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1、北航毕业论文模板单位代码 10006 学 号 分类号 密 级 无 毕业设计(译文)题目学院名称专业名称学生姓名指导教师2021年6月Diagnostics of rational expectation financial bubbles with stochastic mean-reverting termination times原文 L.Lin and D.Sornette 翻译 周扬阳摘要我们以异质的套利者和导向自我强化的瞬时随机超指数动态价格，提出两种理性预期瞬时金融泡沫模型。作为非线性反响的结果，我们发现泡沫的终止是以在潜在特定时间结束的价格泡沫形成过程中一个有限时间的奇点作为特征

2、的，随之带来的是一个均值回复的平稳动态。由于理性人预期的异质性，在这些套利者决定最优退出时间，使泡沫的存活几近直接到达它的理论结束时间这个过程上，存在着同步性问题。这两个模型中详细的分析性结论提出了非线性转化，从而使我们能对泡沫在金融时间序列中的存在性进行新的检测。在防止描绘价格动态的随机微分方程参数估计的麻烦的同时，所得到的操作步骤能让我们诊断正在形成的泡沫，以及预测它们的终结时点。这一检测已经在四个金融市场上进行过，美国标普500指数从1980年2月1日至2021年10月31日，美国纳斯达克综合指数从1980年1月1日至2021年7月31日，香港恒生指数从1986年12月1日至2021年1

3、1月30日，还有美国道琼斯产业平均指数从1920年1月3日至1931年12月31日。我们的结果显示了应用正反响机制的随机模型产生预先的泡沫警报的可行性。1.介绍金融市场上的泡沫与崩溃因其对世界大局部人口的生存与生活的影响，具有重大的全球意义。然而，专家与权威人士都排队在事后声称，特定的泡沫在事后看来都是明显的，实时的泡沫开展特征常常是不明显的，或者是对立的观点所形成的杂音。在此，我们提出两种金融泡沫模型，从中，我们提出相关的运行步骤去检测正在形成的泡沫以及预报它的终止时间。 这一测试已经在四个金融市场上进行过，美国标普500指数从1980年2月1日至2021年10月31日，美国纳斯达克综合指数

4、从1980年1月1日至2021年7月31日，香港恒生指数从1986年12月1日至2021年11月30日，还有美国道琼斯产业平均指数从1920年1月3日至1931年12月31日，证明了在崩溃与接连的市场低谷之前产生预先泡沫警报的可行性。经验结论支持了金融泡沫是从价格上的正反响所得来，并导致超指数瞬变的假设。从目前的模型技术状况和泡沫检测的角度来看，这一结果是可喜的。其实并不存在一个既包含不同可能机制，又结合经济学原理的无套利或有限套利，均衡或仅有瞬时偏差的准均衡，理性束缚真正令人满意的泡沫理论。文字上仍然对泡沫的定义不确定的一局部原因是，指数增长的价格总被主张为某些根本经济因素的结果。这与在没有

5、有力的锚去理解这些观测的价格时，根本价格不能直接被观察到的问题是有关的。另一个根本的难题是超出均衡范围，到均衡之外的设定中去。有两个条件通常被作为价格会偏离根本价值的必要条件。首先，市场中有一定程度的非理性存在。就是说，投资者对股票的需求一定是被某些非根本价值所引领的，比方对未来的过度自信。第二，即使一个市场中有这样的投资者，通常的理论是理性投资者会把价格拉回根本价值。为了防止这样的情况发生，需要在套利上有一些限制。Shleifer和Vishny(1997)提出了一个对套利中的多种限制的描述。为尊重股权市场，显然对套利最重要的阻碍是卖空方面的限制。大约70%的共同基金曾明确表示在股票与外汇条约

6、表格N-SAR中不允许卖空。79%的股权共同基金没有用过任何形式的衍生品，这更进一步表示了基金并不采取合成短仓。这些数字指出，广泛的大多数基金从未采取短仓。因此，又有争论说泡沫之所以开展是因为价格主要反映的是仍留在市场内的乐观的看法，并不是已经退出市场的悲观交易者，以及如有时机就会减仓的投资者的消极看法。一系列重要的理论显示，由于不同理念和卖空限制的结合效应，资产价格可能有大幅的变动。根本思路认为其根源在原始资本资产定价模型理论上，尤其是Lintner1969的基于异质投资信念的投资者的资产价格模型。Lintner和很多他的后人表示，普遍膨胀的价格能够出现。在这些假设信念与卖空限制不同的模型里

7、，资产价格是在能反映对收益的不同信念这个程度的均衡时决定的。但是卖空限制迫使悲观的投资者退出市场，只留下乐观的的投资者，因此增加了资产价格的膨胀程度。然而，当卖空限制不再束缚投资者时，价格回落。这为1998-2000年产生的互联网泡沫破裂提供了一种可能的解释。许多这类模型将资产的公开可交易股数与推测的泡沫形成的倾向之间的关系考虑在内。目前，基于不同理念、受到卖空限制投资者的理论模型被认为是能解释互联网泡沫破裂最可信的模型之一。“噪声交易者的角色在运用正反响交易的模型中被强调。例如，DeLong et al.1990引进了一种市场泡沫和崩溃的模型，其中运用了这一思路中噪声交易者在泡沫开展中的角色

8、，作为一种解释为什么资产价格在很长的一段时间内会偏离根本价值的可能的机制。他们的研究被一些基于一群人对趋势的追逐会产生股价的动力的理论而建立的行为模型所延续。一个影响卓著的关于动力策略的经验证据从Jegadeesh和Titman的研究中得来，证实了股市收益在中间的局部显示出动力行为。买进在过去表现良好的股票、卖出在过去表现不佳的股票这种策略在3-12个月的持有期内产生了巨大的正收益。De Bondt和Thaler1985记录过股市收益在长期中的反转。在过去表现不佳的股票将在接下来的3-5年历比过去表现良好的股票展示出更好的成绩。这些发现对市场是半强式有效的观点构成了严峻的挑战。明白是什么机制让

9、套利者在他们发觉的时候马上移出一个泡沫是很重要的。Abreu和Brunnermeier2003已经提出，因为一些理性交易者没能到达同步性，泡沫持续增长，所以落后的人选择任其开展，而非在泡沫中套利。Abreu和Brunnermeier2003考虑了一个市场，套利者面对同步性的风险，导致了套利时机的延迟使用。理性的套利者应该知道，市场最终会崩塌。他们知道泡沫会在足够量的理性交易者卖出之后崩溃。然而，理性套利者在市场时机上、必然的对卖出同步性的不确定的分散性会让泡沫继续增长，推迟市场崩盘的到来。在这个构架中，泡沫在短期和中期都会持续，因为卖者都面临着同步性的风险，也就是说，对这种改变的时机不确定。所

10、以，那些认为自己还没打算进行反向交易的套利者发现，继续在这个增长的泡沫中停留一会儿是最优的选择。Bhattacharya和Yu2021总结了一份关于以上概念的最新进展和研究工作的摘要，特别提出了两个主要的问题：一是泡沫形成与崩溃的原因，二是事前诊断出泡沫的可能性。许多金融经济学家认可正反响，尤其是羊群效应是泡沫增长的关键因素。羊群效应可以从很多种机制中产生，比方采用噪声交易策略的理性投资者预期DeLong et al.1990，有时导致极端的庞氏骗局的对竞争的基金经理施加的代理本钱和金钱鼓励Dass,Massa和Patgiri,2021，在不确定性下的理性模仿Roehner和Sornette，

11、2000与社会模仿等。这里提出的泡沫模型是建立在这一得到广泛接受的羊群效应概念上的。让我们参考Kaizoji和Sornette(2021)来做一个更进一步的审视，作为这一简短调查的补充。本文以于Blanchard-Watson构建的理性泡沫预期体系Blanchard 1979；Blanchard and Watson 1982中形成的Johansen-Ledoit-Sornette(JLS)模型(Johansen,Sornette和Ledoit 1999,；Johansen,Ledoit和Sornette 2002)为根源。JLS模型将噪声交易者控制碰撞危险率的羊群行为重现与理性交易者在资产价

12、格上的套利反响结合在一起。JLS模型的暗示之一即是，正反响连同噪声交易者的羊群行为造成价格短暂的超指数加速。这种超指数形式理论上会在一个终结时间奇点FTS到达顶点，并指示着泡沫的终结与最可能发生崩盘的时间。其他模型更加深入地探索了泡沫可能是正反响的结果这一假设，以及泡沫的动态轨迹源自根本价值投资和更多技术分析的相互作用。前者可以包含在非线性扩展标准对数价格波动的Black-Scholes模型中Corcos et al.2002;Ide and Sornette 2002;Sornette and Andersen 2002;Andersen and Sornette 2004。后者需要更加重要

13、的扩展去解释分析与决策的惯性之以及正向动力反响和负向价值投资反响Sornette和Ide 2002之间的竞争。与我们现有的构架相近，Sornette和Andersen2002，Andersen和Sornette2004提出了可以被分析解决的非线性普遍化的Black-Scholes过程。通过高价格导致的财富效应，使行为投资者采取更加激进的投资这一观点，非线性反响如同对未来增长的价格影响。 本文提出了两种有关短暂泡沫的模型，泡沫的终止在某个潜在的临界时间点发生，遵循均值回复的恒定过程并拥有固定的无条件均值。这些模型提供了避开利用随机微分方程描述价格进行参数估计决定潜在临界时间的一种直接的方式。在我

14、们的模型中，理性套利者能检测泡沫，但是并不能准确地知道它何时会结束。这些投资者被假设为对潜在临界时间有理性预期，但并不一定知道具体的价格过程，这对投资者的理性形成了一个相对弱的条件。不仅如此，我们还假设理性套利者对潜在临界时间持有无偏见错误的一致的预期。尽管理性套利者知道，泡沫在它的临界时间会破灭，他们并不能对这一时间，以及对其他套利者的卖出时间做出决定性的预测，因为他们对其他人持有的关于主导这一随机临界时间的信念知之甚少。我们的理性投资者不断地根据他们对泡沫开展的观察，更新对泡沫终结可能时间的认识。他们基于对市场泡沫风险的主观感知和对泡沫动态的了解，最大化预期收益来退出市场。由于这些理性代理

15、人的期望各不同，套利者之间存在同步性的问题，导致泡沫的存在几乎持续到它的理论结束时间。从这方面看，我们的模型让人想起Abreu和Brunnermeier2003的研究，因为泡沫的弹性是源自套利者在最优退出时点上的异质性所导致的，决定退出泡沫时间的同步性的缺失。我们的模型具有量化可测的优点，他们提供了检测真实时间序列中泡沫的具体工具，以下是我们的证明。 第一个模型将在具有随机临界时间的价格动态里得到一个终结时间奇点，会在第二局部说明。这个模型概括了Sornette和Andersen的模型以使均值回复动态的泡沫结束。第三局部展示了第二个模型，将在随机临界时间的动力价格动态里得出终结时间奇点。这两个

16、模型都解释了由一个独特的指数m来计量的正反响的重要性。大于12的值m描述了第一2的泡沫模型中的泡沫。这两个模型能以详细的解析形式精确求解。这些结果也提供了非线性的变换，以便我们对泡沫在金融时间序列中的存在进行新实验。这两种实验，对应每种泡沫模型，分别在章节4.1和4.2中应用于四个金融市场：美国标普500指数从1980年2月1日至2021年10月31日，美国纳斯达克综合指数从1980年1月1日至2021年7月31日，香港恒生指数从1986年12月1日至2021年11月30日，还有美国道琼斯产业平均指数从1920年1月3日至1931年12月31日。第五局部为结论。4.两种模型的实证检验4.1 第

17、一个模型的警报生成 现有日收盘价格的金融时间序列，我们的目标是设计步骤，用第二局部中的模型来检测泡沫是否存在。假设我们用N个交易日的窗口时间，以日为步长从金融时间序列的起始到结束进行滑动。窗口的数量与金融时间序列的交易日总数减去N再除以是相等的。对每一个窗口时间，目标都是决定第二局部中的模型是否检测出正在生成的泡沫，然后与实际的后续的泡沫破灭的实现进行比对，这一步我们看作是验证。 对每一个于ti结束的观测窗口，我们将窗口中的价格时间序列变形为临界时间序列，即倒置表达式1.5为： , (4.1)临界时间序列是定义在窗口i，结束于的。如果模型是准确的，没有随机的局部产生，也没有估计错误，是常量，且

18、等于式1.6中定义的。如果出现了强烈的随机成分，我们通过式1.7来估计作为的算术平均值。 (4.2) 接下来我们把表示为： (4.3) 式4.1从非恒定的可能破裂的价格过程p(t)变换到没有误设的恒定的时间序列是我们泡沫检测方法的关键元素，它防止了Granger和Newbold1974和Phillips1986记录的由直接校准价格或对数价格序列引起的问题。 读者一定都注意到了变换式4.1需要两个未知参数和来确定泡沫过程1.5的情况。我们提出运用以下的运算过程来校准这两个参数：实施禁忌搜索Cvijomic和Klinowski 1995。注意，泡沫模型的关键原料是潜在临界时间的均值回复性。这要求我

19、们对重新建立的时间序列进行单位根检验，使其没有线性趋势，并决定最优的和值，使错误地拒绝时间序列的非恒定性的错误率最小。 接下来要进行的有两步。首先，我们在和这两个参数空间里搜索，选择10组最正确如果存在，使相关时间序列中没有线性趋势的可能性最大。这一步骤是对下式中的实施t检验统计： , (4.4) t检验统计量的绝对值越小，接受均值回复性存在的概率越大。接着，对从第一步中选出的参数组，我们选择t检验统计量最小的一组来对相关的时间序列进行Dickey-Fuller单位根检验无间断。我们以在这一选出的时间序列上进行方差稳定性试验来证实它在结构意义上的恒定性，也作为这一步骤的补充。这是用对时间序列的

20、第二局部与整体间方差异质性进行90%显著水平下的F检验来实现的。如果我们不能拒绝方差异质性假设，第二步所获得的最优参数组就应该被视作校准后的模型参数，在为以泡沫的潜在终止为特征的，式4.3给出的恒定时间序列提供最接近的近似值的意义上，能最好地适应数据。从看来，方程1中的指数m可以由方程6的最初两个公式决定。记住，m大于1越多，泡沫在接近临界时点时最终的增长就越快。 对于给定的窗口i，对泡沫存在性检测中标志的出现和警报生成当：时间序列与最优参数组能在95%显著水平上拒绝单位根假设，大于0，m大于1价格存在正反响，临界时间距离小于750天，即估计的泡沫破灭临界时间不会太远。当条件i不能满足时，临界

21、时间距离是伪临界时间距离，即使它很小。表格1-4描述了由在四个主要股票指数上应用这一方法得到的所有的泡沫警报，美国标普500指数从1980年2月1日至2021年10月31日，美国纳斯达克综合指数从1980年1月1日至2021年7月31日，香港恒生指数从1986年12月1日至2021年11月30日，还有美国道琼斯产业平均指数从1920年1月3日至1931年12月31日。警报是一条垂直的线，位于符合三条标准的相应窗口中的最后一天处。我们通过提供三种警报水平来改良这个检测，相应地，Sc,i 750, Sc,i 500和 Sc,i 250：估计的泡沫破灭时间越近，泡沫超指数膨胀的证据就越明显。另一个迹

22、象是，警报的集群现象。如果一个泡沫确实是在开展，它应该能被几个连续的窗口重复检测到。 我们的泡沫检测手段是新的。因此，将它应用于由的没有泡沫但又其他主要形式特征的标杆过程金融时间序列是有指导意义的。这提供了有关对某种标杆的错误警报率泡沫检测的有用信息。因此，我们生成了1000个日数据组成的从1985年1月3日至1987年9月30日的标普500指数GARCH(1，1)时间序列。在这1000个标杆时间序列中，我们仅仅找到43个能满足我们认为能引发Sc,i 750的泡沫警报的标准的序列。这表示，表2中泡沫在“黑色星期五破灭犯第一类错误的概率小于5%。其他条件不变，在1995年4月28日至1998年4月16日这一时段，我们在1000个中仅找到22个能满足Sc,i 250的序列，再一次说明了警报在1998年拉响犯错误的概率小于5%。