韩信点兵与中国剩余定理_精品文档.ppt

1、韩信点兵与中国剩余定理韩信点兵与中国剩余定理天津师范大学初等教育学院天津师范大学初等教育学院李林波李林波一、问题提出一、问题提出 1、“韩信点兵韩信点兵”的故事的故事 韩信阅兵时，让一队士兵韩信阅兵时，让一队士兵5 5人一行排队从他面人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（前走过，他记下最后一行士兵的人数（1 1人）；再让这队人）；再让这队士兵士兵6 6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（人数（5 5人）；再让这队士兵人）；再让这队士兵7 7人一行排队从他面前走过，人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（他记下最后一

2、行士兵的人数（4 4人），再让这队士兵人），再让这队士兵1111人人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1010人）。人）。然然后后韩韩信信就就凭凭这这些些数数，可可以以求求得得这这队队士士兵兵的的总总人人数数。23 2.孙子算经孙子算经中的题目中的题目 二问题的解答二问题的解答 1从另一个问题入手从另一个问题入手 问题：问题：今有物不知其数，二二数之剩今有物不知其数，二二数之剩1 1，三，三三数之剩三数之剩2 2，四四数之剩，四四数之剩3 3，五五数之剩，五五数之剩4 4，六六，六六数之剩数之剩5 5，七七数之剩，七七数之剩6 6，

3、八八数之剩，八八数之剩7 7，九九数，九九数之剩之剩8 8，问物几何？，问物几何？1）筛法）筛法 5，11，17，23，（用用3除余除余2）11，23，（用用4除余除余3）1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，（用用2除余除余1）再从中挑再从中挑“用用5 5除余除余4 4”的数，的数，6 化繁为简化繁为简的思想的思想 当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是中两三个条件，这就是化繁为简化繁为简。一个复杂的问题，如果在简化时仍然一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问保留了原来问题的特点和本质题的特点和

4、本质，那么简化就，那么简化就“不失一般性不失一般性”。学会学会“简化问题简化问题”与学会与学会“推广问题推广问题”一样，是一一样，是一种重要的数学能力。种重要的数学能力。2 2）公倍数法）公倍数法 化繁为简化繁为简 一个数，被一个数，被2 2除余除余1 1，被，被3 3除余除余2 2，求这个数。，求这个数。所谓所谓“带余除法带余除法”，是指，是指整数整数的如下的如下“除法除法”：被除数被除数 ，除数，除数 ,必唯一存必唯一存在在“商商”和和“余余”，使，使 当余数当余数 时，则时，则 ，称为称为 “整除整除”，或，或 “整除整除 ”，这是通常除法，这是通常除法“”的另一的另一种表达形式。所以，

5、带余除法是通常除种表达形式。所以，带余除法是通常除法的推广。法的推广。回到求回到求“用用2除余除余1的数的数”的问题。设这的问题。设这样的数为样的数为 ，则，则 。这里。这里 是是被除数，被除数，2是除数，是除数，是商，是商，1是余，是余，且且 。“用用3 3除余除余2 2”的数，就是挑出符合的数，就是挑出符合下面下面“带余除法带余除法”表达式表达式 的数，这里的数，这里 可取可取0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，12 13 把上边每个方程两边都加上把上边每个方程两边都加上1，成为，成为 这这说说明明，既既是是2的的倍倍数数，又又是是3的的倍倍数数，因因此此，它它是是2与与3的的公公倍倍

6、数数。由由此此想想到到只有前两个条件的简化题目的解为：只有前两个条件的简化题目的解为：X+1=k g2,3,k=1,2,3,4,X+1=k g2,3,k=1,2,3,4,X=6k-1,k=1,2,3,4,X=6k-1,k=1,2,3,4,15对整个问题寻找规律对整个问题寻找规律问题：问题：今有物不知其数，二二数之剩今有物不知其数，二二数之剩1，三，三三数之剩三数之剩2，四四数之剩，四四数之剩3，五五数之剩，五五数之剩4，六，六六数之剩六数之剩5，七七数之剩，七七数之剩6，八八数之剩，八八数之剩7，九，九九数之剩九数之剩8，问物几何？，问物几何？寻找规律寻找规律 设问题中，需要求的数是设问题中，

7、需要求的数是 ，则，则 被被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数少去除，所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数于是我们把被除数 再加再加1，则，则 就可被就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是说，均整除。也就是说，是是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数的公倍数，从而是其最小公倍数2,3,4,5,6,7,8,9的倍数。的倍数。17 即即 18 思思：求求“用用2除余除余1，3除余除余2，用用m除除余余 m 1”的数。的数。求求“用用a除余除余a 1，用，用b除余除余b1，用用c除余除余c1”的数。的数。（a,b,c是任意大于是任意大于1

8、的自然数）的自然数）求求“用用2，3，4，5，6，7，8，9除除 都余都余1”的数。的数。求求“用用5，7，9，11 除都余除都余2”的数。的数。2孙子算经孙子算经中中“有物不知其数有物不知其数”问题的解答问题的解答 问题问题:今有物不知其数，今有物不知其数，三三数之剩三三数之剩2 2，五五数之剩五五数之剩3 3，七七数之剩七七数之剩2 2，问物几何？问物几何？201）筛法）筛法.2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，（用（用3除余除余2）8，23，（用（用5除余除余3）23，（用（用7除余除余2）由此得到，由此得到，23是最小的一个解。是最小的一个解。至于下一个解是什么，要把

9、至于下一个解是什么，要把“”写出来才知道；写出来才知道；实践以后发现，是要费一点儿功夫的。实践以后发现，是要费一点儿功夫的。2）公倍数法）公倍数法 现在仿照上边用过的现在仿照上边用过的“公倍数法公倍数法”，设，设要求的数为要求的数为 ，则依题意，得联立方，则依题意，得联立方程组程组22 按上一问题中按上一问题中“公倍数法公倍数法”解决问题的解决问题的思路：把思路：把方程两边同时加上或减去方程两边同时加上或减去一个什么一个什么样的数，就能使三个等式的右边分别是样的数，就能使三个等式的右边分别是3 3，5 5，7 7的倍数，从而等式左边就是的倍数，从而等式左边就是3 3，5 5，7 7的公的公倍数

10、了。倍数了。这要通过这要通过反复反复的试算去完成。的试算去完成。23一种试算的方法一种试算的方法24 从第三个等式入手，两边加从第三个等式入手，两边加5（或减（或减2）则则得得 则右边是则右边是7 7的倍数了，但两边加的倍数了，但两边加5 5（或减（或减2 2）并不能并不能使前两式的右边分别是使前两式的右边分别是3 3的倍数和的倍数和5 5的倍数，所以两的倍数，所以两边加边加5 5（或减（或减2 2）并不能使右边成为并不能使右边成为3 3，5 5，7 7的公倍数。的公倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式右边仍再继续从第三个等式入手，为使第三个等式右边仍然保持是然保持是7 7的倍数的倍数

11、,可再加可再加 (或再减或再减 ），则，则 将将 代入试算、分析，代入试算、分析，最后发现，为达到目的（三个等式的右最后发现，为达到目的（三个等式的右边分别是边分别是3 3，5 5，7 7的倍数），最小的加数的倍数），最小的加数是是8282（l=11,5+7l=82 l=11,5+7l=82 时时)（或最小的减（或最小的减数是数是2323，即当，即当h=3h=3时时,2+7h=23),2+7h=23)用等式两边加用等式两边加82来求解，有来求解，有 用等式两边减用等式两边减23来求解，有来求解，有 多了一个多了一个“”，因这时，因这时 也是正数，合也是正数，合 要求要求。28 这两组解是一样的

12、，都是这两组解是一样的，都是“23，23+105，23+2105，”。原因是原因是82+23=105，故令，故令 ，第一组解就成为第一组解就成为 便转化成第二组解。便转化成第二组解。29 但但是是，这这 8 82 2和和2 23 3来来之之不不易易；并并且且如如果果题题目目中中的的余余数数 变变了了，就就得得重重新新试试算算，所所以以这这方方法法缺缺少少一一般般性性，为为使使它它具具有有一一般般性性，要做根本的修改。要做根本的修改。3）单因子构件凑成法）单因子构件凑成法 我们先对（我们先对（*）式作两个方面的简化：）式作两个方面的简化：一方面一方面是每次只考是每次只考虑虑“一个除式一个除式”有

13、余数的情况（即另两个除式都是整除的情有余数的情况（即另两个除式都是整除的情况）；况）；另一方面另一方面是把余数都简化为最简单的是把余数都简化为最简单的1 1。这样得到三。这样得到三组方程。组方程。31 （1 1）式意味着，在）式意味着，在5 5和和7 7的公倍数中（的公倍数中（3535，7070，105105，）寻找被）寻找被3 3除余除余1 1的数；的数；（2 2）式意味着，在）式意味着，在3 3和和7 7的公倍数中（的公倍数中（2121，4242，6363，）寻找被）寻找被5 5除余除余1 1的数；的数；（3 3）式意味着，在）式意味着，在3 3和和5 5的公倍数中（的公倍数中（1515，

14、3030，4545，）寻找被）寻找被7 7除余除余1 1的数。的数。对（对（1 1）式而言，这个数可以取）式而言，这个数可以取7070，对（，对（2 2）式而言，这个）式而言，这个数可以取数可以取2121，对（，对（3 3）式而言，这个数可以取）式而言，这个数可以取1515。于是（于是（1 1）式两边同减）式两边同减7070变为这样：变为这样：第二个等式右边仍是第二个等式右边仍是5 5的倍数，第三个等式右边仍是的倍数，第三个等式右边仍是7 7的倍数，而第一个等式右边的倍数，而第一个等式右边因为减的因为减的7070是是“用用3 3除余除余1 1”的数，正好原来也多一个的数，正好原来也多一个1 1

15、，减，减没了。第一个等式右边也成为了倍数，是没了。第一个等式右边也成为了倍数，是3 3的倍数。的倍数。33（2）式两边同减）式两边同减21变为变为 34 （3 3）式两边同减）式两边同减1515变为变为 于是得到于是得到 35 现在重复一下：所得的现在重复一下：所得的x x是是被被3 3除余除余1 1，被被5 5和和7 7除余除余0 0的数；的数；y y是是被被5 5除余除余1 1，被，被3 3和和7 7除余除余0 0的数；的数；z z是是被被7 7除余除余1 1，被，被3 3和和5 5除余除余0 0的数。的数。36 那么，凑出那么，凑出 ，s s 不就是我们需要求的数吗？不就是我们需要求的数

16、吗？37 因为，用因为，用3去除去除s时，除时，除y及除及除z均余均余0 除除3y及除及除2z均余均余0，又除又除x余余1 除除2x余余2，用用3除除s时余时余2。用用5去除去除s时，除时，除x及除及除z均余均余0 除除2x及除及除2z均余均余0，又除又除y余余1 除除3y余余3，用用5除除s时余时余3。用用7去除去除s时，除时，除x及除及除y均余均余0 除除2x及除及除3y均余均余0，又除又除z余余1 除除2z余余2，用用7除除s时余时余2。38 于是我们要于是我们要求的数求的数是是 这这 就就 是是 孙孙子子算算经经 中中“物物不不知知其其数数”一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是2323（时）。时）。39 这里，（这里，（1 1），（），（2 2），（），（3 3）三式分别叫三个）三式分别叫三个“单子因构件单子因构件”，分，分别解得别解得 每个单因子构件，都是用某一个数去除余每个单因子构件，都是用某一个数去除余1 1，用另两个数去除均，用另两个数去除均余余0 0的情况。再据题目要求余数分别是的情况。再据题目要求余数分别是2 2，3 3，2