高考数学理科一轮复习对数与对数函数学案带答案.docx

1、高考数学理科一轮复习对数与对数函数学案带答案高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案学案8对数与对数函数 导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型 自主梳理 1对数的定义 如果_，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a0且a1) _； _； _； _. (2)对数

2、的重要公式 换底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)； ，推广 _. (3)对数的运算法则 如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN)_； logaMN_； logaMn_(nR)； nmloga对数函数的图象与性质 a10a1 图 象 性 质(1)定义域：_ (2)值域：_ (3)过点_，即x_时，y_ (4)当x1时，_ 当0x1时，_(5)当x1时，_当0x1时，_ (6)是(0，)上的_函数(7)是(0，)上的_函数 4.反函数 指数函数yax与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线_对称 自我检测 1(2010四川)2log510log50.25的值为() A0B

3、1C2D4 2(2010辽宁)设2a5bm，且1a1b2，则m的值为() A.10B10C20D100 3(2009辽宁)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)12x；当x4时，f(x)f(x1)则f(2log23)的值为() A.124B.112C.18D(2010安庆模拟)定义在R上的偶函数f(x)在0，)上递增，f(13)0，则满足 0的x的取值范围是() A(0，)B(0，12)(2，) C(0，18)(12，2)D(0，12) 5(2011台州期末)已知0ab1c，mlogac，nlogbc，则m与n的大小关系是_. 探究点一对数式的化简与求值 例1 计算：(1) ； (2)12l

4、g324943lg8lg245； (3)已知2lgxy2lg xlg y，求变式迁移1计算： (1)log2748log21212log2421； (2)(lg 2)2lg 2lg 50lg 2探究点二含对数式的大小比较 例2 (1)比较下列各组数的大小 log323与log565； log1.10.7与log1.20(2)已知log12blog12alog12c，比较2b,2a,2c的大小关系 变式迁移2(1)(2009全国)设alog3，blog23，clog32，则() AabcBacb CbacDbca (2)设a，b，c均为正数，且2a ，(12)b ，(12)clog2c，则()

5、AabcBcba0 CcabDbac 探究点三对数函数的图象与性质 例3 已知f(x)logax(a0且a1)，如果对于任意的x13，2都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围 变式迁移3(2010全国)已知函数f(x)|lg x|，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是() A(22，)B22，) C(3，)D3，) 分类讨论思想的应用 例 (12分)已知函数f(x)loga(1ax)(a0，a1) (1)解关于x的不等式：loga(1ax)f(1)； (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0. 【答题模板】 (1)

6、解f(x)loga(1ax)， f(1)loga(1a)1a0.0a1. 不等式可化为loga(1ax)loga(1a) 1ax0，1ax1a.，即ax1，axa.0x1. 不等式的解集为(0,1)4分 (2)证明设x1x2，则f(x2)f(x1) . 1ax0，ax1. a1时，f(x)的定义域为(，0)；6分 0a1时，f(x)的定义域为(0，) 当0a1时，x2x10， . 1. 0. f(x2)f(x1)，即y2同理可证，当a1时，也有y2y1.10分 综上：y2y1，即y2y10.kABy2y1x2x10. 直线AB的斜率小于0.12分 【突破思维障碍】 解决含参数的对数问题，不可忽

7、视对底数a的分类讨论，即a1或0a1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性 1求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域； (2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)； (3)分别确定这两个函数的单调区间； (4)若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数，若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减” 2用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较 例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小， 其中a0且a1. 若a1，则logaf(x)logag(x)⇔f(x

8、)g(x)0. 若0a1，则logaf(x)logag(x)⇔0f(x)g(x) (2)同真数的对数值大小关系如图： 图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0cd1ab. 3常见对数方程式或对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)logag(x)(a0且a1)等价于f(x)g(x)，但要注意验根对于logaf(x)logag(x)等价于0a1时， a1时， (2)形如F(logax)0、F(logax)0或F(logax)0，一般采用换元法求解 (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1(2010北京市丰台区高三一调)设My|y(12)x，x0，)，Ny|yl

9、og2x，x(0,1，则集合MN等于 () A(，0)1，)B0，) C(，1D(，0)(0,1) 2(2010全国)设alog32，bln 2，c512，则() AabcBbca CcabDcba 3(2010天津)若函数f(x)log2x，x0，log12(x)，x0，若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是() A(1,0)(0,1)B(，1)(1，) C(1,0)(1，)D(，1)(0,1) 4(2011济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有 () Af(13)f(2)f(12) Bf(12)f(2)f(13) Cf(12)f(1

10、3)f(2) Df(2)f(12)f(13) 5(2011青岛模拟)已知函数f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为() A.12B.14C2D4 题号12答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 62lg 523lg 8lg 5lg 20lg22_. 7(2011湖南师大附中检测)已知函数f(x)lgaxa2x在区间1,2上是增函数，则实数a的取值范围是_ 8已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)f(28)_. 三、解答题(共38分) 9(12分)已知f(x)2log3x，x1,9，求yf(x)2f(x2)的最大值及

11、y取最大值时x的值 10(12分)(2011北京东城1月检测)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1. (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)若a1时，求使f(x)0的x的解集(14分)(2011郑州模拟)已知函数f(x)lg(axbx)(a1b0) (1)求yf(x)的定义域； (2)在函数yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴； (3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，)上恒取正值 答案 自主梳理 1axN(a0，且a1)xlogaNaN2.(1)N0N1(2)logaNlogablogad(3)l

12、ogaMlogaNlogaMlogaNnlogaM3.(1)(0，)(2)R(3)(1,0)10(4)y0y0(5)y0y0(6)增(7)减4.ylogaxyx 自我检测 1C2.A 3A因为32log234，故f(2log23)f(2log231)f(3log23)又3log234，故f(3log23)123log2312313124. 4B由题意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|log18x|)f(13)，f(x)在0，)上递增，于是|log18x|13，解得x的取值范围是(0，12)(2，) 5mn 解析m0，n0，mnlogaclogcblogablogaa1，m堂活动区 例1

13、 解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化 解(1)方法一利用对数定义求值： 设 x， 则(23)x23123(23)1， x1. 方法二利用对数的运算性质求解： 1. (2)原式12(lg 32lg 49)43lg 812 12lg 24512(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5) 52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 5 12lg 212lg 5 12lg (25)12lg 1012. (3)由已知得lg(xy2)2lg xy，

14、(xy2)2xy，即x26xyy20. (xy)26(xy)10.xy322. xy0，x0，y0，xy1，xy322， log(322)xylog(322)(322) log32213221. 变式迁移1解(1)原式log2748log212log242log22 log271248422log2122log223232. (2)原式lg 2(lg 2lg 50)lg 25 21g 2lg 25lg 1002. 例2 解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；若底数不同，真数相

15、同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较 解(1)log323log310， 而log565log510，log323log方法一00.71,1.11.2， 0log0.71.1log0.71.2. 1log0.71.11log0.71.2， 由换底公式可得log1.10.7log1.20.7. 方法二作出ylog1.1x与ylog1.2x的图象， 如图所示，两图象与x0.7相交可知log1.10.7log1.20(2)ylog12x为减函数， 且log12blog12alog12c，bac. 而y2x是增函数，2b2a2c.

16、 变式迁移2(1)Aalog31，b12log23，则12b1，c12log3212，abc. (2)Aa，b，c均为正， log12a2a1，log12b(12)b(0,1)， log2c(12)c(0,1) 0a12，12b1,1c2. 故abc. 例3 解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x13，2时，|f(x)|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题由于本题底数a为参数，需对a分类讨论 解f(x)logax， 则y|f(x)|的图象如右图 由图示，可使x13，2时恒有|f(x)|1， 只需|f(13)|1，即1loga131，

17、 即logaa1loga13logaa， 亦当a1时，得a113a，即a3； 当0a1时，得a113a，得0a综上所述，a的取值范围是(0，133，) 变式迁移3C 画出函数f(x)|lg x|的图象如图所示0ab，f(a)f(b)，0a1，b1，lg a0，lg b0.由f(a)f(b)， lg alg b ，ab1. b1a，a2ba2a， 又0a1，函数ta2a在(0,1)上是减函数， a2a1213，即a2b3. 课后练习区 1Cx0，y(12)x(0,1，M(0,1 当0x1时，ylog2x(，0，即N(，0MN(，1 2C1alog231，1blog2e1，log23log2e.

18、1a1b1，0ab1. alog32log3312，a12. bln 2ln e12，b12. c5121512，cab. 3C当a0时，f(a)log2a，f(a) ， f(a)f(a)，即log2a log21a， a1a，解得a1. 当a0时，f(a) ，f(a)log2(a)， f(a)f(a)，即 log2(a) ， a1a，解得1a0， 由得1a0或a1. 4C由f(2x)f(x)知f(x)的图象关于直线x2xx21对称，又当x1时，f(x)ln x，所以离对称轴x1距离大的x的函数值大， |21|131|121|， f(12)f(13)f(2) 5C当x0时，函数ax，logax

19、的单调性相同，因此函数f(x)axlogax是(0，)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)a2aloga2，由题意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去) 63 7(1,2) 解析因为f(x)lgaa2x在区间1,2上是增函数，所以g(x)aa2x在区间1,2上是增函数，且g(1)0，于是a20，且2a20，即1a2. 82 008 解析令3xt，f(t)4log2t233， f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 00解f(x)2log3x， yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2

20、log23x6log3x6(log3x3)23.(4分) 函数f(x)的定义域为1,9， 要使函数yf(x)2f(x2)有意义，必须1x29，1x9，1x3，0log3x1，(8分) 6(log3x3)23当log3x1，即x3时，ymax当x3时，函数yf(x)2f(x2)取最大值13.(12分) 10解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，则x10，1x0，解得1x1. 故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(4分) (2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1， 且f(x)loga(x1)loga(1x) loga(x1)loga(1x) f(x)，故f(x)为奇函数(8分)

21、(3)因为当a1时，f(x)在定义域x|1x1内是增函数，所以f(x)0⇔x11x1. 解得0x1.所以使f(x)0的x的解集是x|0x1(12分) 11解(1)由axbx0，得(ab)x1，且a1b0，得ab1，所以x0，即f(x)的定义域为(0，)(4分) (2)任取x1x20，a1b0，则 0， ，所以 0， 即 故f(x1)f(x2) 所以f(x)在(0，)上为增函数(8分) 假设函数yf(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1x2，y1y2，这与f(x)是增函数矛盾 故函数yf(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴(10分) (3)因为f(x)是增函数，所以当x(1，)时，f(x)f(1)这样只需f(1)lg(ab)0，即当ab1时，f(x)在(1，)上恒取正值(14分)