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1、离散数学结构试题集56第5章一.填空题1. 群中有唯一的（ ）。2. 如果群运算是可交换的，则群为（ ）。3. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*yA，则称二元运算*在A上是（ ）。4. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是（ ）。5. 设是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有xy=x+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算在Q上是（ ）。（填写可交互/不可交换）6. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x

2、*y)*z=x*(y*z)，则称二元运算*在A上是（ ）。7. 设是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y，则二元运算在A上是（ ）。（填写可结合/不可结合）8. 设*，是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y) z=（xz）*(yz)，z(x*y)=(zx)*(zy),则称二元运算对于*在A上是（ ）。9. 设*，是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x*(xy)=x, x(x*y)=x,则称二元运算*对于在A上满足（ ）。10. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意

3、的元素x，都有x*x=x，则称二元运算*是（ ）。11. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的（ ）。12. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol*x=x，则称ol为A中关于运算*的（ ）。13. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*erl =x，则称er为A中关于运算*的（ ）。14. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素or，对于A中任意的元素x，都有x*or=x，则称or为A中关于运算*的（

4、 ）。15. 如果对于集合中的二元运算*，存在左零元和右零元，且左零元等于右零元，则零元是（ ）。16. 如果对于集合中的二元运算*，存在左么元和右么元，且左么元等于右么元，则么元是（ ）。17. 设*是定义在集合A上的二元运算，且e是A中关于运算*的么元，如果对于A中的元素x，存在A中的元素y，有y*x=e，则称y为x的（ ）。18. 对于实数域上的乘法元算，每个元素（ ）逆元。（填写一定有/不一定有）19. 对于实数域上的加法运算，（ ）零元。（填写存在/不存在） 20. 对于整数域上的加法运算，（ ）么元。（填写存在/不存在）21. 对于非空集合S上二元运算*，是封闭且可结合的，那么叫做

5、（ ）。22. 正整数上的加法运算（ ）半群。（填写是/不是）23. 实数域上的除法运算（ ）半群。（填写是/不是）24. 整数域上的加法运算（ ）群。（填写是/不是）25. .如果群的运算满足交换率，则这个群叫（ ）。26. 循环群（ ）生成元。(填写必有/不一定有)27. 设f是由到的一个同态，如果f( ),则称f为满同态的。28. 设f是由到的一个同态，如果f( ),则称f为同构的。29. 设f是群到的一个同态映射，如果e是B中的么元，Ker(f)=( )，则称Ker(f)为同态映射f的核。30. 设R是代数系统上的一个等价关系，如果当,R时，蕴含着R，则称R为A上关于的（ ）。二.选择

6、题1. 下面那个性质不是群必有的？（ ） A)运算的封闭性 B)幺元 C)零元 D)运算的交换性2. 设集合A=1,2,10,下面定义的那个二元运算*关于A不封闭？（ ） A)x*y=max(x,y) B)x*y=质数p的个数，使得x=p=y C)x*y=min(x,y) D)x*y=(x+y)mod 10)+13. 是一个半群，如果S是一个有限集，则必有（ ） A)幺元 B)零元 C)等幂元 D)不确定4. 下面那个代数系统表示的范围最大？（ ） A)群 B)半群 C)阿贝尔群 D)独异点5. 同构关系必然是一个（ ） A）等价关系 B)偏序关系 C)同余关系 D)同态关系6. 在自然数集N

7、上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A) a*b=a-b B) a*b=maxa,b C) a*b=a+2b D) a*b=|a-b|7. 同构关系必然是一个（ ） A等价关系 B.偏序关系 C.同余关系 D.相容关系8. 设是群，a,bG,则下列结论不正确的是（ ） A(a*b)-1=b-1*a-1 Ba*x=b有唯一解 Ca*x=a*y,则x=y Da*b=b*a9. 下面那个运算不满足运算的封闭性？（ ） A）自然数上的加法 B）有理数上的乘法 C）1到10之间的模11加法 D）0到9之间的模10加法10. 下面那个不满足结合律？（ ） A)自然数上的加法 B）有理数上的乘法 C）自然数

8、上的max(a,b) D)自然数上的减法11. 对于代数系统，Nk =0,1,k-1，+k是定义在Nk上的模k加法，下面说法不对的是：（ ） A）有零元 B)有么元 C)每个元素都有逆元 D）是半群12. 下面关于半群的说法正确的是（ ） A）必有零元 B）必有么元 C）必然服从交换律 D)必然服从结合律13. 若果为半群，且S是有限集合，则以下说法正确的是（ ） A)必有aS,且a*a=a B) 必有aS,且a*b=b C)必有零元 D）必有零元14. 关于独异点，下列说法正确的是（ ） A)必有零元 B)必有等幂元 C）必有么元 D)必然满足交换律15. 以下说法不正确的是（ ） A)群表

9、示范围比半群小 B)交换群表示范围比半群小 C)阿贝尔群表示范围比群小 D）广群表示的范围比半群小16. 下面关于群的说法不正确的是（ ） A）必有零元 B）必有么元 C）每个必然有逆元 D)必然服从结合律17. 下面那个是群？（ ） A)自然数上的乘法 B)实数域上的乘法 C) 0到9之间的模10加法 D) 0到9之间的模10乘法18. 下面关于群的说法不正确的是（ ） A)对于任a,bG,存在唯一的xG,使得a*x=b B)对于任a,b,cG，若有a*b=a*c,则必有b=c C)任aG，必有唯一的xG,使得a*x=e,e为么元 D) 任aG，必有唯一的xG,使得a*x=x,x为零元19.

10、 下面关于群的说法正确的是（ ） A)没有等幂元 B) 有1个等幂元 C)有2个等幂元 D)和群的阶数有关20. 设为一个群，下面关于G的子群的说法正确的是（ ） A)如果S是G的非空子集且*在S上是封闭的，则就是的子群 B) 如果S是G的非空子集且含有么元，则就是的子群 C) 如果S是G的非空子集，且对于任意S中的连个元素a,b都有a*b-1G,则就是的子群 D) 如果S是G的非空子集，且是半群,则就是的子群21. 下列说法那个是错误的。（ ） A)循环群必定是阿贝尔群 B)循环群必定有等幂元 C)阿贝尔群必定是循环群 D)循环群必定是交换群22. 下列那个说法是正确的？（ ） A)同态一定

11、是同构的 B）同构一定是同态的 C)同态一定是同余的 D)同态一定是等价的23. 如果f：R-R，对于任意的xR,f(x)=5x,则f是从到的一个（ ） A)单一同态 B)满同态 C)双射同态 D)同构24. 含有3个元素的群有（ ）种情形。 A)1 B) 2 C) 3 D)025. .设G是非零乘法群，判断下列哪个f不是G到G的同态映射。（ ） A）f(x)=|x| B)f(x)=-x C)f(x)=x+1 D)f(x)=1/x26. 下面关于群的说法不正确的是：（ ） A）有么元 B）有零元 C）每个元素都有逆元 D）满足结合律27. .下面那个是群。（ ） A）整数域上的加法运算 B）实

12、数域上的乘法运算 C）自然数域上的除法运算 D）整数1到5之间的模6加法运算28. .如果是一个环，下列关于环的说法错误的是（ ）。 A）是阿贝尔群 B）是阿贝尔群 C）运算*对于+是可分配的 D）运算+对于*是可分配的29. 关于独异点说法错误的是（ ）。 A)必有左么元 B)必有右零元 C)必然满足结合律 D)必是含么半群30. 关于阿贝尔群说法错误的是（ ）。 A)必有左么元 B)必有右零元 C)必然满足交换律 D)必是半群三.判断题1. 半群一定是独异点。( )2. 代数系统中有可能有很多个左零元和右零元，它们有可能相等，也有可能不等。( )3. 群中不可能有零元。( )4. 群中的某

13、些元素可能有多个不同的逆元。 （ ）5. 群的运算一定符合交换律。（ ）6. 如果定义在集合A上的*运算既有左零元，又有右零元，那么必有唯一的零元。（ ）7. 循环群必有等幂元。（ ）8. 有等幂元的群一定是有限群。（ ）9. 阿贝尔群运算一定符合交换律。（ ）10. 有限群一定有么元。（ ）11. 含有零元的半群叫独异点。（ ）12. 在群中，出了么元外，可能还还有其他等幂元。（ ）13. 对一个群，它的任意一个非空有限子集B, 如果*在B上封闭，则一定也是群。（ ）14. .循环群一定是阿贝尔群。（ ）15. 同构的一定是同态的。（ ）16. 同态可以诱导一个唯一的等价关系。（ ）17.

14、.f是代数系统到代数系统的同态映射，如果半群，则在f作用下，同态象也是半群。（ ）18. 循环群中必有零元。（ ）19. (*表示乘法)与同构。（ ）20. 定义在自然数集合上的模k加法是一个群。（ ）四.计算题1. 验证二元运算 在实数集 上是否满足交换律和结合律？2. 对于实数集合R，在下面表格中填写“是”或“否”+-*maxmin|x-y|可结合性可交换性有么元有零元3. .设G=1,2.3,4,5,6,G上的二元运算如表所示。问G是循环群吗(写出验证过程)？若是，找出生成元。x1234561123456224613533625144415263553164266543214. 考察代数

15、系统，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？如不是，找出反例。 1) R当且仅当（x0y0）(x0y0) 2) R当且仅当|x-y|105. 考察代数系统，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？如不是，找出反例。 1) R当且仅当（x=y=0）(x0y0) 2) R当且仅当xy五.证明题1. 设A=a，b，A，*为半群，且a*a=b。证明：a*b=b*a 。2. 定义I+上的两个二元运算为： a*b=ab ab=ab a,bI+ 证明：*对是不可分配的。3. 如果是半群，且*是可交换的，称是可交换半群。证明：如果S中有元素a,b，使得a*a=a和b*b=b,则（a*b）*(a*b)=a*b

16、。4. 设是群，且|S|=2n，nI+。证明：在S中至少存在ae，使得a*a=e，其中e为么元。5. 证明：如果f是由到的同态映射，g是由到的同态映射，那么，g。f是由到的同态映射。6. 设f是从群到的同态映射,则f是入射当且仅当Ker(f)=e。其中e是G1中的么元。7. 设是一个独异点，且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是么元，证明是一个阿贝尔群。8. 设是一个代数系统，且对于任意的aA,有ab=a,证明二元运算*对时可分配的。第7章一.填空题1. 把（ ）的图叫做简单图。2. 无向图具有一条欧拉路，当且仅当图是联通的，而且（ ）。3. 把（ ）的图叫做完全图。4. 把（ ）的

17、图叫做连通图。5. 如果一个连通图有m个结点，则它的完全关联矩阵的秩为（ ）。6. 含有平行边的任何一个图叫做（ ）。7. 给定图G,若存在一条路（ ），这条路叫做汉密尔顿路。8. 在一个含有n个节点的图中，度数为奇数节点的个数必为（ ）个。9. 在含有n个节点的完全图中，其边数为（ ）。10. 若图G只有一个连通分支，则G叫作（ ）。11. 无回路的连通图又叫做（ ）。12. 给定一个无孤立节点的图G，若存在一条路，经过图中每边一次仅且一次，则这条路叫做（ ）。13. G是具有n个节点的简单图，如果G中每对节点度数之和大于等于n，则G中存在一条（ ）。14. 设G=是一个无向图，如果能够把G

18、的所有节点和边画在平面上，且使得任何两条边出了端点之外没有其他的交点，就称G为（ ）。15. 还有v个节点，e条边,r个面的连通平面图G,满足欧拉公式（ ）。二.选择题1. 如果一个连通图有m个结点，则它的完全关联矩阵的秩为（ ） A)m B)m+1 C)m-1 D)m/22. 一个有n个节点连通图至少有（ ）条边。 A)n B)n-1 C)n+1 D)(n-1)n/23. 关联同一节点的两条边叫做（ ）。 A）环 B)回路 C)圈 D）邻接边4. 含有平行边的任何一个图叫做（ ）。 A）欧拉图 B）汉米尔顿图 C）连通图 D）多重图5. 在一个含有n个节点的图中，度数为奇数节点的个数必为（

19、）个。 A）2 B）n-1 C）偶数 D）奇数6. 在任何有向图中，所有节点的出度之和等于（ ）。 A)所有节点的入度之和 B）所有节点入度之和的2倍 C）所有节点入度之和的一半 D）没有必然联系7. 在含有n个节点的完全图中，其边数为（ ）。 A)n B)n-1 C)n+1 D)(n-1)n/28. 在含有n个节点的图，它有（ ）个补图。 A)1 B)n C) (n-1)n/2 D)09. .如果两个图是同构的，那么下面那条是错误的.( ) A)节点数相等 B)边数相等 C)度数相同的节点数相等 D)连通的10. 在具有n个节点的图中，如果两个节点之间有路，则必有一条路的长度（ ）。 A)至

20、少为n B)至少为n-1 C)至多为n-1 D)n11. 若图G只有一个连通分支，则G叫作（ ）。 A)连通图 B)强连通图 C）欧拉图 D）平面图12. 含有m个节点的简单图，其边数不会多于（ ）。 A）1 B）m C)m-1 D)m(m-1)/213. 含有n个节点的图，至少生成（ ）棵生成树。 A)1 B)n C) (n-1)n/2 D)014. 连通图必然有（ ）。 A）欧拉路 B)汉米尔顿路 C)欧拉回路 D)通过各节点的路15. 如果一个连通图有m个结点，则它的邻接矩阵的秩为（ ） A)m B)m+1 C)m-1 D)不确定三.判断题1. 在任何图中，度数为偶数的节点必有奇数个。(

21、 )2. 在任何有向图中，所有节点的入度之和等于所有节点的出度之和。（ ）3. 每个图中，边数等于节点度数的两倍。（ ）4. 连通图必有欧拉回路。（ ）5. 有汉米尔顿路的图必有欧拉路。（ ）6. 含有欧拉回路的图中每个节点的度数必为偶数。（ ）7. 含有欧拉回路的图必有汉密尔顿路。（ ）8. 一个图的边连通度一定大于等于其点连通度。（ ）四.计算题1. 画出下图的完全补图。 2. 给一个含有5个节点的自补图。3. 求下图中 1）从A到F所有通路。 2）从A到F的所有迹。 4. 求下图的邻接矩阵，并求出可达性矩阵。 5. 求下图的关联矩阵和邻接矩阵。 6. 1）画一个有一条欧拉路和一条汉米尔顿

22、路的图 2）画一个有欧拉路但没有汉米尔顿路的图。 (要求至少5个节点)7. 1）画一个有一条欧拉路和一条汉米尔顿路的图 2）画一个有汉米尔顿路但没有欧拉路的图。 (要求至少5个节点)五.证明题1. 证明在任何有向完全图中，所有节点的入度的平方和等于所有节点的出度的平方和。2. 若无向图G中恰有两个奇数度的节点，则这两点间必有一条路。3. 若图G=具有汉米尔顿 回路，则对于节点集V的每个非空子集S均有W(G-S)|S|成立。其中W(G-S)是G-S中连通分支数。4. 设G=为具有n个节点的简单图，如果G中的每一对节点度数之和大于等于n,在G中存在一条汉密尔顿回路。5. 简单图的最大度数小于节点数。