高考数学一轮复习第11单元鸭4系列听课学案理.docx

1、高考数学一轮复习第11单元鸭4系列听课学案理2019-2020年高考数学一轮复习第11单元鸭4系列听课学案理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的,记为.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的,记为.有序数对(,)叫作点M的极坐标,记作M(,). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平

2、面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则它们之间的关系为x=,y=sin ,由此得2=,tan =(x0). 3.常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆=r圆心为(r,0),半径为r的圆=2rcos 圆心为,半径为r的圆=2rsin (00,0b0)(为参数)3.直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是(t是参数). 若M1,M2是l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则:(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos ,y0+t1sin ),(x0+t2cos ,y0+t2sin );(2)|M1

3、M2|=|t1-t2|,|M0M1|M0M2|=|t1t2|;(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=;(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.课堂考点探究探究点一曲线的参数方程1 在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,2a)的直线l的倾斜角为,点P(x,y)为直线l上的动点,且|AP|=t.圆C以C(2a,2a)为圆心,为半径,Q(x,y)为圆C上的动点,且CQ与x轴正方向所成的角为.(1)分别以t,为参数,求出直线l和圆C的参数方程;(2)当直线l和圆C有公共点时,求a的取值范围. 总结反思 几种常见曲线的参数方程:(1)

4、直线的参数方程.过点P(x0,y0)且倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数).(2)圆的参数方程.若圆心为点M0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为(为参数).(3)椭圆+=1(ab0)的参数方程为(为参数).(4)双曲线-=1(a0,b0)的参数方程为(为参数).(5)抛物线y2=2px(p0)的参数方程为(t为参数).式题 xx长沙二模 在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(s为参数),曲线C的参数方程为(t为参数),若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.探究点二参数方程与普通方程的互化2 xx临汾三模 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点

5、为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围. 总结反思 (1)消去参数的方法一般有三种:利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数;利用三角恒等式消去参数;根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法,从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.式题 xx湖北六校二联 已知直线l:(t为参数),曲线C1:(为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为

6、原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.探究点三直线的参数方程3 xx雅安三诊 平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为sin=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;(2)设点P(0,2),直线l和曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|. 总结反思 (1)直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.(2)根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:若直线与圆锥曲线相交,交

7、点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0;设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为tM=.式题 xx鹰潭一模 在直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程;(2)求+的取值范围.探究点四圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0b,那么;如果bbbb,bc,那么,即ab,bc. (3)如果ab,那么a+c,即aba+c. 推论:如果ab,

8、cd,那么,即ab,cd. (4)如果ab,c0,那么ac;如果ab,c0,那么acb0,那么anbn(nN,n2). (6)如果ab0,那么(nN,n2).2.基本不等式(1)如果a,bR,那么a2+b2,当且仅当时,等号成立. (2)如果a0,b0,那么,当且仅当时,等号成立. (3)如果a0,b0,那么称为a,b的平均,称为a,b的平均. (4)如果a0,b0,c0,那么,当且仅当时,等号成立. (5)对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.3.绝对值不等式(1)如果a,b是实数,那么|a+b|a|+|b|,当且仅当时,

9、等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当时,等号成立.课堂考点探究探究点一绝对值三角不等式的应用1 xx湖南长郡中学二模 若对于实数x,y,有|x+y+1|,求证:. 总结反思 (1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|ab|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为|a|-|b|ab|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便.式题 若x,y满足|x-3y|,|x+2y|,求证

10、:|x|0).(1)求证:f(x)8恒成立;(2)求使得不等式f(1)10成立的实数m的取值范围. 总结反思 含有绝对值的不等式的证明方法:去掉绝对值符号(|x|a-axa(a0),|x|axa或x0)再证明;利用绝对值不等式的性质(|a|-|b|ab|a|+|b|)来证明.式题 xx宣城二调 已知f(x)=|ax-1|,若实数a0,不等式f(x)3的解集是x|-1x2.(1)求a的值;(2)若ba-b0,aba-bb,只要证明即可,这种方法称为求差比较法. 求商比较法:ab01且a0,b0,因此当a0,b0时要证明ab,只要证明1即可,这种方法称为求商比较法. (2)分析法从所要证明的出发,

11、逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法. (3)综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法. (4)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法称为放缩法.(5)反证法的步骤作出否定的假设;进行推理,导出;否定,肯定.2. 柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(+)(+)(当且仅当a1b

12、2=a2b1时,等号成立). 柯西不等式的向量形式:设,为平面上的两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时,等号成立. 二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2R,那么+,当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立. (2)一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(+)(+)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立. 课堂考点探究探究点一柯西不等式的应用1 已知x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1.(1)求+的最小值;(2)求证:x2+y2

13、+z2. 总结反思 对于若干个单项式的平方和,因为其符合柯西不等式(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)(am+bn+cp)2,所以只要补足另一个平方和多项式,便可利用柯西不等式来求最值.式题 xx长沙雅礼中学二模 已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求证:2+4.探究点二利用综合法、分析法证明不等式2 xx衡水中学二模 已知定义在R上的函数f(x)=|x-2m|-|x|,mN*,且f(x)0),+2(ab0),+-2(ab0),利用已知条件得出M点坐标,根据|OM|OP|=16列方程可得C2的极坐标方程,再将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设B

14、(B,)(B0),由|OA|=2,B=4cos ,即可求出OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.当=-时,S取得最大值2+,所以OAB面积的最大值为2+. 变式题解:(1)x=cos ,y=sin ,C1的极坐标方程为cos +sin -4=0.x2+(

15、y-1)2=1,又x=cos ,y=sin ,(cos )2+(sin -1)2=1,即2-2sin =0,C2的极坐标方程为=2sin .(2)设A(1,),B(2,),则1=,2=2sin ,则=2sin (cos +sin )=,又0,当=时,取得最大值.【备选理由】例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,意在考查基本运算能力,转化与化归思想、方程思想与数形结合思想;例2主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,综合性较强.1 配例2使用 在极坐标系中,已知曲线C:=2sin,P为曲线C上的动点,定点Q.(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程;(2)求P,Q两点间的最短距离.解:(

16、1)在极坐标系中,曲线C:=2sin=2sin -2cos ,2=2sin -2cos ,曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,即(x+1)2+(y-1)2=2.(2)易知Q的直角坐标为,曲线C的圆心为(-1,1),半径为,点Q在圆C外,|PQ|min=-=-.2 配例3使用 xx深圳一模 在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,)且倾斜角为,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=4cos,直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若|AB|=,求直线l的倾斜角的值.解:(1)=4cos,=4cos cos+sin sin=2(cos +sin ),2=2(cos +sin ),x2+y2=2x+2y,