Lingo与线性规划.docx

1、Lingo与线性规划Lingo与线性规划线性规划的标准形式是Minzc1 x1cn xna11 x1a1n xnb1s.tam1 x1amn xn(1)bmxi 0, i1,2, n其中 z c1 x1cn xn 称为目标函数， 自变量 xi 称为决策变量 ,不等式组 (1)称为约束条件 .满足不等式组 (1)的所有 ( x1, xn ) 的集合称为可行域，在可行域里面使得z取最小值的 ( x1* , xn* ) 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。求解优化模型的主要软件有Lingo、Matlab、Excel 等。其中 Lingo 是一款专业求解优化模型的软件， 有其他软件不可替代的方便

2、功能。 本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。一、基本规定1、目标函数输入格式max=函数解析式； 或者 min= 函数解析式；2、约束条件输入格式利用： 、=、与 =没有区别。 Lingo 软件默认所以自变量都大于等于 0.3、运算加 (+), 减(-), 乘(*), 除(/), 乘方 (xa) ，要注意乘号 (*) 不能省略。4、变量名不区分大小写字母，不超过 32 个字符，必须以字母开头。5、标点符号每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“ ; ”结束）。但是，model，sets ，data 以“：”结尾。endsets ，enddata ， en

3、d 尾部不加任何符号。6、命令不考虑先后次序7、MODEL语句一般程序必须先输入 MODEL：表示开始输入模型，以“ END”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。8、改变变量的取值范围bin(变量名 ) ；bnd(a, 变量名 ,b ) ；free( 变量名 ) ；gin(变量名 ) ；例 1 求目标函数 z 2x1限制该变量为 0 或 1.限制该变量介于 a,b 之间 .允许该变量为负数 .限制该变量为整数 .3x2 的最小值，约束条件为s.t x1x2350x11002x12x2600x1 , x20输入 Lingo 程序：min = 2*x1 + 3*x2;x1 + x2 = 35

4、0;x1 = 100;2*x1 + x2 = 600;有两种运行方式：1、点击工具条上的按钮 即可。2、点击菜单： LINGOSolve运行结果如下：下面对其各个部分进行说明：Global optimal solution found ：表示已找到全局最优解。Objective value：表示最优值的大小。可见本题函数最小值 zmin 800。Infeasibilities：矛盾约束的数目。Total solver iterations:迭代次数。Variable：变量。本题有两个变量。Value：变量对应的最优解，即 x1 250,x2 100 。Reduced Cost：变量 xi 在最

5、优解的基础上增加一个单位，目标函数值的改变量。例如，一个变量的 Reduced Cost值为 8，那么当该变量增加一个单位，在最大化（最小化）问题中目标函数值将减少（增大） 8 个单位。Slack or Surplus：表示接近等于的程度，即约束离相等还差多少。在约束条件是 =中，不是过剩程度。如果约束条件是=，则 Slack or Surplus为 0，该约束是个紧约束 (或有效约束 )。如果一个约束是矛盾的，即模型无可行解则 Slack or surplus的值是负数。知道 Slack or Surplus 的值，可以帮助我们发现优化模型中错误的约束条件。在上例中第 2 和第 4 行松弛变

6、量均为 0,说明对于最优解来讲 ,两个约束 (第 2 和 4 行 )均取等号 ,即都是紧约束，第 3 行为 150，即最优解使得第 3 行过剩 150.Dual Price ：对偶价格的值，它表示约束条件中的常数，每增加一个单位，目标函数值改变的数量 （在最大化问题中目标函数值是增加， 在最小化问题中目标函数值是减少）。比如，在上一个 Min 模型中第四行的 1，表示 2*x1 + x2 = 600 增加一个单位到 2*x1 + x2 options-general solver-dualcomputations:prices & ranges-ok.第二步：菜单 lingo-range2、灵

7、敏度报告中常见的词汇Current coefficientAllowable increaseAllowable decrease：当前目标函数系数：允许增加量：允许减少量Current RHS ：当前右边常数项INFINITY ：表示正无穷。例 1 求解下列模型：max = 72*x1+64*x2;x1+x2 = 50;12*x1+8*x2 = 480;3*x1 = 100;并做灵敏度分析。求解报告：灵敏度分析报告：灵敏度分析报告的解读：x1 的系数变化范围是（ 72-8 ，72+24 ）=（64 ，96 ）； x2 的系数变化范围是（ 64-16 ，64+8 ）=（48，72）。注意：x1

8、 系数的允许范围需要 x2 系数 64 不变，反之亦然。由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件， 因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。右边常数项中，第 2 行原来为 50 ，当它在 50-6.67 ，50+10 = 43.33 ， 60范围变化时，最优基保持不变。第 3 行可以类似解释。对第 4 行，原来为 100 ，当它在 100-40 ，100+ = 60， +范围变化时，最优基保持不变。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。三、数据输入对于大型的优化问题， 即自变量比较多的时候， 还像上两节那样输入目标函数和约束条件就比较麻烦了。一般

9、输入数据的方法有两种：一、建立向量、矩阵输入；二、调用外部数据。这里仅介绍第一种方法。1、建立向量命令格式：集合名称 / 集合维数 / ：向量名称例如：sets ：set1/1.9/:x;set2/1.5/:a,b;endsets表示建立了两类集合。第一类集合 set1 ，维数为 9， x 和 y 是向量名。向量 x=（ x(1), , , x(9) ）, 其中 x(i) 是 x 的元素。第二类集合 set2 ，维数为 5，a 和 b 都是向量名。向量 a=（ a(1), , , a (5) ）,其中 a (i) 是 a 的元素。向量 b=（b(1), , , b(5) ） , 其中 b (i

10、) 是 b 的元素。2、建立矩阵命令格式：集合名称（集合 1，集合 2） / ：矩阵名称例如：sets ：set1/1.3/:x;set2/1.4/:a;link(set1, set2):A;endsets表示建立了一个矩阵类 link ，其矩阵的阶数为 3 4， A 是具体的矩阵名。有两个命令是比较常见的：求和语句 :sum(集合名 (i): 含集合名 (i) 的语句 );循环语句 :for( 集合名 (i): 循环的语句 );例 3：求目标函数 z 11x1 15x2 的最小值，约束条件为s.t 20 x130x236030x125x2200030 x135x2300x1 , x20输入

11、Lingo 程序：model:sets :set1/1.2/:c,x;set2/1.3/:b;link(set2,set1):A;endsetsmax=sum(set1(i):c(i)*x(i);for(set2(i): sum(link(i,j):A(i,j)*x(j)=b(i);data :c=11 15;A=20 3030 2530 25;b=360 2000 300;enddataend运行结果报告：例 4、某地区有三个蔬菜生产基地，估计每年可供应本地区的蔬菜量表为：生产基地 A B C蔬菜生产量 (吨) 7 8 3有四个地市需要该类蔬菜，需求表为：地区 甲 乙 丙蔬菜生产量 (吨)

12、6 6 3如果从各蔬菜生产基地到各地市的每吨蔬菜的运价表地市 甲 乙 丙丁3( 单位：万元丁/吨)为:生产基地A5879B49107C8429为了降低运输费，需要合理调拨资源 .(1) 根据以上资料表制订一个使总的运费为最少的蔬菜调拨方案(2) 如果有机会增加生产基地的产量 1 吨，问应当优先增加那个基地的产量？(3) 如果将 A 到乙市的运价减少为 5 万元 / 吨，问这会影响最优的调拨方案吗？设 A：第i个蔬菜生产基地，i 1,2,3 ，分别对应生产基地， ， ；iA B CBi ：第 i个蔬菜需求地， i1,2,3,4 ，分别对应蔬菜需求地市甲、乙、丙、丁；Q ：总运输费用；xij ：表

13、示的是从第 i 个生产基地向第 j 个地市运输的蔬菜数量； cij ：表示的是从第 i 个生产基地向第 j 个地市运输蔬菜的运价； bi ：第 i 个蔬菜生产基地的蔬菜产量；qi ：第 j 个地市的蔬菜需求量；那么有优化模型：34min Qcij xiji 1j 1x11x12x13x14b1x21x22x23x24b2x31x32x33x34b3x11x21x31q1st.x22x32q2x12x13x23x33q3x14x24x34q4xij 0,i 1,2,3; j 1,2,3,4输入 Lingo 程序求解模型：model:sets :set1/1.3/:b;set2/1.4/:q;li

14、nk(set1,set2):c,x;endsetsmin=sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j);for(set1(i): sum(link(i,j): x(i,j)=b(i);for(set2(j): sum(link(i,j): x(i,j)=q(j);data :c=5,8,7,94,9,10,78,4,2,9;b=7,8,3;q=6,6,3,3;enddataend运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value:100.0000Infeasibilities:0.000000Total solver iterat

15、ions:6VariableValueReduced CostB( 1)7.0000000.000000B( 2)8.0000000.000000B( 3)3.0000000.000000Q( 1)6.0000000.000000Q( 2)6.0000000.000000Q( 3)3.0000000.000000Q( 4)3.0000000.000000C( 1, 1)5.0000000.000000C( 1, 2)8.0000000.000000C( 1, 3)7.0000000.000000C( 1, 4)9.0000000.000000C( 2, 1)4.0000000.000000C(

16、 2, 2)9.0000000.000000C( 2, 3)10.000000.000000C( 2, 4)7.0000000.000000C( 3, 1)8.0000000.000000C( 3, 2)4.0000000.000000C( 3, 3)2.0000000.000000C( 3, 4)9.0000000.000000X( 1, 1)1.0000000.000000X( 1, 2)6.0000000.000000X( 1, 3)0.0000001.000000X( 1, 4)0.0000001.000000X( 2, 1)5.0000000.000000X( 2, 2)0.0000

17、002.000000X( 2, 3)0.0000005.000000X( 2, 4)3.0000000.000000X( 3, 1)0.0000007.000000X( 3, 2)0.0000000.000000X( 3, 3)3.0000000.000000X( 3, 4)0.0000005.000000RowSlack or SurplusDual Price1100.0000-1.00000020.0000000.00000030.0000001.00000040.0000004.00000050.000000-5.00000060.000000-8.00000070.000000-6.

18、00000080.000000-8.000000从该报告可以得到：1、 最优的调拨方案为：地市 甲 乙 丙 丁生产基地A1600B5003C00302 、从 Dual Price来看生产基地 A 的供应量增加1 个单位，费用不变；生产基地 B 的供应量增加 1 个单位，费用减少 1；生产基地 C的供应量增加 1 个单位，费用减少 4；城市甲的需求量增加 1 个单位，费用减少 -5 ，即增加 5；城市乙的需求量增加 1 个单位，费用减少 -8 ，即增加 8；城市丙的需求量增加 1 个单位，费用减少 -6 ，即增加 6；城市丁的需求量增加 1 个单位，费用减少 -8 ，即增加 8；3、从 Slac

19、k or Surplus 来看，所有的约束都是紧约束。可见每个生产基地的蔬菜都全部运完。然后做灵敏度分析：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX( 1, 1)5.0000001.0000001.000000X( 1, 2)8.0000001.0000004.000000X( 1, 3)7.000000INFINITY1.000000X( 1, 4)9.000000INFINITY

20、1.000000X( 2, 1)4.0000001.0000001.000000X( 2, 2)9.000000INFINITY2.000000X( 2, 3)10.00000INFINITY5.000000X( 2, 4)7.0000001.000000INFINITYX( 3, 1)8.000000INFINITY7.000000X( 3, 2)4.0000004.0000001.000000X( 3, 3)2.0000001.000000INFINITYX( 3, 4)9.000000INFINITY5.000000Righthand Side RangesRowCurrentAllow

21、ableAllowableRHSIncreaseDecrease27.000000INFINITY0.038.0000001.0000000.043.0000006.0000000.056.0000000.01.00000066.0000000.06.00000073.0000000.03.00000083.0000000.01.000000可以得到以下信息：1、运价在下面的范围内最优的调拨方案不变:地市 甲 乙丙丁生产基地A4,64,96,+8,+B3,57, + 5, +0,8C1, +3,80,34, +2、生产基地的产量在下面的范围内最优基不变 :生产基地ABC蔬菜生产量( 吨)7,+

22、8,96,93、四个地市的需求量在下面的范围内最优基不变 :地区 甲 乙 丙 丁蔬菜生产量 ( 吨 ) 5,6 0,6 0,3 2,3四、收集的一些问题1、福特在 L.A.和 Detroit生产汽车 , 在 Atlanta有一仓库 , 供应点为Houston 和 Tampa;城市间每辆汽车运输费用见下表. L.A. 的生产能力为 1100 辆 ,Detroit 的生产能力为2900 辆. Houston汽车需求量为2400 辆 , Tampa 汽车需求量为 1500 辆 ,L.ADETROITATLANTAHOUSTONTAMPAL.A.014010090225DETROIT145011111

23、0119ATLANTA105115011378HOUSTON891091210-TAMPA21011782-0如何确定运输和生产方案 , 才能满足 Houston 和 Tempa 的需求且费用最低 .2、设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥 . 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同 . 各化肥厂年产量 , 各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价 ( 万元 / 万吨 ) 如下表所示 . 试求出总的运费最省的化肥调拨方案 .需求地区IIIIIIIV产量化肥厂(万吨)A1613221750B1413191560C192023禁止50最低需求 ( 万吨 )3070010最高需求 ( 万吨

24、 )507030不限3、某航运公司承担6 个港口城市 A,B,C,D,E,F的四条固定航线的物资运输任务 . 已知各条航线的起点 , 终点城市及每天航班数见下表 :航线起点城市终点城市每天航班数1ED32BC23AF14DB1假定各条航线使用相同型号的船只 , 由各城市间的航程天数见下表 :到 A B C D E F从A0121477B1031388C2301555D14131501720E7851703F7852030又知每条船只每次装卸货物的时间各需 1 天, 则该航运公司至少应配备多少条船 , 才能满足所有航线的运货要求 .4、如下图所示，节点间的线段表示某小区的弄堂，线段旁的数字表示弄堂的长度。邮局在其中某个节点，请设计邮递员投递路线。41287533