因式定理与余式定理_精品文档.ppt

1、因式定理与余式定理因式定理与余式定理 f(x)的含义。的含义。f（x）代表）代表对括号内的自括号内的自变量的某种运量的某种运算法算法则的表达式。的表达式。例：若例：若f（x）=3x-2，则则f（a）=3a-2，f（3）=33-2=7.多项式除以多项式多项式除以多项式例例:若若f（x）是一个多项式，）是一个多项式，a是一个常数是一个常数 则则f（x）除以）除以x-a的余式为的余式为f（a）余式定理余式定理例：若例：若f（x）（x-a）=p（x）r 则则r=f（a）证明：证明：f（x）=（x-a）p（x）+r 则则f（a）=（a-a）p（a）+r 即即f（a）=r1.多项式多项式f（x）除以）除以

2、x-1，x-2所得的余数分别所得的余数分别为为3和和5，求，求f（x）除以（）除以（x-1）（x-2）所得）所得的余式的余式.练习:多多项式式f(x)除以除以x-1,x-2,x-3所得的余数所得的余数分分别为1,2,3,试求求f(x)除以除以(x-1)(x-2)(x-3)所得所得的余式的余式.因式定理因式定理如果如果x-a是是f（x）的因式）的因式,即即f（x）能）能够被被(x-a)整除整除,则f(a)=0 反之亦然反之亦然.证明明:f(x)(x-a)=p(x)f(x)=(x-a)p(x)f(a)=(a-a)p(a)=0例例:求解求解 的有理根的有理根.若若x=a时时f(x)=0,即即f(a)

3、=0,则称则称a为多项式为多项式f(x)的的根根.试通过整除分析法给出寻找关于试通过整除分析法给出寻找关于x的整系的整系数多项式数多项式的有理根的方法的有理根的方法.(这是个非常重要的这是个非常重要的方法方法,也是在因式分解中是寻找多项式也是在因式分解中是寻找多项式一次因式的方法一次因式的方法)练习练习:求解求解 的有理根的有理根.思考题思考题:已知关于已知关于x的三次多项式的三次多项式f(x)除以除以 时时,余式是余式是2x-5;除以除以 时时,余式是余式是-3x+4,求这个三次多项式求这个三次多项式.已知已知 除以整系数多项除以整系数多项式式g（x）所得商式及余式均为）所得商式及余式均为h（x），试），试求求g（x）和）和h（x），其中），其中h（x）不是常数。）不是常数。