线性规划问题教学提纲.docx

1、线性规划问题教学提纲线性规划问题数学模型实验报告投资规划问题姓名 田璐璐 学号 1112123067 专业及班级 统计1102 1某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1） 政府及代办机构的证券至少要购进400万元；（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府1

2、34.4E市政524.5问题：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？一、 摘要 本文针对证券投资问题，采用线性规划模型，用Lingo软件求解得到了不同限制条件下的最佳投资方案。对于问题一，该经理有1000万元资金，进行投资。即在一定的约束条件下，建立线性规划模型，使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。可得A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资

3、金为736.3636万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。对于问题二，涉及到借款的问题，收益就会因借款而减小。同样运用线性规划的方法，对整体求最优解。在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资策略在不改变。证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元。在此情况下，获益最大为29.424万元 对于问题三，在问题一的基础上，进行灵敏度分析，当变量在一定范围里变动时，不改变投资计划。用

4、LINGO求解，若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，他应该改变投资策略，A证券的投资资金为240万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为810万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为50万元，在此情况下，获益最大为30.07万元，应借款100万元。关键词：线性规划、LINGO、灵敏度分析二、 问题的复述某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，为了实现证券投资的有效组合（降低风险和收益最大化），投资者要有正确的投资决策。可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

5、（1）政府及代办机构的证券至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5建立模型：（1）若该经理有1000万元资金，投资建立模型使收益最大化（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？三、 问题的分析该问题属于

6、线性规划问题，即在一定约束条件下建立线性规划模型，找到最优的解，使利润最大化。通过建立模型，使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。四、 问题的假设（1） 假设该经理所购证券都只是简单地一次投资，不进行再投资。（2） 假设题中所涉及的收益率和利率都与年限无关。（3） 假设所有证券的信用等级在15年内不发生任何变化。（4） 假设所有证券的到期税前收益在15年内不发生任何变化。（5） 假设所有证券的到期税前税率在15年内不发生任何变化。五、 符号说明x1 投资证券A的金额x2 投资证券B的金额x3 投资证券C的金额x4 投资证券D的金额x5 投资证券E的金额y 以2.75%的利率借到的资金金额w

7、 所有投资的证券总收益六、 建立数学模型及求解模型一建立模型：目标函数：设所有投资的证券总收益为W万元,约束条件：政府及代办机构证券购买量： 平均信用等级：不超过1.4，即： 平均到期年限：不超过5年，即： 总资金： 模型求解： Max S.t. 用LINGO求解，可得A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为736.3636万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。模型二建立模型： 目标函数：设所有投资的证券总收益为W万元,约束条件政府及代办机构证券购买量： 平均信用等级：不超过1.4

8、，即： 平均到期年限：不超过5年，即： 总资金： 模型求解Max S.t. 用LINGO求解，若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，他应该改变投资策略，A证券的投资资金为240万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为810万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为50万元，在此情况下，获益最大为30.07万元，应借款100万元。模型三建立模型：根据模型一的灵敏度分析（附录）得，证券A的税前收益増加0.35%，减少1.3%，原投资计划不改变。而证券A的税前收益率增加为4.5%，只增加了0.2%，所以投资不改变。证券c的税后收益率增加1.733333%，减少0.056%，

9、原投资计划不改变。即税前可增加3.4%，可减少0.112%。若证券C的税前收益减少为4.8%，即减少了0.2%，要改变原投资计划。目标函数：设所有投资的证券总收益为W万元,约束条件：政府及代办机构证券购买量： 平均信用等级：不超过1.4，即： 平均到期年限：不超过5年，即： 总资金： 模型求解模型求解： Max S.t. 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资策略在不改变。证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元。在此情况下，获益最大为29.4

10、24万元七、 模型的评价优点：（1）建立的模型可在一定约束条件下，给出最优解。（2）利用lingo软件进行的灵敏度分析，能给人直观的解。（3）所建立的数学模型在一定条件下符合实际情况。缺点：（1）没有考虑投资年限问题，在实际情况中不太适用。（2）这里假设是简单投资，没有考虑再投资问题，不符合实际情况。八、 模型的改进使用数据计算结果，进行分析与检验：此模型只是简单的线性规划模型，有效地表示出了各个量之间的关系，更以全局最优解为参照，详细地算出了各个约束的影子价格。没有将更多的变量引入，未能将收益与现实更紧密的联系结合起来，在计算投资金额时，有一定的误差。此模型因本身局限，并不能以点盖面地显示出

11、其他有效信息，运用不广。如果该题能给出投资年限对收益率的影响，我们将会找到更适用的投资方案。九、 参考文献1赵静 但琦等 数学建模与数学实验（第三版） 高等教育出版社2007年6月2姜启源等,数学模型（第四版），高等教育出版社，2010年8月十附录1、LINGO求解模型一代码：max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5st x1+x2+x3+x4+x54002x1+2x2+x3+x4+5x514009x1+15x2+4x3+3x4+2x5=400x1+x2+x3+x4+x5-y=10000.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5=04

12、x1+10x2-x3-2x4-3x5=0y100end Global optimal solution found. Objective value: 30.07000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 240.0000 0.000000 X2 0.000000 0.3018182E-01 X3 810.0000 0.000000 X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 50.00000 0.000000 Y 100.0000 0.000000

13、 Row Slack or Surplus Dual Price 1 30.07000 1.000000 2 410.0000 0.000000 3 0.000000 0.2983636E-01 4 0.000000 0.6181818E-02 5 0.000000 0.2363636E-02 6 0.000000 0.2336364E-02Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase D

14、ecrease X1 0.4300000E-01 0.3500000E-02 0.1070833E-01 X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03 X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01 Y -0.2750000E-01 INFINITY 0.2336364E-02 Righthand Side Ranges Row Current All

15、owable Allowable RHS Increase Decrease 2 400.0000 410.0000 INFINITY 3 1000.000 INFINITY 556.7901 4 0.0 1288.571 220.0000 5 0.0 1100.000 1320.000 6 100.0000 INFINITY 100.00003、LINGO求解模型三代码：max 0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5st x1+x2+x3+x4+x54002x1+2x2+x3+x4+5x514009x1+15x2+4x3+3x4+2x55000endG

16、lobal optimal solution found. Objective value: 29.42400 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost X1 336.0000 0.000000 X2 0.000000 0.3064000E-01 X3 0.000000 0.4400000E-03 X4 648.0000 0.000000 X5 16.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 29.42400 1.000

17、000 2 0.000000 0.8320000E-02 3 248.0000 0.000000 4 0.000000 0.6360000E-02 5 0.000000 0.2440000E-02Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.4300000E-01 0.1600000E-01 0.2750000E-02 X2 0.2700000E-01 0.30

18、64000E-01 INFINITY X3 0.2400000E-01 0.4400000E-03 INFINITY X4 0.2200000E-01 0.2033333E-01 0.5000000E-03 X5 0.4500000E-01 0.1100000E-01 0.2650000E-01 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 1000.000 133.3333 151.2195 3 400.0000 248.0000 INFINITY 4 1400.000 885.7143 66.66667 5 5000.000 400.0000 2100.000