定积分的概念与性质_精品文档.ppt

1、第五章第五章第五章第五章 定积分定积分定积分定积分 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的一种认识问题、分析问题、解决问题的definite integral不定积分侧重于基本积分法的训练不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.1第五章第五章 定积分定积分基本要求基本要求 理解定积分的定义和性质理解定积分的定义和性质,微积分基微积分基本定理本定理,了解反常积分的概念了解反常积分的概念,掌握用定积掌握用定积分表达一些几何量与物理量分表达一些几何

2、量与物理量(如面积、体如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法积、弧长、功、引力等）的方法.2第一节第一节 定积分定积分的概念与性质的概念与性质定积分问题举例定积分问题举例定积分的定义定积分的定义关于函数的可积性关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义定积分的几何意义和物理意义小结小结 思考题思考题 作业作业 定定 积积 分分定积分的性质定积分的性质*definite integral31.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题定积分概念也是由大量的实际问题求由连续曲线求由连续曲线一、一、定积分问题举例定积分问题举例抽象出抽象出来的来的,现举两例现举两例.定积分的概念与性

3、质定积分的概念与性质4用用矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积（五个小矩形）（五个小矩形）（十个小矩形）（十个小矩形）思想思想以直代曲以直代曲显然显然,小矩形越多小矩形越多,矩形总面积越接近曲边矩形总面积越接近曲边定积分的概念与性质定积分的概念与性质近似取代曲边梯形面积近似取代曲边梯形面积 5 采取下列四个步骤来求面积采取下列四个步骤来求面积A.(1)分割分割(2)取近似取近似定积分的概念与性质定积分的概念与性质长度为长度为为高的小矩形为高的小矩形,面积近似代替面积近似代替6(3)求和求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积面积A的近似值的近似值.(4)求极限求极

4、限为了得到为了得到A的精确值的精确值,取极限取极限,形的面积形的面积:分割无限加细分割无限加细,定积分的概念与性质定积分的概念与性质极限值就是曲边梯极限值就是曲边梯72.求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程思想思想以不变代变以不变代变设某设某物体作直线运动物体作直线运动,已知速度已知速度是时间间隔是时间间隔的一个连续函数的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路把整段时间分割成若干小段把整段时间分割成若干小段,每小段上每小段上速度看作不变速度看作不变,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加,便便得到路程的近似值得到路程的近似值,最后通过对时

5、间的无限最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值定积分的概念与性质定积分的概念与性质8(1)分割分割(3)求和求和(4)取极限取极限路程的精确值路程的精确值(2)取近似取近似定积分的概念与性质定积分的概念与性质表示在时间区间表示在时间区间内走过的路程内走过的路程.某时刻的速度某时刻的速度9二、定积分的定义二、定积分的定义设设函数函数f(x)在在a,b上有上有界界,在在a,b中任意插入中任意插入定义定义若干个分点若干个分点把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间,各小区间长度依次为各小区间长度依次为在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点作乘积作乘积并并作和作和记

6、记如果不论对如果不论对(1)(2)(3)(4)上两例共同点上两例共同点:2)方法一样方法一样;1)量具有可加性量具有可加性,3)结果形式一样结果形式一样.定积分的概念与性质定积分的概念与性质10被被积积函函数数被被积积表表达达式式记为记为积分和积分和怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间上点上点怎样的取法怎样的取法,只要当只要当和和S总趋于确定的总趋于确定的极限极限I,称这个极限称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上上的的定定积分积分.定积分的概念与性质定积分的概念与性质积分下限积分下限积分上限积分上限积积分分变变量量a,b积分区间积分区间11(2)的结构和上、下限的

7、结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理进行推理.定积分是一个数定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分数值只依赖于被积函数定积分的概念与性质定积分的概念与性质有关有关;注注无关无关.而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关.12曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1.几何意义几何意义定积分的概念与性质定积分的概念与性质三、定积分的几何意义和物理意义三、定积分的几何意义和物理意义13几何意义几何意义定积分的概念与性质定积分的概念与性质各部分面积的代数和各部分面积的代数和.取负号取负号.它是介于它

8、是介于x轴、函数轴、函数 f(x)的图形及两条的图形及两条直线直线 x=a,x=b之间的之间的在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号;在在 x 轴下方的面积轴下方的面积14例例解解2.物理意义物理意义t=b所经过的路程所经过的路程 s.oxy作直线运动的物体从时刻作直线运动的物体从时刻 t=a 到时刻到时刻定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分定积分表示以变速表示以变速15定理定理1 1定理定理2 2或或记为记为 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)四、四、关于函数的可积性关于函数的可积性可积可积.且只有有限个且只有有限个可积可积.当函数当函数的定积分存在时的定积分存

9、在时,可积可积.黎曼可积黎曼可积,第一类间第一类间断点断点,充充分分条条件件定积分的概念与性质定积分的概念与性质16例1下面举例按定义计算定积分.求函数上的定积分.定积分的概念与性质定积分的概念与性质17定积分的概念与性质定积分的概念与性质讨论定积分的近似计算问题讨论定积分的近似计算问题.存在存在.n等分等分,用分点用分点分成分成n个长度相等个长度相等的小区间的小区间,长度长度取取有有每个小区间每个小区间对任一确定的自然数对任一确定的自然数18定积分的概念与性质定积分的概念与性质取取如取如取矩形法矩形法公式公式矩形法的矩形法的几何意义几何意义19对定积分的对定积分的补充规定补充规定说明说明定积

10、分的概念与性质定积分的概念与性质五、定积分的性质五、定积分的性质在下面的性质中在下面的性质中,假定定积分都存在假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小20证证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质1 1定积分的概念与性质定积分的概念与性质21证证性质性质2 2性质性质1和性质和性质2称为称为定积分的概念与性质定积分的概念与性质线性性质线性性质.22 补充补充例例 (定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)则则性质性质3 3定积分的概念与性质定积分的概念与性质假设假设的相对位置如何的相对位置如何,上式总

11、成立上式总成立.不论不论23证证性质性质4 4性质性质5 5定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果在区间如果在区间则则24解解 令令于是于是比较积分值比较积分值和和的大小的大小.例例2定积分的概念与性质定积分的概念与性质25性质性质5 5的推论的推论1 1证证定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果在区间如果在区间则则于是于是性质性质5 5 如果在区间如果在区间则则26比较下列积分的大小.(1)(2)(3)(4)(5)定积分的概念与性质定积分的概念与性质27证证说明说明性质性质5 5的推论的推论2 2定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质5 5 如果在区间如果在区间则则可积性是显然的可

12、积性是显然的.由由推论推论1 128证证(此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质6 6分别是函数分别是函数最大值及最小值最大值及最小值.则则定积分的概念与性质定积分的概念与性质29定积分的概念与性质定积分的概念与性质例例3.试证:证证:设则在上,有即故即30证证由闭区间上连续函数的介值定理由闭区间上连续函数的介值定理:性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果函数如果函数在闭区间在闭区间连续连续,则在积分区间则在积分区间至少存在一点至少存在一点 使下式成立使下式成立:积分中值公式积分中值公式至少存在一点至少存在一

13、点 使使即即31定理用途定理用途 注注定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）如果函数如果函数在闭区间在闭区间连续连续,则在积分区间则在积分区间至少存在一点至少存在一点 使下式成立使下式成立:1.无论从几何上无论从几何上,还是从物理上还是从物理上,都容易理解都容易理解平均值公式平均值公式求求连续变量的连续变量的平均值平均值要用到要用到.如何去掉积分号来表示积分值如何去掉积分号来表示积分值.2.事实上32积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释至少存在一点至少存在一点 在区间在区间使得以区间使得以区间为底边为底边,以以曲线曲线为曲边的曲边梯形的为曲

14、边的曲边梯形的面积面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为的一个矩形的面积的一个矩形的面积.定积分的概念与性质定积分的概念与性质33例5若函数上连续,且证明:定积分的概念与性质定积分的概念与性质34例例6.用定积分表示下列极限:解解:定积分的概念与性质定积分的概念与性质353.定积分的性质定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用注意估值性质、积分中值定理的应用)4.典型问题典型问题(1)估计积分值估计积分值;(2)不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小.六、小结六、小结1.定积分的实质定积分的实质:特殊和式的极限特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变以直代曲、以匀代变.四步曲四步曲:分割、分割、取近似、取近似、求和、求和、取极限取极限.思想思想方法方法定积分的概念与性质定积分的概念与性质36思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:解解:或定积分的概念与性质定积分的概念与性质37思考思考:如何用定积分表示下述极限 提示提示:极限为 0!定积分的概念与性质定积分的概念与性质382.P235 题33.P236 题13(2),(4)题13(4)解解:设则即定积分的概念与性质定积分的概念与性质39作业作业 习题习题5-1(2345-1(234页页)4.(3)(4)10.(3)12.(1)定积分的概念与性质定积分的概念与性质40