选修4-4-1极坐标与参数方程_精品文档.ppt

1、坐标系与坐标系与 参数方程参数方程高二数学高二数学 选选修修4-44-4选修选修4-4 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一节第一节 坐标系坐标系 第二节第二节 参数方程参数方程 坐坐 标标 系系 我们知道可以利用直角坐标系来表示平面上点的位置（有序实数对）（有序实数对）和一些曲线的方程，从而实现了数形结合数形结合思想。根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立方程，通过方程研究它的性质，这就是研究几何问题常用的坐标法坐标法。但在有些问题中这并不方便；例如：雷达兵在报告雷达发现的飞机的位置时，只需指出飞机的方向和距离。像这种利用方向和距离来确定平面上点的位置的坐标系就是极坐标系；本节

2、介绍极坐标系的概念和曲线的极坐标方程。一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做叫做极点极点，引一条射线引一条射线OX，叫做叫做极轴极轴；再选定一个长度单位和再选定一个长度单位和角度单位角度单位（通常取弧度）（通常取弧度）及及它的正方向它的正方向（通常取（通常取逆时针方向）。逆时针方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO二、极坐标系内一点的极坐标的规定：二、极坐标系内一点的极坐标的规定：XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用用 表示线段表示线段OM的长度，的长度，用用 表示从表示从OX到到OM 的的角度，角度，叫做点叫

3、做点M的的极径极径，叫做点叫做点M的的极角极角，有序，有序数对数对（，）就叫做就叫做M的的极坐标。极坐标。特别强调特别强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。例例1：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

4、规定规定：当当M在极点时，它的极坐标在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。可以取任意值。想一想？想一想？三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，请说出点请说出点M的极坐标的不的极坐标的不同表达式。同表达式。思考思考1：这些极坐标之间有何异同？：这些极坐标之间有何异同？思考思考2：这些极角有何关系？：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角；极径相同，不同的是极角

5、；例例2：在极坐标系里描出下列各点：在极坐标系里描出下列各点ABCDEFGOX四、四、负极径负极径的定义的定义说明：一般情况下，极径都是正值；说明：一般情况下，极径都是正值；但在某些必要情况下，极径也可以但在某些必要情况下，极径也可以取负值。取负值。对于点对于点M（，）,负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP=2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=OXP MOXP=/4M例如：例如：在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点M（3，/4）的位置：的位置：1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延的反向延长线上取一点长线上取一

6、点M，使使 OM=3；例例3：说出下图中当：说出下图中当极径取负值极径取负值时各点的极时各点的极坐标：坐标：关于负极径的思考关于负极径的思考“负极径负极径”真是真是“负负”的？的？根据极径定义，极径是距离，当然是正根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的的。现在所说的“负极径负极径”中中的的“负负”到底到底是什么意思？是什么意思？把负极径时点的确定过程，与正极径时把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？什么不同？OXPOXP1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延长线上取一点的反向延长线

7、上取一点M，使，使 OM=31作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的上取一点的上取一点M，使，使 OM=3M例例:画出点画出点（3，/4）和（和（3，/4）给定给定,在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：先按极角先按极角找找到到极径所在的射线极径所在的射线，后，后按极径的正负按极径的正负和数值和数值在在这条射线这条射线（或其（或其反向延长线反向延长线）上描点。）上描点。M负极径的实质：负极径的实质：从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射线线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也可以看成而反向延长也可以看

8、成是旋转是旋转 ，因此，因此，所谓所谓“负负极径极径”实质是实质是管方向管方向的。这的。这与数学中通常的习惯一致，与数学中通常的习惯一致，用用“负负”表示表示“反向反向”。负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加（或减少）（或减少）。练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标。的负极径的极坐标。（6，）答：（答：（6，+）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为认为 0。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。五、极坐标系下点的极坐标五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3，/4）的）的所有极坐标所

9、有极坐标1极径是正的时候：极径是正的时候：2极径是负的时候：极径是负的时候：六、极坐标系下点与它的极坐标的六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况：对应情况：1给定给定（,）,就可以就可以在在极坐标极坐标平面内确定唯一平面内确定唯一的一点的一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但但却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)一般地一般地,若若(,)是一点的极坐是一点的极坐标标,则则(,+2k)、,+(2k+1)都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标.如果如果限定限定0,02（或（或）那么除极点外那么除极点外,平面内的点和

10、极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.2.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴关于极轴对称的点是对称的点是()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)CD练习：练习：1.在极坐标系中，与点在极坐标系中，与点(3,)重合重合的点是的点是()A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,)3.在极坐标系中在极坐标系中,与点与点(8,)关关于极点对称的点于极点对称的点 的一个坐标是的一个坐标是 ()A.(8,)B.(8,)C.(8,)D.(8,)A3一点的极坐标有否统一的表达式一点的极坐标有否统一的表达式？小结小结1建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素

11、极点；极轴；长度单位；角度单位和极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。它的正方向。2极坐标系内极坐标系内一点一点的极坐标有多少种的极坐标有多少种表达式？表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。无数，极径有正有负；极角有无数个。有；（有；（，2k+）利用该公式可以把点的极坐标转化成直角坐标；由公式得：练习练习2:已知点的直角坐标已知点的直角坐标,求它们的极坐标求它们的极坐标.A A（3,-3,-），），B B（1 1，）,C,C（5 5，0 0），），D D（0 0，-2-2），），E E（-3-3，-3-3）练习练习1：已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。小小 结结极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(,)公式的三个前提条件：公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同.(限定限定0,00,02)2)x=x=coscos,y=,y=sinsin