归纳出它们的证明方法，并能用其解决实际问题。引导学生对图形观察、发现，激发学生的求知欲望和学

3、习兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯和勤于思考、勇于探索的的思想品质，建立学习的自信心，充分感受数学的逻辑性、严谨性、体会从“特殊到一般”的数学思维方式。2.充分鼓励学生在验证等腰三角形“三线合一”性质时采用不同的证明方法，引导他们比较各种证明方法之间的优劣，体会数学中“优选法”的思维方式。3.让学生经历“实验探究解决收获”的学习过程，体会发现问题、探究问题的思想，从中感悟证明结论的方法和乐趣，初步了解作辅助线的技巧，培养“转化”及“分类讨论”的数学思想方法。教学重点学生了解、感悟等腰三角形的性质定理，归纳总结并对定理进行证明。教学难点等腰三角形性质定理的证明过程中辅助线的准确添加。教学策略的选

4、择与设计 综合对学生学情分析和教学内容分析，为了突破教学的难点、突出教学的重点，本节课采用的是任务驱动法充分调动学生学习的内驱力；综合李庾南老师推广的“单元教学法”进行定理教学，把课堂真正还给学生，让他们在不断的“猜想-验证-质疑-再猜想-再验证”的过程中，充分感受数学的逻辑性和严谨性；在课堂中合理利用小蚂蚁移动操作平台实现 “云”课堂，利用PPT、几何画板等多种现代多媒体技术实现数学教学中“由定到动”、“从特殊到一般”、“由具体到抽象”、“从感知到推理”的具有浓厚数学味道的数学教学，打造有情怀、充满人文气息的数学课堂。教学环境及资源准备教学资源包括人教版数学八年级上数学教材、装有“小蚂蚁移动

5、教学平台”的平板电脑（已经接入无线WiFi）、一张A4白纸、一把剪刀以及常见的学习文具。教学过程教师活动学生活动设计意图1.1课前练习用装有“”小蚂蚁移动教学平台”的平板（以下简称平板）推送一道课前练习题学生迅速在自己的平板电脑上做出选择 通过一道关于轴对称图形判断的题目，迅速回顾昨天学习的数学知识，进一步理解轴对称图形的定义以及常见的判断轴对称图形的方法。屏幕展示 教学过程教师活动学生活动设计意图1.2课前练习评讲将学生完成情况展示在大屏幕上，针对学生的疑难点进行点评。让选择错误的学生通过亲手操作，发现沿着自己假想的直线折叠后图形不能完全重合。用小蚂蚁移动教学平台展示学生折叠的过程，在折叠结

6、束的时候冻结屏幕，让其他的学生观察达到共识。学生对题目中“”符号是不是轴对称图形感到疑惑。让答错的某位同学亲手用折叠的方式感受“”符号不能沿某条直线对折后实现完全重合。 学生对于轴对称图形有着自己主观的判断，这里出现错误的原因在于学生依靠自己的“想当然”来做出判断。事实上，数学中我们常常也是先有猜想再有验证的过程的。学生认为两条平行线是轴对称图形，但这里的“”符号却是由两条平行的线段组成，这和我们平时判断平行线是轴对称图形是有区别的。因此设计这样一个和学生原来固有知识容易混淆的题目，一是为了迅速热身，二是为了让学生初步体会数学中的任何猜想都是需要实践来作为基石的。1.3引入课题通过刚才的习题，

7、让学生体会到数学的对称美，和对称的特殊性，从而想到我们研究的三角形中某些三角形也是具有对称性的，因此它必有一些性质是普通三角形所没有的，我们今天就进一步研究这样的三角形等腰三角形。（当老师提问什么样子的三角形具有轴对称性，学生很容易回答等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形，此时老师要引导学生认识到等边三角形和等腰直角三角形都是特殊的等腰三角形，因此我们今天应该研究的对象就是等腰三角形）学生们由刚才的热身练习感受到轴对称图形的特殊魅力，在老师的引导下迅速对三角形中特殊的具有轴对称性质的三角形的性质研究产生兴趣。 从直观感受具有轴对称性的数学符号，到进一步研究具有轴对称性的三角形等腰三角形。这样

8、的过渡十分自然，也让学生体会到数学中对于图形的研究方法有时候是“从一般到特殊”。对于课题的提出，学生也可以进一步体会到三角形分类中等腰三角形的位置等边三角形和等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，因此它们也一定具有等腰三角形所没有的特殊性质，这也为后续学习埋下伏笔。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图2.1等腰三角形中的基本定义快速带领学生复习等腰三角形的定义以及等腰三角形中腰、底、顶角、底角的定义。回顾等腰三角形的定义以及相关量的定义，在图中标识出来。 通过对小学相关知识的复习，迅速让学生掌握相关量的定义，帮助他们初步猜想等腰三角形的性质。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图2.2等腰三

9、角形直观感受请同学们利用手里的白纸和剪刀，快速制作一个等腰三角形。巡视教室，帮助有困难的学生，发现用轴对称性来制作等腰三角形的孩子，让到教室前方展示自己的操作，老师给予充分的肯定和表扬。动手制作等腰三角形 学生通过各种方式制作等腰三角形，在制作过程中通过分享和交流，体会如何快速地制作一个等腰三角形，以及思考如何验证自己制作的三角形就是一个等腰三角形。在初中几何教学中，学生研究某种几何图形的性质和判定，都应该是会制作或会用尺规画出这种图形，这既能够培养学生的动手操作能力、对图形本身的特点有直观感受、也能为后续探究这种图形的性质定理和判定定理打下基础。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3.1

10、等腰三角形的性质定理1请同学们按照老师屏幕上的展示，将等腰三角形的三个顶点标上字母。观察手中的等腰三角形，猜想这个等腰三角形的边、角中存在哪些等量关系？ 独立观察手中的等腰三角形，观察边角之间存在的等量关系。学生很容易得到结论是：AB=AC，B=C. 观察、猜想几何图形的性质是几何学习中很重要的一种能力，这种能力的培养应该渗透到每一节几何课程之中，在前面的学习中，学生已经学会了研究三角形性质的方法，首先要研究的就是三角形的边角关系，因此在这里也是对这种研究方法的一种复习和巩固。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3.1等腰三角形的性质定理1根据定义可以知道，等腰三角形的两条腰长是相等的，那

11、么很多同学观察，猜想等腰三角形的两个底角是相等的，你能用什么方法验证你的猜想？针对学生提出的各种方法，老师要分别进行引导：对于用折叠方法验证的同学，应肯定他的动手操作性，但应指出，这样的证明方式可能会存在误差，不够严谨；对于提出用几何证明的孩子，应肯定他对待猜想的严谨态度，再引导他思考这个文字描述的猜想的条件和结论分别是什么，再结合图形，转化成数学语言。对于老师的这个问题，学生们会提出不同的方法，有的学生会用折叠的方式，有的学生会提出用几何证明的方式来验证。 在几何学习中，观察-猜想-验证是非常常见也是非常重要的一种思维方式。设计这一个环节，旨在培养他们这种思维方式，学生无论提出哪种证明方式，

12、老师都应该根据他的选择引导他思考这种证明方式是否严谨，是否是最优的方式，有没有更好更准确的方式。从而也在教学中渗透数学方法最优选择法的思想。教学过程教师活动学生活动设计意图3.1等腰三角形的性质定理1和学生一起分析“等腰三角形两底角相等”的条件和结论分别是什么，结合图形，将文字语言转化成数学语言。抽个别学生分析这个命题的条件和结论，再结合图形，转化成数学语言。 对于命题证明的教学始终贯穿在几何教学中，命题证明的第一步就是文字语言和数学语言的转化。和学生一起经历这个过程，让他们再次感受到只要能分析清楚命题中的条件和结论，结合图形，这种转化是非常自然的。 屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3

13、.1等腰三角形的性质定理1这个证明最后要求证的是两个角相等，你能想到用怎样的方法来证明两个角相等呢？学生很自然会想到，把这两个需要求证相等的角放到两个三角形中，再通过证明两个三角形全等的方式得以证明。 对于两个角相等的证明是数学几何证明题中常见的问题，在日常的几何教学中，培养学生根据求证结论的类别来寻求证明方向的意识很重要。追问：如何构造这样的两个全等三角形呢？ 学生会想到在这个等腰三角形的中间构造一条线段，将大三角形一分为二，然后通过对左右两个三角形进行全等证明从而得出结论。 在几何证明中，我们通常需要构造全等三角形来帮助解题，但是辅助线的添加和描述其实对于学生来讲是个难题，这是本课的重点和

14、难点。如何添加这条辅助线呢？辅助线其实是为我们的证明添加一个或几个条件，那么我们应该首先分析这个命题有什么条件，还需要什么条件。学生会分析出，这个命题已经有的条件是两个三角形有一组边相等，如果中间添加一条公共边，这个三角形就有两组边相等了。如果用SSS来求证，那么，我们需要添加的条件是第三组等边，因此，需要添加的辅助线应该是BC边的中线；如果用SAS来求证，那么，我们需要添加的条件是已知两边的夹角相等，因此，需要添加的辅助线应该是A的角平分线；如果用HL来求证，那么，我们需要添加的条件是直角，因此需要添加的辅助线是BC边上的高。 将已知条件和设想的求证三角形全等的方法相比较来合理添加辅助线对学

15、生来讲是个难点，也是需要在日常几何教学中需要时时渗透的关键点。这样的分析是要让学生意识到，我们添加辅助线的正确方法是根据已知条件和需要来添加辅助线，而不是先胡乱添加辅助线之后再来进行证明，思维方式上的这点区别对于几何证明中涉及到辅助线添加的题目解决至关重要。老师将这道题推送到同学们手里，请大家根据自己添加的辅助线，完成这个命题的证明。完成了的同学可以在平板的公屏中学习其他同学的证明，看看他的证明过程是否正确，如果有错，请你指出并改正。先在平板上作答，提交给老师。已经完成的学生在公屏中翻看其他同学的证明过程，检查其他同学的作答是否正确。 在以往的教学中，学生只能看到自己的解答，其他同学的解答过程

16、也只能依靠老师的展示，这样的展示毕竟十分有限，但是在本堂课的设计中，教师利用“小蚂蚁移动教学平台”实现了这样的功能，学有余力的同学在完成了自己的学习任务之后可以自主学习其他同学的做法，既在学生间引入了竞争，又节约了时间，提高了效率，还加强了学生之间的互动、促进互相学习。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3.1等腰三角形的性质定理1通过逻辑证明，我们知道“等腰三角形两底角相等”的猜想是正确的，因此这个命题是真命题，这就是等腰三角形的性质定理1，我们把这个定理简单写为“等边对等角”。请同学们结合图形，用符号语言将这个定理“翻译”一下。在平板电脑上做好笔记，结合图形，将“等腰三角形两底角相等”

17、这个定理用符号语言描述。 文字语言、符号语言和图形语言是数学几何教学中常用到的三种数学语言，他们之间的互相转化是重要的教学内容。这里的设计是为了帮助学生进一步准确理解定理的内容，为灵活运用定理解决实际问题很有帮助。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3.2等腰三角形的性质定理2在刚才的证明过程中，我们发现，同学们采取了不同的辅助线来解决这个问题，那么，这些不同的辅助线之间有什么样的关系呢？为什么？学生非常容易发现，虽然添加不同的辅助线，但是这几条名称不同的辅助线实际上是同一条线段。在回答老师的追问时，学生也容易用全等三角形的性质来解释为什么是同一条线段。 在这里设计这样的问题，是为了挑起学

18、生对这个问题的兴趣，看上去名称不同的辅助线其实是同一条线段，显然这条线段非常特殊，自然从性质定理1的教学过渡到性质定理2的教学中。这条线段具有三重身份，既是中线，又是高，还是角平分线，真正是“三线合一”。追问：这样优秀的性质，我们这样定义是否准确呢？学生很容易把三线合一的性质错误描述成“等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一”。 对于等腰三角形三线合一定理的描述，初学者常常不会意识到给“高”、“中线”、“角平分线”加上准确的定语有多么重要，在这里的设计其实就是老师故意给学生能“挖坑”，在予以纠正，从而对正确的描述留下深刻的印象。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3.2等腰三角形的性质定理

19、2进一步引导学生思考，三角形有三条高、有三条角平分线、有三条中线，对于等腰三角形而言，它的每一边上都能实现“三线合一”吗？请你动手画一画等腰三角形腰上的高和中线。在刚才剪出的等腰三角形中画出腰上的高和中线，发现这两条线段并不重合，意识到刚才对于等腰三角形三线合一性质的描述不准确，需要修正。 实践出真知，对于学生而言，没有错误体验的印象其实并不深刻，这里设计的这样一个活动，就是要让学生在实际操作中发现认知冲突，一是对这个结论产生深刻的印象，二是体会到数学学科对于语言精准性的要求，培养他们严谨治学的态度。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3.2等腰三角形的性质定理2巡视教室中的每一位学生，用

20、小蚂蚁的实物展示平台向学生们展示某些同学画出的图形，引导学生们达到共识，一般的等腰三角形腰上的中线和高并不重合，刚才对三线合一的描述不准确，需要修改。对三线合一的结论做出修改，在等腰三角形中满足三线合一结论的线段应该是：底边的高和中线、顶角的角平分线。 这里的设计是为了引导学生学会把不够准确的描述修正准确，学生的主动参与比老师进行纠正效果要好很多。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3.2等腰三角形的性质定理2请同学们结合图形，把等腰三角形的性质定理2用符号语言描述。请大家分析这个定理的条件和结论分别是什么？分析定理的条件和结论。学生个别回答，由其他学生纠正。这个性质定理和以前所学习的定理

21、有一定的区别，学生不太容易正确区分，在这里设计这样的问题是为了帮助学生用符号语言写出这个定理。实际上“底边的高”、“底边的中线”、“顶角的角平分线”这三个要素之间是“知一推二”的关系，也就是说三个中，把其中任意一个作为条件，另外两个都是结论。引导学生意识到“三线合一”是“知一推二”的关系之后，给出一个示范，由学生自己写出另外两种符号语言描述。和老师一起整理出一种定理的符号描述，再独立写出另外两种符号描述。学生能够理解等腰三角形“三线合一”的性质，但是在具体题目中运用这个定理来解决问题的时候常常书写得很不规范，这个环节的设计就是为了帮助他们解决这个问题。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3

22、.3等腰三角形轴对称性拓展我们回顾刚才得到的关于等腰三角形的两个性质定理，请同学们分析一下，等腰三角形的这两个定理成立的最根本的原因是什么？这是由于等腰三角形是轴对称图形！ 在得到等腰三角形的两个性质定理之后，设计这样的环节，最根本的原因是为了进一步让学生体会到，等腰三角形的特殊性质都是由于它是轴对称图形的缘故，从而教会学生站在宏观的角度看待问题，也是帮助他们学会透过现象看本质。既然同学们认识到等腰三角形的轴对称性，它的对称轴恰好就是底边中线所在的直线，那么如果我在图形上找到一组对应点，并将这对对应点和两个底角的顶点相连，这样的线段又会怎样的性质呢？ 学生几乎可以异口同声地回答：他们是相等的。

23、 这个环节的设置就是为了让学生进一步感受到等腰三角形的轴对称。既然底边的中线、高、顶角的角平分线都有特殊的性质，那么接下来再进一步研究与腰相关联的那些线段的特殊性。屏幕展示教学过程教师活动学生活动设计意图3.3等腰三角形轴对称性拓展我们先把这对对应点取特殊一点，同学们帮老师想想，取哪些特殊的对应点呢？试着证明你们的猜想。老师把已经写好已知求证的三张PPT推送给学生，请同学们在平板上作答，并把自己做好的答案推送到公屏中，和大家进行交流。学生回答到“中点”、“腰高的垂足”、“两个底角角平分线与对边的交点”。学生自己选择一个命题进行证明，并把答案推送到公屏中和其他同学进行交流和分享。 先从特殊的对应

24、点开始，让学生自主选择一个猜想进行证明。这里的设计意图是让学生通过证明进一步体会轴对称在等腰三角形中的应用。屏幕展示 教学过程教师活动学生活动设计意图3.3等腰三角形轴对称性拓展通过证明同学们可以发现，这样在两腰上选取的特殊对应点，他们与底角顶点所连线段是相等的，那么，如果这里的点不是特殊的点呢，这个结论是否也是成立的呢？我们通过几何画板来感受一下。学生们到讲台上来，在几何画板中拖动这对对应点，根据电脑测量出来结果，验证猜想。从而发现一个重要的结论在等腰三角形两腰上，选取“同等地位”的点（如：AE=AF，或AB、AC的三等分点，或ABC、ACB三等分线与对边的交点）都有这样的结论。 这里的设计

25、是希望通过对等腰三角形轴对称的拓展，利用电脑软件，充分让学生体会 “由静到动”、“从特殊到一般”的数学思考方法。屏幕展示 教学过程教师活动学生活动设计意图4.收获分享在今天的课堂里，你的收获是哪些？和大家分享一下吧。引导学生从知识、能力、思想等方面进行总结分享。把在今天课堂上的收获和同学们进行分享。 在完成了一节课教学任务后，和学生一起总结收获是很有意思的一件事情。引导他们从数学知识、能力、方法、思想等方面进行总结，也可以从操作交流合作共享的方面谈谈收获，甚至有时候学生在数学课上听到的音乐、看到的数学美都可能给他们感触，这些是宝贵的闪光点，值得老师的引导和点燃。屏幕展示教学过程教师活动学生活动

26、设计意图5.课堂总结在一节课结束的时候，用这样一张PPT来结束整节课，一张带有背景音乐的、配有数学符号插图已经名人的数学格言会从视觉、听觉方面给学生一种美好的感觉。聆听轻音乐、看到逐渐显示的文字，老师满含深情的念出PPT上的文字，进一步感受数学的美和价值。 传统的数学课总是给人冷冰冰的感觉，这里的结束是和课堂的开始遥相呼应的。一节给人深刻印象的数学课应该包含了各种各样的人文情怀，而打造有品味、有内涵、有人文情怀的数学课，促进学生个方面综合素养的发展才是笔者一生的追求。屏幕展示教学评价 听课老师1：这是一堂内容饱满、从个方面充分调动学生学习积极性的课。本节课虽然没有设置一道练习题，但是学生在老师

27、设置的一环接一环的教学过程中，已经实现了数学能力的螺旋上升。 听课老师2：这节课充分展示了李庾南老师“单元教学”的教学思想，在一节数学课中，学生经历了大规模的数学思维训练，层层推进的教学设计让学生的能力得到提高。 听课老师3：这节课可以用“行云流水”来形容，教学的每一个环节过渡自然、层次分明，老师提出的每一个问题看得出都是经过精心设计的。而且把一些人文学科的东西自然加到数学课堂中，让人耳目一新。教学反思这节课是我的一种尝试，我希望自己能打造出有个人特色的数学课，所以我尝试着把一些我认为数学课堂里重要的元素渗透到我的课堂教学中。所以我尝试了在课堂的开始和结束加入了音乐的元素，对PPT的制作也尽量简明。我觉得几何的教学最关键的是要教会学生两个字“找”和“造”，怎么找、如何造就是我日常的几何教学中最关注的点。所以在这节课的设计中，我尽量花时间在分析辅助线的添加以及等腰三角形的轴对称性拓展上。在这点的教学上，我对自己还是比较满意的。但是这节课的容量有点大，虽然大部分学生能够跟上我的节奏，但是有的孩子还是没有兼顾得特别好，如果这节课我用连堂科来进行教学，我再放慢一下脚步，我相信，这是一节很漂亮的几何课！