非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法.ppt

1、 用迭代法可逐步精确方程用迭代法可逐步精确方程 根的近似值，根的近似值，但必须要找到但必须要找到 的等价方程的等价方程 ,如果如果 选得不合适选得不合适,不仅影响收敛速度不仅影响收敛速度,而且有可能造成迭代而且有可能造成迭代格式发散。能否找到一种迭代方法格式发散。能否找到一种迭代方法,既结构简单既结构简单,收敛收敛速度快速度快,又不存在发散的问题。这就是本节要介绍的又不存在发散的问题。这就是本节要介绍的牛顿迭代法牛顿迭代法7.4.1 7.4.1 牛顿迭代法的基本思想牛顿迭代法的基本思想 牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法,它的基本它的基本思想是将非线性函数思想是将

2、非线性函数f(x)逐步线性化逐步线性化,从而将从而将非线性方非线性方程程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。近似地转化为线性方程求解。7.4 牛顿迭代法牛顿迭代法 算法推导 设存在设存在 的某一邻域的某一邻域 ,使得非线性函数使得非线性函数 取迭代初值取迭代初值 ,满足满足 1.1.建立从建立从 的迭代公式的迭代公式 将将 在在 点一阶点一阶TaylorTaylor展开：展开：考虑考虑 是是 的单根的单根由由（因为（因为 ）2.建立从建立从 的迭代公式的迭代公式 将将 在在 点一阶点一阶Taylor展开：展开：依此类推，可得一般的迭代格式：依此类推，可得一般的迭代格式：上述迭代格式称为求上述

3、迭代格式称为求 的解的牛顿迭代法。的解的牛顿迭代法。几何意义几何意义 在点在点 处作处作 的切线，切线方程为：的切线，切线方程为：求该切线与求该切线与 轴交点的横坐标，正是轴交点的横坐标，正是 的值，即的值，即 依次类推，依次类推，在点在点 处作处作 的切线，切线方程为：的切线，切线方程为：求该切线与求该切线与 轴交点的横坐标，正是轴交点的横坐标，正是 的值，即的值，即 牛顿迭代法又称为牛顿迭代法又称为切线求根法。切线求根法。牛顿迭代法的收敛条件与收敛速度（针对单根而言）牛顿迭代法的收敛条件与收敛速度（针对单根而言）定理定理 设设 则由则由 牛顿迭代法产生的迭代序列牛顿迭代法产生的迭代序列 局

4、部收敛于局部收敛于 ，且为平方收敛。，且为平方收敛。证明：证明：在牛顿迭代法的迭代格式中，迭代函数为：在牛顿迭代法的迭代格式中，迭代函数为：在在 的邻域内具有二阶连续导数，的邻域内具有二阶连续导数，又又 牛顿迭代法局部收敛于牛顿迭代法局部收敛于 又又 即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。注注.定理要求定理要求 充分接近充分接近 (局部收敛局部收敛)，充分的程度，充分的程度 没有具体的描述，而且若没有具体的描述，而且若 的值没有取好，有可的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。能得不到收敛的结果。以下定理，给出了以下定理，给出了 满足一定的条件时，

5、要使得牛顿满足一定的条件时，要使得牛顿迭代法收敛，迭代法收敛，应满足什么条件。应满足什么条件。又又 牛顿迭代法局部收敛于牛顿迭代法局部收敛于 又又 即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。注注.定理要求定理要求 充分接近充分接近 (局部收敛局部收敛)，充分的程度，充分的程度 没有具体的描述，而且若没有具体的描述，而且若 的值没有取好，有可的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。能得不到收敛的结果。以下定理，给出了以下定理，给出了 满足一定的条件时，要使得牛顿满足一定的条件时，要使得牛顿迭代法收敛，迭代法收敛，应满足什么条件。应满足什么条件。定理定理

6、设设 在区间在区间 上的二阶导数存在，且满足：上的二阶导数存在，且满足：（保证（保证 中至少存在一个根）中至少存在一个根）（保证牛顿迭代法能做下去及方程在（保证牛顿迭代法能做下去及方程在 上只有一个根）上只有一个根）保持符号不变。保持符号不变。（保证（保证 在在 上是上凸或下凸的）上是上凸或下凸的）初始值初始值 （保证从（保证从 出发的出发的 ）则牛顿迭代法产生的迭代序列则牛顿迭代法产生的迭代序列 收敛于收敛于 在在 区间的唯一根。区间的唯一根。yx0B=x0f(x)0 xn+1X*ayx0Bf(x)0a=x0yx0B=x0f(x)0ayx0Bf(x)0a=x0yx10 x0X*0 x0X*x

7、2不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况根或死循环的情况7.4.4 牛牛顿顿迭迭代代法法的的算算法法实实现现例例.用用NewtonNewton迭代法建立求迭代法建立求 的迭代公式的迭代公式.解：第一步，将原问题转化为求某一非线性方程的根的问题解：第一步，将原问题转化为求某一非线性方程的根的问题 方程方程1 1 有根号不方便计算有根号不方便计算 方程方程2 2 其正根为其正根为 关于关于方程方程2 2 的的NewtonNewton迭代公式如下：迭代公式如下：利用上述保证条件，令利用上述保证条件，令 取区间取区间 注

8、意：当注意：当 时，时，可以验证，条件可以验证，条件成立成立 取取 作初始值，则条件作初始值，则条件成立成立 则有：则有：例例 用简单迭代法和牛顿迭代法求方程用简单迭代法和牛顿迭代法求方程 在在附近的根，取附近的根，取 解法一：用简单迭代法解法一：用简单迭代法 对方程对方程 建立迭代格式：建立迭代格式：取取 ，计算可得：，计算可得：（在第（在第2626步才达到要求）步才达到要求）解法二：用牛顿迭代法解法二：用牛顿迭代法对方程对方程 建立建立牛顿牛顿迭代格式：迭代格式：取取 ，计算可得：，计算可得：（在第三步就达到要求在第三步就达到要求）比较：后者比较：后者(收敛阶为收敛阶为2)2)比前者比前者

9、(收敛阶为收敛阶为1)1)的收敛快。的收敛快。重根的处理重根的处理 设设 的的 重根（重根（），即），即 直接利用牛顿迭代法求解直接利用牛顿迭代法求解 迭代格式为：迭代格式为：收敛阶为收敛阶为1.1.即直接用牛顿迭代法求解，效果并不理想即直接用牛顿迭代法求解，效果并不理想.推导过程如下：推导过程如下：显然显然 ，即上述迭代格式确实可构造求方程，即上述迭代格式确实可构造求方程 的根的根 的迭代格式。的迭代格式。迭代格式：迭代格式：又令又令 (*)(*)两边同时减去两边同时减去 若若 收敛，即收敛，即 当当 时，时，对重根用牛顿迭代方法只是线性收敛。对重根用牛顿迭代方法只是线性收敛。用改进的牛顿迭

10、代法来求解用改进的牛顿迭代法来求解 改进的牛顿迭代法改进的牛顿迭代法 I:其收敛阶为其收敛阶为2.2.（推导过程：（推导过程：若若 收敛，即收敛，即 此种改进的牛顿迭代方法是平方收敛。此种改进的牛顿迭代方法是平方收敛。改进的牛顿迭代法改进的牛顿迭代法 II:（将重根情形化为单根情形）（将重根情形化为单根情形）迭代格式为：迭代格式为：其中，其中，其收敛速度为平方收敛其收敛速度为平方收敛.（令令 说明说明 是是 的单根。的单根。用牛顿迭代法求用牛顿迭代法求 的根的根 求的求的 重根重根 ）（2 2）改进的牛顿迭代法）改进的牛顿迭代法 I:（1 1）牛顿迭代法）牛顿迭代法 :（3 3）改进的牛顿迭代

11、法）改进的牛顿迭代法 II:kxk(1)(2)(3)0123x0 x1x2x31.51.4583333331.4366071431.4254976191.51.4166666671.4142156861.4142135621.51.4117647061.4142114381.414213562Newton下山法下山法 原理：若由原理：若由 xk 得到的得到的 xk+1 不能使不能使|f|减小，则在减小，则在 xk 和和 xk+1 之之间找一个更好的点间找一个更好的点 ，使得，使得 。xkxk+1注：注：=1 时就是Newton迭代公式。当 =1 代入效果不好时，将 减半计算。7.5 弦截法弦截

12、法 牛牛顿顿迭迭代代法法虽虽然然具具有有收收敛敛速速度度快快的的优优点点，但但每每迭迭代代一一次次都都要要计计算算导导数数 ,当当 比比较较复复杂杂时时,不不仅仅每每次次计计算算 带带来来很很多多不不便便，而而且且还还可可能能十十分分麻麻烦烦，如如果果用用不不计计算算导导数数的的迭迭代代方方法法，往往往往只只有有线线性性收收敛敛的的速速度度。本本节节介介绍绍的的弦弦截截法法便便是是一一种种不不必必进进行行导导数数运运算算的的求求根根方方法法。弦弦截截法法在在迭迭代代过过程程中中不不仅仅用用到到前前一一步步 处处的的函函数数值值，而而且且还还使使用用 处处的的函函数数值值来来构构造造迭迭代代函函

13、数数，这这样样做做能能提提高高迭迭代代的的收收敛敛速度。速度。7.5.1 弦截法的基本思想弦截法的基本思想 为避免计算函数的导数为避免计算函数的导数 ，使用差商，使用差商 替代牛顿公式中的导数替代牛顿公式中的导数 ,便得到迭代公式便得到迭代公式 称为弦截迭代公式，称为弦截迭代公式，相应的迭代法称为弦截法相应的迭代法称为弦截法。7.5.2 弦截法几何意义弦截法几何意义弦截法也称割线法弦截法也称割线法,其几何意义是用过曲线上两其几何意义是用过曲线上两点点 、的割线来代替曲线的割线来代替曲线,用割用割线与线与x轴交点的横座标作为方程的近似根轴交点的横座标作为方程的近似根 再过再过P1点和点点和点 作

14、割线求出作割线求出 ,再再过过P2点和点点和点 作割线求出作割线求出 ,余余此类推，当收敛时此类推，当收敛时可求出满足精度要可求出满足精度要求的求的 可以证明，弦截法具有超线性收敛，收敛可以证明，弦截法具有超线性收敛，收敛的阶约为的阶约为1.618，它与前面介绍的一般迭代法，它与前面介绍的一般迭代法一样都是线性化方法，但也有区别。即一般迭一样都是线性化方法，但也有区别。即一般迭代法在计算代法在计算 时只用到前一步的值时只用到前一步的值 ，故称，故称之为之为单点迭代法单点迭代法；而弦截法在求；而弦截法在求 时要用到前时要用到前两步的结果两步的结果 和和 ，使用这种方法必须给出，使用这种方法必须给

15、出两个初始近似根两个初始近似根 ，这种方法称为，这种方法称为多点迭多点迭代法代法。例例12 用弦截法求方程用弦截法求方程 在在 初始初始 值邻近的一个根。要求值邻近的一个根。要求解：取解：取 ,令令 利用弦截迭代公式利用弦截迭代公式 计算结果，计算结果，易见取近似根易见取近似根 则可满足精度要求。则可满足精度要求。7.5.3 弦弦截截法法算算法法实实现现 非非线线性性方方程程的的解解通通常常叫叫做做方方程程的的根根,也也叫叫做做函函数数的的零零点点,本本章章讨讨论论了了求求解解非非线线性性方方程程近近似似根根常常用用的的一一些些数数值值方方法法。先先要要确确定定有有根根区区间间,且且对对于于收

16、收敛敛的的迭迭代代格格式式,这这个个区区间间要要足足够够小小。针针对对各各种种求求根根的的数数值值方方法法的的特特点点,要考虑其收敛性、收敛速度和计算量。要考虑其收敛性、收敛速度和计算量。二二分分法法是是逐逐步步将将含含根根区区间间分分半半,主主要要用用来来求求实实根根;迭迭代代法法是是一一种种逐逐次次逼逼近近的的方方法法,起起着着把把根根的的精精确确值值一一步步一一步步算算出出来来的的作作用用;牛牛顿顿法法具具有有较较快快的的收收敛敛速速度度,但但对对初初值值选选取取要要求求较较高高。弦弦截截法法避避开开了了导导数数的的计计算算,具具有有超超线性的收敛速度线性的收敛速度,每计算一步每计算一步,要用到前面两步的信息。要用到前面两步的信息。本章小结本章小结