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1、医用物理学第六章 第六章 磁场 通过复习后，应该:1.掌握磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律、洛伦兹力、霍尔效应、安培力、磁场对载流线圈的作用、物质的磁性和磁化、电磁感应定律;2.理解几种电流的磁场、安培环路定理、质谱仪、超导体及其抗磁性、感生电动势、自感现象;3.了解磁场中的高斯定理、电磁流量计、超导磁体、人体生物磁场、涡旋电场。 6-1 一个半径为0.2m、阻值为200的圆形电流回路，接12V的电压，求回路中心处的磁感应强度。 解: 已知半径r =0.2m，电源电压U=12V，圆形回路的电阻R=200，根据欧姆定律，可求得回路的电流为I=U/ R=12/200 A=0.06 A由圆形电流磁场公式

2、，可得回路中心处的磁感应强度为6-2 一根长直导线上载有电流100A，把它放在50G的均匀外磁场之中，并使导线与外磁场正交，试确定合成磁场为零的点到导线的距离。 解: 长直载流导线产生的磁场，其磁感线是一些围绕导线的同心圆，在导线周围总有一点A，其磁感强度与外磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，该点的合磁场为零。已知I =100A，B= 50G = 5.010-3 T，根据长直载流导线磁场公式，可得A点离导线的距离a为6-3 0.4m长的细管上绕有100匝导线，其电阻为3.14，欲在螺线管内获得200G的磁感应强度，需外加电压多少伏? 解: 已知螺线管单位长度上的线圈匝数n =100/0.4=

3、250匝米-1，B =200G =210-2 T，根据螺线管电流磁场公式B = 0nI，可得螺线管通过的电流为已知线圈电阻R =3.14，根据欧姆定律可计算出需加的外电压为U=IR=2/1023.14V=200V6-4 一平面上有两个同心的圆形回路，用相同电动势的电池（内阻忽略不计），通过相反方向的电流，使在中心处产生的磁感应强度为零，已知外圆用铜线，其电阻率为1.710-6 cm，内圆用铝线，电阻率为2.810-6 cm，这些导线的截面积相同，外圆直径为200cm，求内圆的直径。 解: 设外圆和内圆的半径分别为r1、r2，则外圆和内圆的导线长分别为L1 =2r1，L2 =2r2 ；它们的电阻

4、率分别为1、2，已知两导线截面积相同，设为S，则由电阻公式可得两圆导线电阻R1 和R2 分别为R1 =1 L1 /S=2r1 1/ S R2 =2r2 2 /S因为两圆导线上加的电压相同，设为U，则它们通过的电流分别为I1 =U/R1 = US/(2r1 1) I2 = US/(2r2 2)由圆形电流磁场公式可得外圆和内圆产生的磁感应强度B1 和B2 分别为因为圆心处的磁感强度为零，故B1与B2 方向相反、大小相等，即B1 =B2，则由上面两式可得 又知r1 =1/2200cm=100cm，1 =1.710-6 cm，2 =2.810-6 cm，则由上式可得内圆半径为由此可得内圆的直径为 d=

5、2r2 =278cm=156cm6-5 电流I=20A，流过半径R2 =0.05m的金属薄圆筒，再从圆筒轴线的细导线流回来，细导线的半径R1 =1.010-3 m，筒的长度为l =20m。求： 筒中离轴线0.02m处P点的B值； 筒外离轴线0.10m处Q点的B值（P、Q点均位于筒的中部）。 PQR2PQIIIIrrCPCQ习题6-5附图（a） 习题6-5附图（b）解: 由于筒长20m，远大于0.02m和0.10m，故可看作成无限长。如附图所示，在垂直于圆筒轴线的平面上，以0.02m为半径以轴线为圆心过P点作一圆CP ，作为积分回路，由于磁场方向与圆CP 的切线方向相同，故 =0，cos=1，且

6、由于对称分布，在圆CP 上B值处处相同，应用安培环路定理得 B2r = 0 I已知r =0.02m，I=20A，0 =410-7 TmA-1 ，则由上式得同理，以轴为圆心，0.1m为半径，过Q点作一圆CQ ，作为积分闭合回路，由安培环路定理得 故筒外Q点的B=0。6-6 一根载有电流I的无限长直导线，在一处分为对称的两路又合而为一，这两路均为半径为R的半圆（见本题附图），求圆心处的磁感应强度。 解: 由图可知，所求圆心O处的磁感应强度为直线电流与圆弧电流产生的磁场B1、B2 的矢量和。先讨论直线电流产生的磁场B1。由于其上的任一电流元Idl与该电流元到O点的矢径r在一条直线上，sin=0，由毕

7、奥-萨伐尔定律知，故B1 =0。IIIAAROIdl再考虑两段半圆弧电流产生的磁场。由于电路的对称性，上下两段电路中电流相等，且I=I/2。在上圆弧A点取一电流元Id l。在下圆弧对应的A点也同样取电流元Idl（见附图）。由毕奥-萨伐尔定律知，这两小段电流元在圆心O处产生的磁场大小相等，但方向相反（由右手螺旋法则可判定），因此两段圆弧产生的磁场恰好互相抵消，由于圆弧电路的对称性，其他对应的两小段圆弧在O处产生的磁感应强度也恰好互相抵消，因此B2 =0。由上面的讨论可知，圆心处的磁感应强度为零。 习题6-6附图6-7 如果一个电子在通过空间某一区域时，不发生偏转，能否肯定这个区域中没有磁场? 为

8、什么? 答: 运动电荷在磁场中将要受到一个磁场力的作用，其大小为F=qvBsin。可见F除了与q、v、B有关外，还与v和B的夹角有关，当电子以顺着或逆着磁场方向通过磁场时，=0或=180，F =0，电子将不受力。所以当电子不偏转时，不能肯定这个区域中没有磁场。6-8 一均匀磁场的磁感应强度的方向垂直向下，如果有两个电子以大小相等，方向相反的速度沿水平方向同时射入磁场，问这两个电子作何运动? 如果一个是正电子，一个是负电子，它们的运动又如何? 答: 它们将在洛伦兹力的作用下，作圆周运动。由于它们的速度大小相同，方向相反，所受的洛伦兹力相等，方向相反，所以它们圆周运动的半径、周期相等，但一个是逆时

9、针方向运动，另一个是顺时针方向运动。如果一个是正电子，一个是负电子，则两者所受的洛伦兹力相等，方向相同，它们作同方向、同半径、同周期的圆周运动。6-9 一个典型的氢离子（质子）在室温下的速度为300ms-1 ，如果地磁场是1G，那么作用在氢离子上的最大磁场力是多少? 解: 已知q =1.610-19 C，v =300ms-1，B=1G =10-4 T，由洛伦兹力公式F=qvBsin可知，在q、v、B一定的情况下，当= /2时，F最大，这时离子受到的最大磁场力为Fmax = qvB =1.610-1930010-4 N=4.810-21 N 6-10 彼此相距10cm的三根平行长直导线，各通有1

10、0A同方向的电流，试求各导线上每1cm上所受的作用力的大小和方向。 解: 彼此相距10cm的A、C、D三根平行导线不在一个平面内，其水平俯视投影图为边长0.1m的等边三角形，如本题附图所示。各导线的电流I=10A，且方向相同，假设电流方向指向纸里（即三导线均垂直于纸面）。先来讨论导线A所受的力和方向。长直载流导线产生的磁感应线是以导线为中心的一些同心圆，C导线在A导线处产生的磁感应强度B1 ，应垂直于CA边，D导线在A处产生的磁感应强度B2 ，应垂直于DA边。根据长直电流磁场公式，B1 和B2 大小相等，其数值均为由附图等边三角形的几何关系可知，B1 和B2 的夹角 =60，其合磁场B的方向平

11、行于底边CD，大小为A0.1mF1F2F360BCD0.1m0.1mB2AB1II导线A所受的力，用安培力公式（F=IBLsin）计算，因为合磁感应强度与A导线垂直，=/2，所以A导线1cm（0.01m）长度上所受的力为F1 =BIL=210-5100.01N3.4610-6 N如附图所示，F1 的方向指向三角形的重心。同理，可求得C、D导线所受力的大小等于F1，方向也是指向重心。如果三条导线中，有一条导线的电流方向与另外两条导线电流方向相反，结果又是怎样?请读者自行分析。 习题6-10附图6-11 电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度与哪些因素有关? 其方向如何确定? 答: 根据毕奥-萨伐

12、尔定律可知，电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度dB与Idl成正比，与dl和r之间小于180的夹角的正弦成正比，与Idl到该点的距离r平方成反比。其方向由右手螺旋法则确定，拇指与四指垂直，四指从Idl经小于180的角转向r时，则伸直拇指所指的方向即代表dB的方向。6-12 在利用磁场聚焦中，电子在B=210-3 T的磁场中沿半径为2cm的螺旋线运动，螺距为5cm，求电子的速度。 解: 已知B=210-3 T，h=5cm=510-2 m，m=9.110-31 kg，q =1.610-19 C，根据磁场聚焦的螺距公式h=2mvcos/(qB) 可得vcos=qBh/(2m)=(1.610-192

13、10-3510-2)/( 23.149.110-31) ms-1 2.8106 ms-1 在磁场聚焦中，一般都比较小，vcosv，即电子的速度v2.8106 ms-1 。6-13 有一均匀磁场，B=200G，方向垂直于纸面向里，电子的速度为107 ms-1，方向平行纸面向上，如果要保持电子作匀速直线运动，应加多大的电场，其指向什么方向? 解: 由题意可知，电子将受到一个向右的洛伦兹力作用，要想让电子作匀速直线运动（其运动方向与电流方向相反），可加一向右的电场，使之对电子产生一个方向向左的电场力F2 =Eq，其大小等于向右的洛伦兹力F1 =qvB，即Eq=qvB已知B=200G = 210-2

14、T，v=107 ms-1，由上式可得电场强度为E=vB=107210-2 NC-1 =2105 NC-1 6-14 把厚度为1.0mm的铜片放于B=1.5T的磁场中，磁场垂直通过铜片，如果铜片载有200A的电流，已知铜的电子密度n=8.41028 m-3，求： 铜片上下两侧的霍尔电势差； 铜片的霍尔系数。 解: 已知d=1mm=10-3 m，B=1.5T，I=200A，根据霍尔电势差公式得U=kIB/d=(7.4410-112001.5)/10-3 V=2.2310-5 V=22.3 V可见，铜的霍尔电势差很小，主要是因为铜的电子数密度大，导致霍尔系数很小。已知电子的电量q =1.610-19

15、 C，铜的电子数密度n =8.41028 m-3，代入霍尔系数公式得k=1/(nq)= 1/(8.410281.610-19) m3C-1 =7.4410-11 m3C-16-15 有三种不同材料的导电薄片，它们的载流子浓度之比为123，厚度之比为123，当通过它们的电流相同，垂直于它们的磁场B也相同时，求它们的霍尔电势差之比。 解: 根据霍尔电势差公式，可得三种材料的霍尔电势差之比为已知I1 =I2 =I3，B1 =B2 =B3，n1n2n3 =123，d1d2d3 =123，代入上式得 U1U2U3 =16-16 把直径为0.5cm的血管放在电磁流量计的磁极N、S之间，B=300G，测得感

16、应电压为1.510-5 V，求: 血管中血流的平均速度; 血流以平均速度流动时的血流量。 解: 已知D =0.5cm= 510-3 m，U =1.510-5 V，B =300G=310-2 T，代入电磁流量法的血流平均速度公式得血流量Q应等于v与血管横截面积S之积，即6-17 一半圆形闭合线圈，半径R=10cm，通以电流I=10A，放在B=5000G的均匀磁场中，磁场方向（假设向右）与线圈平面平行，求线圈所受的力矩大小和方向。 题6-17附 习题6-17附图 （a） 习题6-17附图 （b）解: 设线圈平面处于垂直平面内，线圈中的电流方向为顺时针方向，因为磁场方向（假设向右）与线圈平面平行，所

17、以线圈法线方向垂直于纸面，指向纸里，与磁场方向的夹角=3/2（即sin=-1）。已知R=10cm=0.1m，I=10A，B=5000G=0.5T，由载流线圈力矩公式可得M=IBSsin =100.53.14(0.1)2(-1)Nm=-7.8510-2 Nm力矩M的方向向下，力矩M将使线圈按顺时针方向转动，使线圈法线方向与磁场方向一致。若电流方向为逆时针方向，这时线圈法线方向仍垂直于纸面，但指向纸外，力矩M的大小不变，方向向上，M将使线圈沿逆时针方向转动，使线圈法线方向与磁场方向一致。如果磁场方向向左，线圈又是怎样旋转?请读者自己分析。6-18 有一边长为20cm的正方形线圈，共10匝，通过的电

18、流为100mA，置于B =1.5T的均匀磁场之中，求：该线圈的磁矩；所受到的最大力矩；当所受力矩最小时，线圈磁矩方向与磁场方向的夹角。 解: 已知S=20cm20cm=4.010-2 m2，N=10，I=100mA=0.1A，根据磁矩公式可得正方形线圈的磁矩为Pm =NIS=100.14.010-2 Am2 = 4.010-2 Am2 已知B=1.5T，由力矩公式M=PmBsin可知，最大力矩为（这时sin=1） M=PmB=4.010-21.5 Nm=6.010-2 Nm 由力矩公式M=PBsin可知，当=0时，M=0，此时力矩最小，线圈磁矩的方向即线圈法线方向与磁场方向一致，或者说线圈平面

19、垂直于磁场方向。6-19 一根导线长为L，载有电流I，把导线绕成N匝圆形线圈，并置于磁感应强度为B的匀强磁场中，求证：当线圈只有一匝时，它受的力矩最大，且等于L2 IB。 证明: 已知导线长度为L，绕成N匝圆形线圈，设其半径为R，则有N2R=L R=由此可得该圆形线圈的面积为S=R2 =由载流线圈的力矩公式可得M=NIBSsin=NIBsin =sin从上式可知，在L、I、B一定，且 = /2时，只有当N=1，力矩M才最大，其值为M max =L2 IB证毕。6-20 电量为-10-3 C，质量为10-2 kg的带电粒子，沿X方向以104 ms-1 的速度进入B为2T的磁场，磁场的方向垂直于X

20、Y平面并指向纸面向里，求：磁场对带电粒子作用力的大小和方向；带电粒子作圆周运动时产生的磁矩大小和方向；带电粒的动能是否会发生变化? 解: 已知q=10-3 C，m=10-2 kg，v=104 ms-1，B=2T，sin=1，则由洛伦兹力公式可计算出带电粒子所受磁场力的大小F=qvB=10-31042=20N该带电粒子受力方向向下，即Y的负方向（因为是负电荷）。带电粒子在磁场中作圆周运动，旋转一周所需的时间T=，则该带电粒子作圆周运动的等效电流为I = q/ T=q =该圆周的半径R=mv/( qB)，则其面积为S=R2 =由磁矩公式可得该运动电荷的磁矩为Pm =IS=2.5105 Am在本题的

21、条件下，负电荷在洛伦兹力作用下沿顺时针方向作圆周运动，故等效电流方向为逆时针方向，根据右手螺旋法则，磁矩方向应垂直于纸面向外。由于洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向，而不改变其速度的大小，所以粒子的动能不会变化。6-21 根据原子和分子的微观结构，解释物质为什么具有磁性? 答: 组成物质的分子和原子中的每一个电子都同时参与两种运动，即环绕原子核的轨道运动和绕其自身轴的自旋运动。两种运动都会形成磁矩，对外产生一定的磁效应，所以物质都具有磁性。6-22 就磁性而言，物质可分为哪三类? 它们被磁化后的附加磁场各有什么特点? 答: 就磁性而言，物质可分为顺磁质、抗磁质、铁磁质。顺磁质的附加磁场很微弱，与

22、外磁场方向相同；抗磁质的附加磁场也很微弱，与外磁场方向相反;铁磁质的附加磁场与外磁场方向相同，它可以比外磁场大几十到几千倍。6-23 什么叫超导体、超导态、超导转变温度、迈斯纳效应? 答: 具有电阻为零的导电特性的物质叫超导体。物质处在电阻为零的状态叫超导态。电阻突然为零的温度叫超导转变温度，又叫临界温度。超导体在超导状态时，不仅电阻为零，而且具有抗磁性，外界磁场不能渗入超导体内，这种现象称为迈斯纳效应。6-24 涡旋电场与静电场有何不同，你能仿照磁场写出涡旋电场的高斯定理吗? 答: 涡旋电场与静电场有两点区别：静电场是无旋场，电场线起于正电荷而终于负电荷；涡旋电场是有旋场，其电场线是无头无尾

23、的连续闭合曲线。静电场是位场（无旋场），可以引入电势概念；涡旋电场是涡旋场（非位场），不能引入电势概念。由于涡旋电场的电场线是闭合曲线，如果在涡旋电场中做一闭合曲面，则由闭合曲面的一侧穿入的电场线必从曲面的另一侧穿出，设穿入的电通量为负，穿出的为正，则通过涡旋电场中任意闭合曲面的电通量为零，即 。6-25 如图所示，矩形线圈在长直载流导线周围分别作以下的运动，请判断哪些运动线圈内将产生感应电流，并标出其方向。以速度v平动，方向分别沿导线方向，在纸面上靠近直导线，垂直纸面向纸内；绕OO轴转动。 解: 根据电磁感应定律，当通过一个闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中就产生感应电流，且感

24、应电流产生的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。由长直载流导线周围磁场公式B=可知，当线圈以速度v沿导线电流方向平动时，各处与载流导线距离a未改变因而通过矩形线圈的磁通量没有变化，线圈中无感应电流。当线圈在纸面上靠近直导线时，磁场加强，磁通量增加，线圈中会产生一个顺时针方向流动的感应电流;当线圈垂直纸面在向纸内运动时，远离载流导线，磁场减弱，磁通量减小，线圈会产生一个逆时针方向流动的感应电流。 绕OO轴转动时，虽然上、下两个矩形线圈所处的磁场未改变，但由于正对磁场方向的有效面积发生变化，因此当它们从平行于纸面转到垂直于纸面时，通过它们的磁通量不断减少，这时感应电流的方向为顺时针方向，而从垂

25、直于纸面转到平行于纸面时，磁通量不断增加，这时感应电流的方向为逆时针方向。中间的矩形线圈转动时，由于正对磁场方向的有效面积变化以及相对于直导线的距离变化，所以通过它的磁通量发生了改变。当线圈从右边平行于纸面转到垂直于纸面时，磁通量减小，感应电流的方向为顺时针方向，而从垂直于纸面转到左边平行于纸面时，磁通量增加，感应电流为逆时针方向。从左边平行于纸面转到垂直于纸面时，磁通量减小，感应电流为顺时针方向，而从垂直于纸面转到右边平行于纸面时，磁通量增加，感应电流为逆时针方向。6-26 长直螺线管长15cm，共绕120匝，截面积为4cm2 ，内无铁心。当电流在0.1s内自5A减少到0时，求螺线管两端的自

26、感电动势；若是通I=15sin100t的交流电，则线圈中感应电动势的最大值是多少? 解: 已知l =15cm=0.15m，N=120匝，S=40cm2 =410-3 m2，因管内无铁心，故螺线管内磁感应强度为B =0 nI =0 I 通过N匝线圈的磁链为 = NBS = 0S而=LI，故L=/I=0S = 410-7410-3 H= 4.810-4 H当电流在0.1s内自5A减少到0时，螺线管两端的自感电动势为自 =L=4.810-4V=2.410-2 V若是通过I=15sin100t的交流电，则自=L=L（1500cos100t）当cos100t=1时，线圈中感应电动势最大，其值为max =

27、1500L=15003.144.810-4 V=2.3V6-27 如图所示，在B=0.01T的磁场中，一长20cm的金属棒AB在垂直匀强磁场的平面上 以v=5cms-1 的速度平动，求棒的两端A，B之间的感应电势差； 绕自身的中点O转动，转速为5rs-1，求棒的两端A，B之间的感应电势差及一端A与中点O之间的感应电势差。解: 已知B = 0.01T，l=20cm=0.2m，且当棒以如图所示的方向，大小为v=5cms-1 =0.05ms-1 的速度平动时，单位正电荷受到的洛仑兹力F=vB与棒的段元d l（方向从A指向B）的夹角为，棒两端A、B间的感应电势差为 AB =若棒的运动方向与棒垂直，且=

28、0，即棒向左下方移动时AB = vBlcos0= vBl =0.050.010.2V=110-4 V当=180，即棒向右上方移动时AB =vBlcos180=vBl=110-4 V负号表示B端为感应电动势的负极、A端为正极。当=90，即棒沿着与棒平行的方向运动时ABO BOdlvFIdl AB =vBlcos90=0习题6-27附图（a） 习题6-27附图（b）当棒绕自身的中点O顺时针转动，转速w = 5rs-1 =31.4rads-1 时，即A、B两点电势相同，AB =0，A点电势比O点高1.5710-3 V。同理，当棒绕自身中点O逆时针转动时即A点电势比O点低1.5710-3 V，且AB =0。 6-28 一长直螺线管，直径为1.0cm，长12cm，共500匝，求螺线管的自感系数。 解: 已知d =1.0cm=0.01m，l =12cm=0.12m，N =500，由例题（6-5）自感系数L =0 n2 V可得