傅里叶级数.ppt

1、 傅里叶级数傅里叶级数 泰勒级数的展开是基底函数取泰勒级数的展开是基底函数取1,x,x2,x3,.而一个函数按照傅里叶级数展开时，其基底函而一个函数按照傅里叶级数展开时，其基底函数取为数取为1,cosx,cos2x,cos3x,.,sinx,sin2x,sin3x,.并且与泰勒级数展开不同的是，傅里叶级数中并且与泰勒级数展开不同的是，傅里叶级数中任意两个不同的基底函数在任意两个不同的基底函数在0,2上是正交的：上是正交的：一一 周期函数的傅里叶级数周期函数的傅里叶级数1 傅里叶级数傅里叶级数 一般我们将傅里叶级数表示为：一般我们将傅里叶级数表示为：其中的其中的a0,an,bn 是展开系数。是展

2、开系数。傅里叶级数傅里叶级数 现在我们将一个周期为现在我们将一个周期为2的函数的函数f(x)按照傅里叶级数按照傅里叶级数的形式展开，并求其中的展开系数的形式展开，并求其中的展开系数a0,an,bn：我们首先将函数我们首先将函数f(x)在在0,2范围内积分范围内积分马上我们得到：马上我们得到：傅里叶级数傅里叶级数 为了计算为了计算an，我们将我们将函数函数f(x)乘以乘以cosmx并在并在0,2范围内积分，得到以下：范围内积分，得到以下：傅里叶级数傅里叶级数 这里，我们给出了一个周期为这里，我们给出了一个周期为2的函数的函数f(x)的的傅里叶级数展开形式！傅里叶级数展开形式！傅里叶级数傅里叶级数

3、 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 n 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 二二 半幅傅里叶级数半幅傅里叶级数我们实际会碰到很多定义在有限区间我们实际会碰到很多定义在有限区间0,L上的上的任意函数任意函数(x),因为它不具有周期因为它不具有周期性，所以依据上节的结果我们无法对其进行傅性，所以依据上节的结果我们无法对其进行傅里叶级数展开。里叶级数展开。事实上，我们本节就将引入事实上，我们本节就将引入半幅傅里叶级数半幅傅里叶级数(half-range Fourier serise)处理此类问题处理此类问题 傅里叶级数傅里叶级数 如果函数如果函数(x)在在0,

4、L上是分段光滑的，则其上是分段光滑的，则其有正弦函数展开式有正弦函数展开式：下面我们尝试推导展开系数下面我们尝试推导展开系数Cn,之前我们先计算下面几个积分：之前我们先计算下面几个积分：傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 下面计算各展开系数：下面计算各展开系数：傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 三三 傅里叶积分傅里叶积分以上我们讨论了周期函数与有限区间的半幅傅里叶级数，以上我们讨论了周期函数与有限区间的半幅傅里叶级数，那么对于一个定义在那么对于一个定义在 区间的非周期函数，下面区间的非周期函数，下面我们讨论怎么对其进行傅里叶展开。我们讨论怎么对其进行傅里叶展开。傅里叶级数扩展到连续变化的情况，即傅里叶级数扩展到连续变化的情况，即傅里叶积分傅里叶积分。傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 f(x)的傅里叶积分！的傅里叶积分！傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数傅里叶级数