复数代数形式的加减运算及其几何意义.docx

1、复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.知识点复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1，z2，z3C，设，分别与复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)相对应，且，不共线加法减法运算法则z1z2(ac)(bd)iz1z2(ac)(bd)i几何意义复数的和z1z2与向量的坐标对应复数的差z1z2与向量的坐标对应运算律交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)思考(1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？(2)若

2、复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2?答案(1)是复数，唯一确定.(2)不能，例如可取z132i，z22i.题型一复数加、减法的运算例1(1)计算(24i)(34i)；(2)计算(34i)(2i)(15i).解(1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.反思与感悟复数的加、减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项.跟踪训练1计算(12i)(23i)(34i)(45i)(20112012i)(20122013i).解方法一原式(123420112012)(234520122013)i100

3、61006i.方法二(12i)(23i)1i，(34i)(45i)1i，(20112012i)(20122013i)1i.将上列1006个式子累加可得原式1006(1i)10061006i.题型二复数加、减法的几何意义例2如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i.求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)对角线所表示的复数及的长度.解(1)因为0(32i)32i，所以所表示的复数为32i.因为，所以所表示的复数为32i.(2)因为，所以所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，所以所表示的复数为(32i)(24i)

4、16i，所以|.反思与感悟复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数.若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d|z1z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.跟踪训练2满足条件|z1i|43i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A.一条直线 B.两条直线C.一个圆 D.一个椭圆答案C解析根据复数减法的几何意义，|z1i|表示复平面内复数z对应的点Z到点(1,1)的距离

5、，而|43i|表示复数43i的模，等于5，故满足|z1i|5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆.题型三复数加、减法的综合应用例3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解方法一设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21，由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，四边形OACB是一个内角为60，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱

6、形的较长的对角线OC的长，|z1z2|.反思与感悟(1)设出复数zxyi(x，yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形.跟踪训练3已知|z1|z2|1，z1z2i，求复数z1，z2及|z1z2|.解由于|z1z2|1，设z1，z2，z1z2对应的

7、向量分别为，则因|1，故A，B，C三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得cosAOC，故AOC60，所以平行四边形OACB为菱形，且BOC，COA都是等边三角形，即AOB120.又与x轴正半轴的夹角为60，故点A在x轴上，即A(1,0).而xB|cos120，yB|sin120，B的坐标为.或方法一|z1z2|.方法二由结论|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)知，|z1z2|22|z1|22|z2|2|z1z2|23，|z1z2|.方法三由余弦定理可得|2|2|22|cos1203，又z1z2，|z1z2|.因对复数加、减法的几何意义理

8、解不到位致误例4在平行四边形ABCD中，A，B，C三个顶点所对应的复数分别为33i，5i，2i，求第四个顶点对应的复数.错解四边形ABCD为平行四边形，故对应的复数为33i(2i)(5i)53i.第四个顶点D对应的复数为53i.错因分析，而不是.正解，.对应的复数为33i2i5i19i.第四个顶点D对应的复数为19i.防范措施可依据复数的几何意义，找出相应A，B，C三点的坐标，然后推测D点的大致位置，再依据平行四边形的性质，并结合向量知识确定点D的坐标.1.若复数z满足zi33i，则z等于()A.0 B.2iC.6 D.62i答案D解析z3i(i3)62i.2.复数ii2在复平面内表示的点在(

9、)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析ii21i，对应的点在第二象限.3.在复平面内，O是原点，表示的复数分别为2i,32i,15i，则表示的复数为()A.28i B.66iC.44i D.42i答案C解析()32i(15i2i)44i.表示的复数为44i.4.若|z1|z1|，则复数z对应的点在()A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限 D.第二象限答案B解析|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上.5.已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a.答案1解析

10、z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、选择题1.复数z12i，z22i，则z1z2等于()A.0 B.iC.i D.i答案C解析z1z2ii.2.若z32i4i，则z等于()A.1i B.13iC.1i D.13i答案B解析z4i(32i)13i.3.复数z13i，z21i，则z1z2等于()A.2 B.22iC.42i D.42i答案C4.设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()A.

11、1i B.2iC.3 D.2i答案D解析由得abi2i.5.如果复数z满足|z2i|z2i|4，那么|zi1|的最小值是()A.1 B.C.2 D.答案A解析设复数2i,2i，(1i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z2i|z2i|4，Z1Z24，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.因此作Z3Z0Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z31.故选A.6.复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,42i，由ABCD按逆时针顺序作ABCD，则|等于()A.5B.C.D.答案B解析如图，设D(x，

12、y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，所以即所以点D对应的复数为z33i，所以(3,3)(1,0)(2,3)，所以|.二、填空题7.若复数z1z234i，z1z252i，则z1.答案4i解析两式相加得2z182i，z14i.8.若|z2|z2|，则|z1|的最小值是.答案1解析由|z2|z2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(2,0)距离相等的点，即虚轴.|z1|表示z对应的点与(1,0)的距离.|z1|min1.9.如果一个复数与它的模的和为5i，那么这个复数是.答案i解析设这个复数为xyi(x，yR)，xyi5i，xyii.三、解答题10.计算：(1)(7i5)(98i)(

13、32i)；(2)(2i).(3)已知z123i，z212i，求z1z2，z1z2.解(1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)(2i)i2iii1i.(3)z1z223i(12i)15i，z1z223i(12i)3i.11.已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点D对应的复数.解方法一设D点对应的复数为xyi(x，yR)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，1)，C(2,1).AC中点为，BD中点为.平行四边形对角线互相平分，即点D对应的复数为35i.方法二设D点对应的复数为xyi(x，y

14、R).则对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，又对应的复数为(2i)(i)22i，由于.(x1)(y3)i22i.即点D对应的复数为35i.12.集合Mz|z1|1，zC，Nz|z1i|z2|，zC，集合PMN.(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值.解(1)由|z1|1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z1i|z2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示.(2)圆的方程为x2y22x0，直线l的方程为yx1.解得A(，)，B(，).|OA|，|OB|.点O到直线l的距离为，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，.集合P中复数模的最大值为，最小值为.