二维随机变量函数的分布.ppt

1、仅对仅对2种特殊的情形加以讨论种特殊的情形加以讨论如何确定随机变量如何确定随机变量函数函数Z=g(X,Y)的概率分布的概率分布呢？呢？已知二维随机变量已知二维随机变量（X，Y）的概率分布，的概率分布，3.4.1 Z=X+Y 的概率分布的概率分布 例例1 已知已知(X,Y)的联合分布见右表，的联合分布见右表，求求Z=X+Y 的概率分布的概率分布;解解 由由(X,Y)的分布可得的分布可得:1/8 0 3/8 2/8 2/8 0-1 2 0 1 3XY(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)(2,1)(2,3)X+Y-102235pZ=X+Y 的分布为的分布为 Z=X+Y-123P设

2、随机变量设随机变量(X、Y)的联合分布律为的联合分布律为 X/Y123410.10.050.150.120.10.150.1030.150.100求求的分布律。的分布律。课课堂堂练练习习(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)P0.10.050.150.10.10.150.100.150.100W=X+Y234534564567W=X+Y2345p0.10.05+0.1=0.150.15+0.15+0.15=0.450.1+0.1+0.1=0.3(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)

3、(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)P0.10.050.150.10.10.150.100.150.100W=X+Y234534564567已知已知(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度 f(x,y)，求求Z=X+Y 的的分布函数分布函数及及概率密度概率密度。x+y=z改变积分次序改变积分次序由对称性可得由对称性可得如果如果（X，Y）的联合分布密度函数为的联合分布密度函数为f(x,y)，则则Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 或或 例题讲解例题讲解例例1：设二维随机变量设二维随机变量X与与Y相互独立相互独立，其概率密度，其概率密度分别为分别为求随机变量

4、求随机变量Z=XY的分布函数的分布函数FZ(z)。1 0 1f(x,y)=2y1 0 1 2 f(x,y)=2yy=z-xy=z-xy=z-xy=z-xz00z11z22z1 0 1f(x,y)=2yf(x,y)=0y=z-x1 0 1Zy=z-xf(x,y)=2y10 1 2Zy=z-xf(x,y)=2y0110Zy=z-x22求：随机变量求：随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度fz(z）解：解：例例2.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立，概率密度分别为，概率密度分别为0 1 xZ10 1 xZ1(1)当当 z 0时，时，(2)当当0 z 1 时，时，0 1 xZ10 1 xZ1

5、(3)当当1 z 时，时，某种商品一周的需求量是一个随机变量，某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为其密度函数为设各周的需求量是相互独立的，求两周需求量的密度函数。设各周的需求量是相互独立的，求两周需求量的密度函数。设设T1,T2分别表示第一周、第二周需求量，分别表示第一周、第二周需求量，解：解：两周需求量为两周需求量为T=T1+T2T1,T2是相互独立的是相互独立的0 t1t0 t1t0 t1t由分部积分法由分部积分法故两周需求量故两周需求量T 的密度函数为：的密度函数为：若若XN(1,12),YN(2,22)，且且X、Y 相互独立，相互独立，则有则有 重要结论重要结论例：例：设两

6、个相互独立的随机变量设两个相互独立的随机变量X和和Y分别分别服从正态分布服从正态分布N(1,3)和和N(0,1),则则Z=X+YPX+Y13.4.2 M=maxX,Y与与 N=minX,Y的分布的分布设随机变量设随机变量(X、Y)的联合分布律为的联合分布律为 X/Y123410.10.050.150.120.10.150.1030.150.100求求的分布律。的分布律。离离散散型型(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)P0.10.050.150.10.10.150.100.150.100U=max(X,

7、Y)123422343334U=max(X,Y)p(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)P0.10.050.150.10.10.150.100.150.100U=max(X,Y)12342234333412340.10.05+0.1+0.15=0.30.15+0.1+0.15+0.1=0.50.1V=min(X,Y)12p(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)P0.10.050.150.10.10.150.100

8、.150.100V=min(X,Y)X/Y123410.10.050.150.120.10.150.1030.150.1001111122212330.15+0.1+0.1=0.350.1+0.05+0.15+0.1+0.1+0.15=0.65若若X与与Y相互独立，则相互独立，则的分布函数的分布函数若若X与与Y相互独立，则相互独立，则的分布函数的分布函数若若X与与Y独立同分布，则独立同分布，则例题讲解例题讲解例例1：设两个相互独立的随机变量设两个相互独立的随机变量X和和Y分别分别服从正态分布服从正态分布N(1,3)和和N(0,1),设设M=maxX,Y,N=minX,Y,则则Fmax(1)Fm

9、in(1)应用应用.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似服从正态分布服从正态分布 N(1600,202)，随即地选取，随即地选取2只只。求其中求其中没有一只寿命没有一只寿命小于小于1620的概率。的概率。设设Xi是第是第i只电子管的寿命，只电子管的寿命，i=1,2解解其中没有一只寿命小于其中没有一只寿命小于1620的概率为：的概率为：Z=minX1,X21620的概率，即的概率，即xiN(1600,202)其中没有一只寿命小于其中没有一只寿命小于1620的概率为：的概率为：练习：练习：设随机变量设随机变量X1、X2均服从参数为均服从参数为1的的指数分布指数分布，且相互独立，求且相互独立，求N=minX1,X2所服从的分布。所服从的分布。，