考研数学高数线代概率公式大全.docx

1、考研数学高数线代概率公式大全导数公式：全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式(tgx) = sec2 x (ctgx) = -csc2 x (sec x) = sec x tgx(arcsin x) = 11- x21- x2(arccos x) = - 1(csc x) = -csc x ctgx(ax ) = ax ln a(arctgx)= 1 1+ x2(log ax) =1x ln a(arcctgx) = -11+ x2基本积分表：tgxdx = - ln cos x + C ctgxdx = ln sin x + Cdxcos 2 x dx= sec2 xdx = t

2、gx + Csec xdx = ln sec x + tgx + C sin 2 x= csc2 xdx = -ctgx + C csc xdx = ln csc x - ctgx + C dx = 1 arctg x +Csec x tgxdx = sec x + Ccsc x ctgxdx = -csc x + C a2 + x2 adx = 1aln x - a + C axdx =ax+Cln a x2 - a2dxa2 - x22a x + a= 1 ln a + x + C2a a - x shxdx = chx + Cchxdx = shx + C dx = arcsin x +

3、 C dx = ln( x +x2 a 2 ) + Ca2 - x2 ax2 a 22nIn = sin02xdx =cosn0xdx =n -1nIn-2x2 + a2dx = xx2x2 - a22x2 - a2 dx =x2 + a2+ a22- a22a2ln(x +x2 + a2x2 - a2ln x +x) + C+ Ca2 - x2 dx =+ arcsin + Cx2a2 - x22 a三角函数的有理式积分：sin x =2u 1+ u 2， cos x =1- u2，1+ u2u = tg x ，2dx =2du 1+ u2一些初等函数： 两个重要极限：ex - e- x双曲

4、正弦: shx =lim sin x = 12 x0 x双曲余弦: chx =ex + e- xlim(1+ 1 )x = e = 2.718281828459045.双曲正切: thx =2shx =chxex - e- xex + e- xxxarshx = ln( x +archx = ln( x +x2 +1）x2 -1)arthx = 1 ln 1+ x 2 1- x三角函数公式：诱导公式：函数角 Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg27

5、0-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化积公式：sin( ) = sin cos cos sin sin + sin = 2 sin + cos - cos( ) = cos cos sin sin 2 2 tg tg sin - sin = 2 cos+ sin - tg ( ) =1 tg tg ctg ctg 1cos + cos = 2 cos2 + 2cos2 - 2ctg ( ) =ctg ctgcos - cos = 2 sin + sin - 2 2倍角公式：sin 2

6、= 2 sin coscos 2 = 2 cos2 -1 = 1- 2sin 2 = cos2 - sin2 ctg 2 -1sin 3 = 3sin - 4sin3 cos 3 = 4 cos3 - 3cosctg 2 =tg 2 =2ctg 2tgtg 3 =3tg - tg 31- 3tg 21- tg 2半角公式：sin = 21- cos2cos = 21+ cos2tg = 1- cos= 1- cos = sin ctg = 1+ cos= 1+ cos = sin 2 1+ cossin1+ cos2 1- cossin1- cos正弦定理：a =sin Absin B= cs

7、in C= 2R余弦定理： c2 = a2 + b2 - 2abcosCp反三角函数性质： arcsin x =- arccos x2arctgx =- arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv) = C u vn(n) k (n-k ) (k )nk =0= u(n) v + nu(n-1) v + n(n -1) u(n-2) v + + n(n -1) (n - k +1) u(n-k ) v(k ) + + uv(n)2! k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) - f (a) = f ( )(b - a)f (b) - f (a) f ( )柯

8、西中值定理：F (b) -=F (a)F ( )当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds = 1+ y2 dx,其中y = tg平均曲率：K = . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。sy(1+ y2 )3M点的曲率：K = lim = d = .s0 s ds直线：K = 0;半径为a的圆：K = 1 .a定积分的近似计算：b矩形法： f (x) ab梯形法： f (x) ab - a nb - a n( y0 + y1 + + yn-1 )1 2 ( y0 + yn ) + y1 + + yn-1 b抛物线法： f (x) ab

9、- a3n( y0 + yn ) + 2( y2 + y4 + + yn-2 ) + 4( y1 + y3 + + yn-1 )定积分应用相关公式：功：W = F s水压力：F = p A引力：F = k m1m2 , k为引力系数r 21 b函数的平均值：y = b - a f (x)dxa均方根： 1b f 2 (t)dtb - a a空间解析几何和向量代数：(x - x )2 + ( y - y )2 + (z - z )22 12 12 1空间2点的距离：d = M1M 2 =AB向量在轴上的投影：Pr ju AB = cos,是AB与u轴的夹角。12Pr ju (a + a ) =

10、Pr ja + Pr ja 12a b = a b cos = axbx + ayby + azbz ,是一个数量,a 2 + a 2 + a 2 b 2 + b 2 + b 2x y zx y z两向量之间的夹角：cos =axbx + ayby + azbzic = a = aj ka a , c = a .例：线速度：v = w r .b x y zbx by bzb sin ax ay az 向量的混合积：abc = (a b ) c = bx bycx cybz = a b c cos ,为锐角时cz代表平行六面体的体积。平面的方程：0 0 0 0 0 0 01、点法式：A(x -

11、x ) + B( y - y ) + C(z - z ) = 0，其中n = A, B,C, M (x , y , z )2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 03 x y z、截距世方程： + + = 1Ax0 + By0 + Cz0 + DA2 + B2 + C 2a b c平面外任意一点到该平面的距离：d =x = x0 + mtx - x0 y - y0z - z0 空间直线的方程： =m n= p = t,其中s = m, n, p;参数方程： y = y0 + nt0二次曲面：x21、椭球面： +a2x2y z 22+ =b2 c2 1y 2 z = z+ pt2、抛

12、物面： +2 p 2q3、双曲面：= z（,p, q同号）xy2 2单叶双曲面： +a2 b2xy2 2双叶双曲面： -a2 b2- z 2c2+ z 2c2= 1=（1 马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz = z dx + z dy du = u dx + u dy + u dz x y x y z全微分的近似计算：z dz = f x (x, y)x + f y (x, y)y多元复合函数的求导法：z = f u(t),v(t)dz = z u + z v dt u t v tz = f u(x, y),v(x, y)z =z u + z v x当u = u(x, y)，v = v(

13、x, y)时，u xv xdu = u dx + u dy dv = v dx + v dy x y x y隐函数的求导公式： 隐函数F (x, y) = 0，dy = - Fx ，dx Fyd 2 ydx2= (- Fx ) x Fy y(- Fx ) dy Fy dx隐函数F (x, y, z) = 0， z = - Fx ， z = - Fy x Fz y FzF (x, y,u,v) = 0(F ,G)Fu Fv隐函数方程组：G(x, y,u,v) = 0J = (u,v) =Gu GvFuGuFvGvu = - 1 (F ,G) v = - 1 (F ,G) x J(x,v)x J(

14、u, x)u = - 1 (F ,G) v = - 1 (F ,G) y J( y,v)y J(u, y)微分法在几何上的应用： x = (t)空间曲线 y = (t)在点M (x , y , z )x - x0= y - y0= z - z0 z = (t)0 0 0处的切线方程： (t0 ) (t0 ) (t0 )在点M处的法平面方程： (t0 )(x - x0 ) + (t0 )( y - y0 ) + (t0 )(z - z0 ) = 0yF (x, y, z) = 0 FyFz FzFx Fx Fy若空间曲线方程为：G(x, y, z)= 0,则切向量T = G,Gz GzG , G

15、 xxGy曲面F (x, y, z) = 0上一点M (x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量：n = F (x , y , z ), F (x , y , z), F (x , y , z )x 0 0 0y 0 0 0z 0 0 02、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x - x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )( y - y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z - z0 ) = 03、过此点的法线方程：x - x0= y - y0= z - z0方向导数与梯度：Fx (x0 , y0 , z0 )Fy (x0 , y0

16、, z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为 f = f cos + f sin： l x y其中为x轴到方向l的转角。函数z = f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：grad f (x, y) = f i + f j f x y 它与方向导数的关系是： = gradlf (x, y) e，其中e = cos i + sin j，为l方向上的单位向量。 f 是grad f (x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设fx (x0 , y0 ) = f y (x0 , y0 ) = 0，令：f xx (

17、x0 , y0 ) = A,f xy (x0 , y0 ) = B,f yy (x0 , y0 ) = CAC - B2 0 A 0,(x , y )为极小值则： AC - B2 0)的引力：F = Fx , Fy , Fz ，其中Fx = f (x, y)xd，3Fy = f (x, y) yd，3Fz = - fa (x, y)xd 3D (x2 + y 2 + a2 ) 2柱面坐标和球面坐标：x = r cos柱面坐标： y = r sin , D (x2 + y 2 + a2 ) 2f (x, y, z)dxdydz = F (r, , z)rdrddz,D (x2 + y 2 + a

18、2 ) 2 z = z 其中：F (r, , z) = f (r cos , r sin , z)x = r sin cos 2球面坐标： y = r sin sin ， dv = rd r sin d dr = rsindrdd z = r cos2 r ( , ) f (x, y, z)dxdydz = F (r, )r 2 sindrdd = d d F (r, )r 2 sindr 0 0 0重心：x = 1 xdv, y = 1 ydv, z = 1 zdv， 其中M = x = dvM M M 转动惯量：I x = ( y 2 + z 2 )dv，I y = (x2 + z 2 )

19、dv，I z = (x2 + y 2 )dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： x = (t)设f (x, y)在L上连续，L的参数方程为： ,( t ),则： y = (t) x = t f (x, y)ds = f (t), (t) 2 (t) + 2 (t)dt ( ) 特殊情况：L y = (t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x = (t)设L的参数方程为 y =，则：(t) P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P (t), (t) (t) + Q (t), (t) (t)dtL 两类曲线积分之间的关系： Pdx + Qdy = (P cos + Q c

20、os )ds，其中和分别为L LL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式： ( Q - P )dxdy = Pdx + Qdy格林公式： ( Q - P )dxdy = Pdx + QdyD x y L D x y L当P = - y,Q = x Q - P = 2时，得到D的面积：A = dxdy = 1 xdy - ydx，即：x yD 2 L平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域；2、P(x, y)，Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数，且Q P 。注意奇点，如(0,0)，应 x y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在Q P 时，Pdx + Qd

21、y才是二元函数u(x, y)的全微分，其中： xu(x, y) =y( x, y ) P(x, y)dx + Q(x, y)dy，通常设x0 = y0 = 0。( x0 , y0 )曲面积分： x y对面积的曲面积分：f (x, y, z)ds =Dxyf x, y, z(x, y)1+ z 2 (x, y) + z 2 (x, y)dxdy对坐标的曲面积分： P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy，其中： R(x, y, z)dxdy = Rx, y, z(x, y)dxdy，取曲面的上侧时取正号； Dxy P(x, y, z)dyd

22、z = Px( y, z), y, zdydz，取曲面的前侧时取正号； Dyz Q(x, y, z)dzdx = Qx, y(z, x), zdzdx，取曲面的右侧时取正号。 Dzx两类曲面积分之间的关系： Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (P cos + Q cos + R cos )ds 高斯公式：( P + Q + R )dv = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (P cos + Q cos + R cos )ds x y z 高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：div = P + Q + R ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div 0,则为消失.

23、x y z通量： A n ds = A ds = (P cos + Q cos + R cos )ds，n 因此，高斯公式又可写成： divA dv = A ds n 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： ( R - Q )dydz + ( P - R )dzdx + ( Q - P )dxdy = Pdx + Qdy + Rdz y zz xdydzdzdxxdxdyycoscos cos上式左端又可写成： xP y zQ RR= xPQ P y zQ RR Q P空间曲线积分与路径无关的条件： =y，z z= x ， x= yix Pkz Rj旋度：rotA = yQ向量场A 沿有向闭曲线的环流量： Pdx + Qdy + Rdz = A t ds