数值计算方法期末考试题.docx

1、数值计算方法期末考试题一、单项选择题（每小题 3分，共15分）1.和分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字A . 4 和 3 B . 3 和 2C. 3 和 4 D . 4 和 42.已知求积公式，则=（）A. B. C. D.3.通过点的拉格朗日插值基函数满足（ ）A . = 0 , B . = 0 ,C. = 1 , D . = 1 ,4.设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。A .超线性B.平方C.线性D .三次5.用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第 3个方程（）A . B .C . D .、填空题（每小题3分，共15分）1.设,则二2.一阶均差_3.已知时，科茨

2、系数，那么_4.因为方程在区间上满足所以在区间内有根。5.取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式填空题答案1.9和2.3.4.5.三、计算题（每题15分，共60分）1.并计算的近似已知函数的一组数据： 求分段线性插值函数,计算题1.答案1.解，所以分段线性插值函数为2.已知线性方程组(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；(2)对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算(保留小数点后五位数字)计算题2.答案1解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯-塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯-塞德尔迭代公式得3.用牛顿法求方程在之间的近似根(1) 请指出为什么初值应取 2

3、(2)请用牛顿法求出近似根，精确到计算题3.答案3.解，,，故取作初始值迭代公式为方程的根4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分计算题4.答案4解梯形公式应用梯形公式得辛卜生公式为应用辛卜生公式得四、证明题（本题 10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有 3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得得，。所求公式至少有两次代数精确度。又由于故具有三次代数精确度。一、 填空（共20分，每题2分）1.设，取5位有效数字，则所得的近似值 x=.2设一阶差商，则二阶差商3.设,则_, _。4求方程的近似根，用迭代

4、公式 ，取初始值，那么5解初始值问题近似解的梯形公式是6、 ，则A的谱半径=_。7、 设，则_和_。8、 若线性代数方程组 AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 塞德尔迭代都_。9、 解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_。10、 为了使计算的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写成。填空题答案1、4、5、6、7、8、 收敛9、10、二、计算题（共75分，每题15 分）1 设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足以升幂形式给出。（2 ）写出余项的表达式计算题1.答案1、（ 1）计算题2.答案2、 由，可得，3.试确定常数A, B, C和

5、a，使得数值积分公式Gauss有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为型的计算题3.答案3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4.推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：（提示：利用Simpson求积公式。）计算题4.答案4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：5利用矩阵的LU分解法解方程 组计算题5.答案5、解:三、证明题 (5分)1 .设，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案1、一、填空题(20分)(1).设是真值的近似值，则有_位有效数字

6、。(2).对,差商()。(3).设,则_。(4).牛顿一柯特斯求积公式的系数和填空题答案(1 ) 3 (2) 1 (3) 7 (4) 1、计算题1）. （15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0, 0）,（,）,（,）计算题1.答案2）.（ 15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限计算题2.答案2）3）.（ 15分）用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次（要求按五位有效数字计算）.0计算题3.答案3）迭代公式4）. （15分）求系数计算题4.答案5）. （10分）对方程组试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案5）解：调整方程组的位置，使系数

7、矩阵严格对角占优故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛 迭代格式为取，经7步迭代可得：三、简答题1） （5分）在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为 什么2） （5分）先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它。简答题答案1） 凭你的理解去叙述。2） 参看书本99页。一、填空题（20分）1.若a=是的近似值，则a有()位有效数字.2.是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则().3.设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是().4.迭代公式收敛的充要条件是_。5.解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0)的迭代格式中的B称为().给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为

8、()o填空题答案1 . 32.3.4.5.迭代矩阵，二、判断题(共10 分)1.若，则在内一定有根。()2.区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ()3.若方阵A的谱半径，则解方程组 Ax=b的Jacobi迭代法收敛。()4.若f (x)与g (x)都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则。()5.用近似表示产生舍入误差。()判断题答案1.x 2. x 3. x 4. V 5. x三、计算题（70分）1. （10分）已知f（0） = 1 , f（3）二，f（4）=，求过这三点的二次插值基函数11（X）= （），=（）,插值多项式P2（X）= （）,用三点式求得（）.计算题1

9、.答案1 .2.（15分）已知一元方程。1 ）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）;3）给出在有根区间的Newt on迭代法公式 计算题2.答案2.（ 1）（2）（3）3.（15分）确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数 精度.计算题3.答案4. （15分）设初值冋题（1）写出用Euler方法、步长h=解上述初值问题数值解的公式; 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。计算题4.答案4.4.（ 15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差计算题5.答案5.= 1+

10、2（一、填空题（每题4分，共20分）1、 数值计算中主要研究的误差有和_。2、 设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则3、 设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 插 值型求积公式中求积系数且_。4、 辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为_。5、 则。填空题答案1相对误差绝对误差2.13.至少是n b-a4.35.1 0二、计算题1、 已知函数的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。计算题1.答案解：差商表由牛顿插值公式：2、 （ 10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长,计算题2.答案解：3、 （ 15分）确定求积公式中待定参数的值，使求

11、积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。计算题3.答案解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为 3。4、 （ 15分）已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。计算题4.答案解：设则可得于是，即。5、 （ 15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位, 需要二分几次；（2）给出满足要求的近似根。计算题5.答案解：6次；。6、 （ 15分）用列主元消去法解线性方程组计算题6.答案解：即一、填空题（25分）1).设x* =是真值x =的近似值，则X*有_位有效数字。2)._, _。3).求方程根的牛顿迭代格式是_。4).已知

12、则5).方程求根的二分法的局限性是_。填空题答案1)4 ； 2)1，0； 3)； 4)7, 6 ；5)收敛速度慢，不能求偶重根。二、计算题1).( 15分)已知(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；求，使。计算题1.答案解：2).( 15分)试求使求积公式的 代数精度尽量高，并求其代数精度解：由等式对精确成立得:，解此方程组得又当时左边右边此公式的代数精度为23） . （15 分）取步长h=,用梯形法解常微分方程初值问题计算题3.答案3 ）梯形法为即迭代得4） . （ 15 分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵 A的行列式detA的 值.计算题4.答案解：先选列主元，2行与1行交 换得

13、消元；3行与2行交换；消元；回代得解；行列式得5） . （ 15分）用牛顿（切线）法求的近似值。取xo=,计算三次，保留五 位小数。5）.解：是的正根，牛顿迭代公式 为,即取xo=,列表如下：一、填空题（每题4分，共20分）1、 辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为_。2、 则。3、 设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 值型求积公式中求积系数且_。4、 设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则5、 按四舍五入原则数与具有五位有效数字的近似值分别为 _和_。 填空题答案1、33、 14、 至少是n5、二、计算题1、 （ 10分）已知数据如下：求形如拟合函数。计

14、算题1.答案解：2、 （ 15分）用二次拉格朗日插值多项式计算。 插值节点和相应的函数值如下表。 计算题2.答案解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得。3、 （ 15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长解：4、（ 15分）已知（1）推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式（2）指明求积公式所具有的代数精度；（3）用所求公式计算计算题4. （1 ）答案计算题4. （ 2）& （ 3）答案（2 ）所求的求积公式是插值型，故至少具有 2次代数精度，再将代入上述公式，可得 故代数精度是3次。（3 ）由（2 ）可得：。（1）所求插值型的求积公式形如：。5、（ 15分）讨论用Jacobi

15、和Gauss-Seidel迭代法求解方程组 Ax= b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中.计算题5.答案解：三、简述题（本题 10分）叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么简述题答案解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法 等。要避免误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 2）两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。一、填空（共25分，每题5分）1、，则A的谱半径=_2、 设则_和_3、 若x =,，则x*的近似数具有位有效数字.4、 抛物线求积公式为二5、 设可微，求方程根的牛顿迭

16、代公式是 _。填空题答案1、;2、；3、4;4、 ；5、 .二、计算题1） . （15 分）设（1） 试求在上的三次Hermite插值多项式使满足,（2） 写出余项的表达式计算题1.答案（1）（2）2） .（ 15分）设有解方程的迭代法：,（1） 证明，均有（为方程的根）；（2） 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过,（3） 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。计算题2.答案（1）以升幕形式给出列出各次迭代值;（2 ）取，则有各次迭代值取，其误差不超过(3)故此迭代为线性收敛。3). (15分)确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明 求积公式所具有的代数精确度计算题3.答案令代入公式精确成立，得；解得，得求积公式对；故求积公式具有2次代数精确度。4).( 15分)用Gauss消去法求解下列方程组计算题4.答案本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。；故.5). ( 15分)已知方程组，其中(1)试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。（2）若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使 该迭代公式收敛。计算题5.答案（1 ），因此两种迭代法均收敛。（2 ）当时，该迭代公式收敛。