离散型随机变量的数学期望使用.ppt

1、离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望例例:分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)A,B 两人赌技相同两人赌技相同,各出各出赌金赌金100元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜,取得全部取得全部 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?1 1、有、有1212个西瓜，其中有个西瓜，其中有4 4个重个重5kg5kg，3 3个重个重6kg6kg，5 5个重个重7kg7kg，求西瓜的平均质量。，求西瓜的平均质量。解：西瓜的平均质量为解

2、：西瓜的平均质量为1212个西瓜的总质量除以西瓜的总个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，即：个数，即：思考：上式也可以写成：上式也可以写成：由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。2、某人射击、某人射击10次次,所得环数分别是所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？；则所得的平均环数是多少？把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P思考：问题问题1 1：混合后，每：混合后，每1kg1kg糖的平均价格为多少？糖的平均价格为多少？问题问题2 2：若在混合糖果中任取一

3、粒糖果，用随机变量：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量X X表示这表示这颗糖果的单价（元颗糖果的单价（元/kg/kg），写出），写出X X的分布列。的分布列。3 3、某商场要将单价分别为、某商场要将单价分别为1818元元/kg/kg，2424元元/kg/kg，3636元元/kg/kg的的3 3种糖种糖果按果按3 3：2 2：1 1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？362418PX因此因此,A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目,则为则为故有故有,在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A

4、,B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的一、离散型随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平。试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?乙射手乙射手甲射手甲射手解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：YaXb一、离散型随机变量取值的均值二、随机变量数学期望的性质（线性性质）即时训练：1、

5、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)=.2、随机变量的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)=.5.847910P0.3ab0.2E（）=7.5,则a=b=.0.40.1例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p则三、例题讲解两点分布的期望两点分布的期望三、例题讲解变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？X0123P分析：XB（3，0.

6、7）例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？三、例题讲解变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分x的均值是多少？x x01knpx的概率分布如下：xB(n,p)E(X)=np证明：所以若B(n，p)，则E（）np 证明：若B(n，p)，则Enp 2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则E(X)=np结论：1；一般地，如果随机变量X服从 两点分布（1，p)，则E(X)p3，一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从

7、中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .3即时训练：4，随机变量XB（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)=.例例2.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄球，个黄球，从中摸出从中摸出3个球个球.（1）求得到黄球个数）求得到黄球个数的分布列；的分布列；（2）求）求的期望。的期望。一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望例3.假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利

8、10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为X万元，则X的分布列为0.40.6410PXE X=100.6(4)0.4=4.4万元2万元,故应选择在商场外搞促销活动。例例4：一次单元测验由：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4个选个选项项.其中仅有一个选项正确，每题选对得其中仅有一个选项正确，每题选对得5分分.不选或选错不得不选或选错不得分，满分分，满分100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机

9、地选择一个测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值学生乙在这次测验中的成绩的均值.设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1=5X1、Y2=5X2，问题转化为求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服从什么分布？5E(X1)5E(X2)解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则 X1B(20，0.9)，X2B(20，0.25)，EX1200.918，EX2200.255由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的

10、成绩的期望分别是E(5X1)5EX151890，E(5X2)5EX25525小结：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：1）找出随机变量的可能取值；小结：2、求随机变量均值的一般方法：1）利用定义求均值；2）求出分布列3）利用定义（公式）求均值。2）利用线性性质求均值。3）两点分布，二项分布，超几何分布直接用公式求均值。（广东卷（广东卷1717）（本小题满分）（本小题满分1313分）分）随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200200件，经质检，其中有一等件，经质检，其中有一等品品126126件、二等品件、二等品5050件、三等品件、三等品2020件、次品件、次品4 4件已知生件已知生产

11、产1 1件一、二、三等品获得的利润分别为件一、二、三等品获得的利润分别为6 6万元、万元、2 2万元、万元、1 1万元，而万元，而1 1件次品亏损件次品亏损2 2万元设万元设1 1件产品的利润（单位：件产品的利润（单位：万元）为万元）为X X（1 1）求）求X X的分布列；的分布列；（2 2）求）求1 1件产品的平均利润（即件产品的平均利润（即X X的数学期望）；的数学期望）；（3 3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为降为1%1%，一等品率提高为，一等品率提高为70%70%如果此时要求如果此时要求1 1件产品的件产品的平均利润不小于平均

12、利润不小于4.734.73万元，则三等品率最多是多少？万元，则三等品率最多是多少？【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；，,故的分布列为：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，即 ，解得 所以三等品率最多为3%应用概念步骤期望的概念期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。求期望的三个步骤 方法求期望的三种方法1甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格就签约；丙、丁

13、面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响求：，且面试是否合格互不影响求：(1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率；(2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率；(3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2；则：则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)设设X为签约人数为签约人数X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P