实验02讲评参考答案MATLAB矩阵分析与处理第3章.docx

1、实验02讲评参考答案MATLAB矩阵分析与处理第3章实验02讲评、参考答案讲 评未交实验报告的同学名单数学：13-17，11、12级6人信科：13-39,13-47,12-04,12-22,12-29批改情况：本实验报告不批改，请参考答案！除第1题稍复杂外，其它题按书上操作即可，注意细心点！答案中有一些操作技巧，供参考！附参考答案：实验02 MATLAB矩阵分析与处理（第3章 MATLAB矩阵分析与处理）一、实验目的1. 掌握生成特殊矩阵的方法。2. 掌握矩阵分析的方法。3. 用矩阵求逆法解线性方程组。4. 掌握MATLAB各种表达式的书写规则以及常用函数的使用。二、实验内容1. 分块矩阵设有

2、分块矩阵，其中E、R、O、S分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证。命令窗口中的执行过程： format compact %紧凑输出格式 format short g %小数部分后面0不显示 E=eye(3); R=rand(3,2); O=zeros(2,3); S=diag(5,10); A=E,R;O,SA = 1 0 0 0.2785 0.96489 0 1 0 0.54688 0.15761 0 0 1 0.95751 0.97059 0 0 0 5 0 0 0 0 0 10 A2ans = 1 0 0 1.671 10.614 0 1 0 3.2813 1.7

3、337 0 0 1 5.745 10.677 0 0 0 25 0 0 0 0 0 100 E,R+R*S;O,S2ans = 1 0 0 1.671 10.614 0 1 0 3.2813 1.7337 0 0 1 5.745 10.677 0 0 0 25 0 0 0 0 0 1002. 希尔伯特矩阵、帕斯卡矩阵及其行列式的值和条件数产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P，且求其行列式的值Hh和Hp以及它们的条件数Th和Tp，判断哪个矩阵性能更好。为什么？命令窗口中的执行过程： format rat %有理式输出格式 H=hilb(5)H = 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2

4、1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 format short g P=pascal(5)P = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 %H的行列式Hh、条件数Th det(H),cond(H,1),cond(H,2),cond(H,inf)ans = 3.7493e-12 9.4366e+05 4.7661e+05 9.4366e+05 %P的行列式Hp、条件数Tp det(P),cond(P,1),c

5、ond(P,2),cond(P,inf)ans = 1 15624 8517.5 15624条件数越接近1，矩阵的性能越好。H的条件数更大于1，所以P比H性能好。3. 求矩阵的行列式值、迹、秩和范数建立一个55矩阵，求它的行列式值、迹、秩和范数。命令窗口中的执行过程： format compact;format short g A=round(rand(5)*10)A = 3 8 6 7 3 10 8 7 2 6 0 2 8 1 2 4 5 3 5 8 4 4 7 10 3 det(A),trace(A),rank(A),norm(A,1),norm(A,2),norm(A,Inf)ans =

6、 18501 27 5 31 26.2 334. 求A的特征值及特征向量已知命令窗口中的执行过程： A=-29,6,18; 20 5 12; -8,8,5; V,D=eig(A) %V的列向量为特征向量，D对角线元素为对应特征值V = 0.71297 0.28034 0.27328 -0.60836 -0.78666 0.8725 0.34867 0.55006 0.40505D = -25.317 0 0 0 -10.518 0 0 0 16.835 A*V-V*D %验证，根据定义，近似0则正确ans = 2.1316e-14 1.3767e-14 0 -2.3093e-14 -1.421

7、1e-14 1.7764e-15 1.0658e-14 9.77e-15 4.4409e-155. 解线性方程组下面是一个线性方程组：(1) 求方程的解。(2) 将方程右边向量元素b3改为0.53再求解，并比较b3的变化和解的相对变化。(3) 计算系数矩阵A的条件数并分析结论。命令窗口中的执行过程： format rat; A=1./2:4;3:5;4:6A = 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 1/4 1/5 1/6 format short g; b=0.95;0.67;0.52; b1=0.95;0.67;0.53;%第3个元素细微变化 Ab,Ab1 %两个解列向量对比an

8、s = 1.2 3 0.6 -6.6 0.6 6.6 cond(A)ans = 1353.3%A条件数远离1，矩阵的性能不好。b只做微小的变化，但两个解变化很大。A的条件数1。6. 建立A矩阵，计算sqrtm(A)和sqrt(A)，注意其区别命令窗口中的执行过程： format short g; A=round(rand(3)*10)A = 5 10 1 7 5 3 9 1 8 B=sqrtm(A)B = 1.5736 + 0.89293i 2.5287 - 1.2892i -0.032604 + 0.29296i 1.5419 - 0.56518i 1.6257 + 0.81599i 0.6

9、2237 - 0.18543i 1.9886 - 0.73582i -0.55322 + 1.0624i 2.8381 - 0.24142i abs(A-B*B)10(-10)ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C=sqrt(A)C = 2.2361 3.1623 1 2.6458 2.2361 1.7321 3 1 2.8284 abs(A-C.*C)10(-10)ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0三、实验提示1. 分块矩阵提示设有分块矩阵，其中E、R、O、S分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证。提示1：注意！此处的运算是代数（矩阵）运算，不是

10、数组点运算。用eye, rand, zeros函数，可以用diag函数。第1步，分别求出E, R, O, S；第2步，拼接出A；第3步，计算A2；第4步，拼接；比较。%需要显示结果的，行后不加分号2. 希尔伯特矩阵、帕斯卡矩阵及其行列式的值和条件数提示产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P，且求其行列式的值Hh和Hp以及它们的条件数Th和Tp，判断哪个矩阵性能更好。为什么？提示1：条件数越接近1，矩阵的性能越好。四、教程：第3章 MATLAB矩阵分析与处理3.1 特殊矩阵 p393.1.1 通用的特殊矩阵表 产生通用特殊矩阵的函数及其含义 p39函数名含 义zeros全0矩阵(零矩阵)one

11、s全1矩阵(幺矩阵)eye单位矩阵rand01间均匀分布的随机矩阵randn均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵例3.1 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵 p39 zeros(3) % 1个输入参数ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zeros(3,2) % 2个输入参数ans = 0 0 0 0 0 0 A=1 2 3;4 5 6 %给出一个23阶矩阵AA = 1 2 3 4 5 6 size(A)ans = 2 3 zeros(size(A) %产生与A同型的零矩阵ans = 0 0 0 0 0 0 zeros(2,3)%产生与A同型的零矩阵ans = 0 0

12、0 0 0 0例3.2 建立随机矩阵 p40(1) 在区间20,50内均匀分布的4阶随机矩阵。(2) 均值为0.6、方差为0.1的4阶正态分布随机矩阵。 rand(4) % 01ans = 0.1966 0.3517 0.9172 0.3804 0.2511 0.8308 0.2858 0.5678 0.6160 0.5853 0.7572 0.0759 0.4733 0.5497 0.7537 0.0540 x1=20+(50-20)*rand(4) % 2050x1 = 35.9239 37.0647 24.8655 24.9695 43.3750 34.0817 43.8285 38.0

13、595 48.0203 20.3571 29.3365 27.8891 23.8972 30.1137 35.8560 39.6224 randn(4) %均值为0、方差为1ans = 0.7394 -0.8396 0.1240 -1.2078 1.7119 1.3546 1.4367 2.9080 -0.1941 -1.0722 -1.9609 0.8252 -2.1384 0.9610 -0.1977 1.3790 x2=0.6+sqrt(0.1)*randn(4) %均值0.6、方差0.1x2 = 0.2654 0.5121 0.3396 0.6106 0.4518 0.8218 0.1

14、013 0.1783 0.5138 -0.0488 0.7606 0.9565 0.9474 0.4881 0.6892 0.71073.1.2 用于专门学科的特殊矩阵 p40表 产生专门学科特殊矩阵的函数及其含义 函数名含 义magic(n) 求魔方矩阵vander(V)生成指定向量为V的范得蒙矩阵hilb(n) 生成希尔伯特矩阵invhilb(n)求n阶希尔伯特矩阵的逆toeplitz(x,y)生成托普利兹矩阵toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵compan(p)生成伴随矩阵pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵(1) 魔方矩阵每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。

15、magic(n) 求n阶魔方矩阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。例3.3 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。 M=magic(5)M = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 sum(M,1) %按列累加ans = 65 65 65 65 65 sum(M,2) %按行累加ans = 65 65 65 65 65 M1=100+magic(5)M1 = 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 104

16、 106 113 120 122 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109(2) 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1；倒数第二列为一个指定的向量；其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。vander(V) 生成指定向量为V的范得蒙矩阵。例 A=vander(1,2,3,5) % V为行向量A = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1 B=vander(1,2,3,5) % V为列向量B = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1(3) 希尔伯特矩阵元素hilb(n) 生成n阶希

17、尔伯特矩阵。条件数很差，用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。invhilb(n) 求n阶希尔伯特矩阵的逆。例3.4 求4阶希尔伯特矩阵及逆矩阵。 format rat; %以有理形式输出 H=hilb(4)H = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 H1=invhilb(4)H1 = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800 format short;(4) 托普利

18、兹矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。toeplitz(x,y) 生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x) 用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。 T=toeplitz(1:5,-1:-1:-4)Warning: First element of input column does not match first element of input row. Column wins diagonal conflict. In toeplitz at 25T = 1 -2 -3 -4 2 1 -2 -3 3 2 1

19、 -2 4 3 2 1 5 4 3 2第1列的第1个元素(1)第1行的第1个元素(-1)取前者为T(1,1)(5) 伴随矩阵compan(p) 生成伴随矩阵的函数其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例 求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵。 p=1,0,-7,6; compan(p)ans = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0(6) 帕斯卡(Pascal)矩阵二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡矩阵。pascal(n) 生成一个n阶帕斯卡矩阵。例3.5 求(x+y)5的展开式。 pascal(6

20、)ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。3.2 矩阵结构变换 p43表 矩阵结构变换函数及其含义 函数名含 义diag(A)提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量diag(A,k)提取第k条对角线的元素diag(V)产生一个mm对角矩阵，其主对角线元素为向量V的元素diag(V,k)产生一个nn(n=m+|k|)对角阵，其第k条对角线的元素为向量V的元

21、素triu(A)求矩阵A的上三角阵triu(A,k)求矩阵A的第k条对角线以上的元素tril(A)求矩阵A的下三角阵tril(A,k)求矩阵A的第k条对角线以下的元素rot90(A,k)将矩阵A旋转90的k倍，按逆时针方向fliplr(A)对矩阵A实施左右翻转flipud(A)对矩阵A实施上下翻转3.2.1 对角阵与三角阵1对角阵只有对角线上有非0元素。数量矩阵对角线上的元素相等的对角阵。单位矩阵对角线上的元素为1的对角阵。(1) 提取矩阵的对角线元素设A为mn矩阵。 diag(A) 提取主对角线元素，产生有min(m,n)个元素的列向量。 diag(A,k) 提取第k条对角线的元素。 A=0

22、,1,2; -1,0,1; -2,-1,0A = 0 1 2 -1 0 1 -2 -1 0 diag(A,0)ans = 0 0 0 diag(A,1)ans = 1 1 diag(A,2)ans = 2 diag(A,-1)ans = -1 -1 diag(A,-2)ans = -2(2) 构造对角矩阵V为m个元素的向量。 diag(V) 产生mm对角矩阵，主对角线元素为V。 diag(V,k) 产生nn(n=m+|k|)对角阵，第k条对角线元素为V。（注）例3.6 先建立55矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。 A=ones(5)A = 1 1 1 1 1 1

23、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D=diag(1:5)D = 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 D*Aans = 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 52三角阵 p44三角阵分为上三角阵和下三角阵。 上三角阵 对角线以下的元素全为0。 下三角阵 对角线以上的元素全为0。 (1) 上三角矩阵 triu(A) 求矩阵A的上三角阵。 triu(A,k) 求矩阵A的第k条对角线以上的元素。triu(A,0)功能同triu(A)。 A=

24、9,1,2,3,4; -1,9,1,2,3;. -2,-1,9,1,2; -3,-2,-1,9,1;. -4,-3,-2,-1,9A = 9 1 2 3 4 -1 9 1 2 3 -2 -1 9 1 2 -3 -2 -1 9 1 -4 -3 -2 -1 9 B=triu(A)B = 9 1 2 3 4 0 9 1 2 3 0 0 9 1 2 0 0 0 9 1 0 0 0 0 9 C=triu(A,2)C = 0 0 2 3 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0(2) 下三角矩阵 tril(A) 求矩阵A的下三角阵。 tril(A,k)求矩阵A的第

25、k条对角线以下的元素。tril(A,0)功能同tril(A)。 A=9,1,2,3,4; -1,9,1,2,3;. -2,-1,9,1,2; -3,-2,-1,9,1;. -4,-3,-2,-1,9A = 9 1 2 3 4 -1 9 1 2 3 -2 -1 9 1 2 -3 -2 -1 9 1 -4 -3 -2 -1 9 B=tril(A)B = 9 0 0 0 0 -1 9 0 0 0 -2 -1 9 0 0 -3 -2 -1 9 0 -4 -3 -2 -1 9 C=tril(A,-2)C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 -3 -2 0 0 0 -4 -3

26、 -2 0 03.2.2 矩阵的转置与旋转1矩阵的转置转置运算符是单撇号: 。 A=11,12,13;21,22,23;31,32,33A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 B= AB = 11 21 31 12 22 32 13 23 332矩阵的旋转rot90(A,k) 将矩阵A旋转90的k倍，按逆时针方向。当k为1时可省略。 A=1, 2; 4, 3A = 1 2 4 3 B=rot90(A)B = 2 3 1 4 B1=rot90(A,1)B1 = 2 3 1 4 B2=rot90(A,2)B2 = 3 4 2 1 B0=rot90(A,0)B0 = 1 2 4

27、 3 B_1=rot90(A,-1)B_1 = 4 1 3 23矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换;第二列和倒数第二列调换;，依次类推。%每一行逆序fliplr(A) 对矩阵A实施左右翻转。 A=1,2,3,4; 1,2,3,4; 1,2,3,4; 1,2,3,4A = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 B=fliplr(A)B = 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 C=1:5C = 1 2 3 4 5 fliplr(C) %逆序ans = 5 4 3 2 14矩阵的上下翻转flipud(A) 对矩阵A实施上下翻转。 A=1,1,1,1;2,2,2,2;3,3,3,3;4,4,4,4A = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 B=flipud(A)B = 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 C=(1:5)C = 1 2 3 4 5 flipud(C) %逆序ans = 5 4 3 2 13.3 矩阵求逆与线性方程组求解p463.3.1 矩阵的逆与伪逆表 求矩阵的逆与伪逆函数及其含义 函数名含 义inv(A)