中考代数综合第4讲二次函数图象与一次函数图象交点问题.docx

1、中考代数综合第4讲二次函数图象与一次函数图象交点问题2020 年中考代数综合第 4 讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题【案例赏析】1. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y+2xa+1 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于A， B 两点（点 A 在点 B 左侧），且点 A 的横坐标为1（1） 求 a 的值；（2） 设抛物线的顶点 P 关于原点的对称点为 P，求点 P的坐标；（3） 将抛物线在 A，B 两点之间的部分（包括 A，B 两点），先向下平移 3 个单位，再向左平移 m（m0）个单位，平移后的图象记为图象 G，若图象 G 与直线 PP无交点，求m 的取值范围2. 抛物线 y1m

2、x2+（m3）x3（m0）与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的左侧， 与 y 轴交于点 C，OBOC（1） 求这条抛物线的表达式；（2） 将抛物线 y1 向左平移 n（n0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部分为P，若点 C 在直线 y23x+t 上，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时，求 n 的取值范围3. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（3m+1）x+30（1） 求证：该方程有两个实数根；（2） 如果抛物线 ymx2+（3m+1）x+3 与 x 轴交于 A、B 两个整数点（点 A 在点 B 左侧），且 m 为正整数，求此

3、抛物线的表达式；（3） 在（2）的条件下，抛物线 ymx2+（3m+1）x+3 与 y 轴交于点 C，点 B 关于 y 轴的对称点为 D，设此抛物线在3x之间的部分为图象 G，如果图象 G 向右平移 n（n0）个单位长度后与直线 CD 有公共点，求 n 的取值范围【专项突破】4已知关于 x 的方程 mx2（3m1）x+2m20（1） 求证：无论 m 取任何实数时，方程总有实数根；（2） 若关于 x 的二次方程 ymx2（3m1）x+2m20 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3） 在直角坐标系 xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线 yx+b与（2）中的函数图象只有

4、两个交点时，求 b 的取值范围5. 已知关于 x 一元二次方程 x22（k+1）x+k22k30 有两个不相等的实数根（1） 求 k 取值范围；（2） 当 k 最小的整数时，求抛物线 yx22（k+1）x+k22k3 的顶点坐标以及它与 x轴的交点坐标；（3） 将（2）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 yx+m 有三个不同公共点时 m 值6. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2x2+mx+n 经过点 A（1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为4（1） 求抛物线的表达式及 a 的值

5、；（2） 设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为点 D，点 P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点）如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点 P 纵坐标 t 的取值范围7. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22mx+m4（m0）的顶点为 A，与 x 轴交于 B，C 两点（点 B 在点 C 左侧），与 y 轴交于点 D（1） 求点 A 的坐标；（2） 若 BC4，求抛物线的解析式；将抛物线在 C，D 之间的部分记为图象 G（包含 C，D 两点）若过点 A 的直线 ykx+b（k0）与图象 G 有两个交点，结合

6、函数的图象，求 k 的取值范围8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点（1） 求抛物线的表达式；（2） 抛物线 yx2+bx+c 在第一象限内的部分记为图象 G，如果过点 P（3，4）的直线 ymx+n（m0）与图象 G 有唯一公共点，请结合图象，求 n 的取值范围9. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），对称轴与 x 轴交于点（3，0），且 AB4（1） 求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标；（2） 将抛物线 C1 平移，得到的新抛物线 C2 的顶点为

7、（0，1），抛物线 C1 的对称轴与两条抛物线 C1，C2 围成的封闭图形为 M直线 l：ykx+m（k0）经过点 B若直线 l 与图形 M 有公共点，求 k 的取值范围【参考答案】1. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y+2xa+1 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于A， B 两点（点 A 在点 B 左侧），且点 A 的横坐标为1（1） 求 a 的值；（2） 设抛物线的顶点 P 关于原点的对称点为 P，求点 P的坐标；（3） 将抛物线在 A，B 两点之间的部分（包括 A，B 两点），先向下平移 3 个单位，再向左平移 m（m0）个单位，平移后的图象记为图象 G，若图象 G 与直线

8、PP无交点，求m 的取值范围【分析】（1）把 A（1，0）代入抛物线解析式，列出关于 a 的一元一次方程，通过解该方程求得 a 的值；（2） 根据（1）中抛物线解析式求得顶点 P 的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点 P的坐标；（3） 由点 P、P的坐标求得直线 PP的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题【解答】解：（1）A（1，0）在抛物线 上， ，解得 a2（2） 抛物线表达式为 yx2+2x+3抛物线 yx2+2x+3 的顶点 P 的坐标为（1，4）点 P 关于原点的对称点为 P，P的坐标为（1，4）（3） 直线 PP的表达式为 y4x，图象向下平移 3

9、 个单位后，A的坐标为（1，3），B的坐标为（3，3），若图象 G 与直线 PP无交点，则 B要左移到 M 及左边，令 y3 代入 PP，则，M 的坐标为， ，【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征此题中的点 A 的坐标是隐含在题中的一个已知条件2. 抛物线 y1mx2+（m3）x3（m0）与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的左侧， 与 y 轴交于点 C，OBOC（1） 求这条抛物线的表达式；（2） 将抛物线 y1 向左平移 n（n0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部分为P，若点 C 在直线 y23x+

10、t 上，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时，求 n 的取值范围【分析】（1）由抛物线的解析式易求点 C 的坐标，进而可求出点 B 的坐标，把点 B 的坐标代入抛物线的解析式可求出 m 的值，则抛物线的解析式也可求出；（2）由点 C 在直线 y23x+t 上，可知 t3，若 y1 向左平移 n 个单位后，则表达式为：y3（x1+n）24，若 y2 向下平移 n 个单位后，则表达式为：y43x3n，要使平移后直线与 P 有公共点，则当 x1n，y3y4，进而可求出 n 的取值范围【解答】解：（1）抛物线与 y 轴交于点 C，C（0，3）抛物线与 x 轴交于 A、B

11、两点，OBOC，B（3，0）或 B（3，0）点 A 在点 B 的左侧，m0，抛物线经过点 B（3，0）09m+3（m3）3m1抛物线的表达式为 y1x22x3；（2）由（1）可知：y1x22x3（x1）24，点 C 在直线 y23x+t 上，t3，y23x3，y1 向左平移 n 个单位后，则表达式为：y3（x1+n）24， 则当 x1n 时，y 随 x 增大而增大，y2 向下平移 n 个单位后，则表达式为：y43x3n， 要使平移后直线与 P 有公共点，则当 x1n，y3y4，即（1n1+n）243（1n）3n， 解得：n1【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴

12、的交点问题以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键3. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（3m+1）x+30（1） 求证：该方程有两个实数根；（2） 如果抛物线 ymx2+（3m+1）x+3 与 x 轴交于 A、B 两个整数点（点 A 在点 B 左侧），且 m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3） 在（2）的条件下，抛物线 ymx2+（3m+1）x+3 与 y 轴交于点 C，点 B 关于 y 轴的对称点为 D，设此抛物线在3x之间的部分为图象 G，如果图象 G 向右平移 n（n0）个单位长度后与直线 CD 有公共点，求 n 的取值范围【分析】（1）先

13、求出根的判别式，判断的取值范围，即可得证；（2） 根据求根公式表示出两根，由题意，求出 m 的值，可得抛物线的解析式；（3） 点求出点 A，B，C，D 的坐标，根据待定系数法求出直线 CD 的解析式，设平移后，点 A，E 的对应点分别为 A（3+n，0），E（+n，），根据点在直线上，求出取值范围即可【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：（3m+1）24m3（3m1）2，（3m1）20，0，原方程有两个实数根；（2）解：令 y0，那么 mx2+（3m+1）x+30，解得：x13，x2 ，抛物线与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 m 为正整数，m1，抛物线的解析式为：yx2+4x+3；（3

14、）如图，当 x0 时，y3，C（0，3），当 y0 时，x13，x21， 又点 A 在点 B 的左侧，A（3，0），B（1，0），点 D 与点 B 关于 y 轴对称，D（1，0），设直线 CD 的解析式为：ykx+b， ，解得： ，直线 CD 的表达式为：y3x+3，又当 x时，y ，点 E（，），平移后，点 A，E 的对应点分别为 A（3+n，0），E（+n，），当直线 y3x+3 经过点 A（3+n，0）时，得：3（3+n）+30，解得：n4，当直线 y3x+3 经过点 E（+n，），时，得：3（+n）+3，解得：n ，当抛物线与直线相切情况，此时 nn 的取值范围是 n 【点评】本题主要

15、考查一元二次方程的解法，抛物线与 x 轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与 x 轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键4已知关于 x 的方程 mx2（3m1）x+2m20（1） 求证：无论 m 取任何实数时，方程总有实数根；（2） 若关于 x 的二次方程 ymx2（3m1）x+2m20 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3） 在直角坐标系 xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线 yx+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求 b 的取值范围【分析】（1）本题中，二次项系数 m 的值不确定，分为 m0，m0 两种情况，分别证明方程有实数根

16、（2） 抛物线经过原点，c0，列出方程即可解决（3） 列出方程组，有两个交点，0，即可求出 b 的取值范围【解答】解：（1）分两种情况讨论当 m0 时，方程为 x20，x2m0 时，方程有实数根当 m0 时，则一元二次方程的根的判别式（3m1）24m（2m2）9m26m+18m2+8mm2+2m+1（m+1）20，m0 时，方程有实数根故无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根综合可知，m 取任何实数，方程 mx2（3m1）x+2m20 恒有实数根；（2）抛物线 ymx2（3m1）x+2m2 经过原点，2m20，m1，抛物线解析式为 yx22x（3）函数图象如图所示，由 消去 y 得到 x23x

17、b0，两个函数图象有两个交点，O，9+4b0，b 时直线 yx+b 与（2）中的函数图象只有两个交点【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系， 讨论一次函数与二次函数图象交点的情况，记住两个函数图象有两个交点，说明方程组有两组解，利用判别式解决问题，属于中考常考题型5. 已知关于 x 一元二次方程 x22（k+1）x+k22k30 有两个不相等的实数根（1） 求 k 取值范围；（2） 当 k 最小的整数时，求抛物线 yx22（k+1）x+k22k3 的顶点坐标以及它与 x轴的交点坐标；（3） 将（2）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴

18、上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 yx+m 有三个不同公共点时 m 值【分析】（1）根据一元二次方程 x22（k+1）x+k22k30 有两个不相等的实数根， 可知根的判别式0，即可求出 k 的取值范围；（2）根据 k 的取值范围可得当 k0 时，为 k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标；（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有 3 个交点，可以有两种情况：直线经过原二次函数与 x 轴的交点 A（即左边的交点），可将 A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出 m 的值；原二次函数图象 x 轴以下部分翻折后，所得部

19、分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与 x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于 x 的一元二次方程，那么该方程的判别式0，根据这一条件可确定 m 的取值【解答】解：（1）由题意，得4（k+1）24（k22k3）16k+160，k1，k 的取值范围为 k1；（2） k1，且 k 取最小的整数，k0yx22x3（x1）24，则抛物线的顶点坐标为（1，4），yx22x3 的图象与 x 轴相交，0x22x3，解得：x1 或 3，抛

20、物线与 x 轴相交于 A（1，0），B（3，0）；（3） 翻折后所得新图象如图所示平移直线 yx+m 知：直线位于 l1 和 l2 时，它与新图象有三个不同的公共点当直线位于 l1 时，此时 l1 过点 A（1，0），01+m，即 m1当直线位于 l2 时，此时 l2 与函数 yx2+2x+3 的图象有一个公共点，方程 x+mx2+2x+3，即 x2x3+m0 有两个相等实根，14（m3）0，即 m当 m时，x1x2 满足1x3， 由知 m1 或 m【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大6. 在平面

21、直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2x2+mx+n 经过点 A（1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为4（1） 求抛物线的表达式及 a 的值；（2） 设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为点 D，点 P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点）如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点 P 纵坐标 t 的取值范围【分析】（1）根据点 A、B 的坐标可以得到对称轴方程为 x1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，4），则易求该抛物线的解析式；（2）通过图象可以看出点 B 纵坐标 t 的取值范围【解答】解：（1）抛物线

22、 y2x2+mx+n 过点 A（1，a ），B（3，a），抛物线的对称轴 x1抛物线最低点的纵坐标为4，抛物线的顶点是（1，4）抛物线的表达式是 y2（x1）24， 即 y2x24x2把 A（1，a ）代入抛物线表达式，求出 a4；（2）抛物线顶点 C（1，4）关于 y 轴的对称点为点 D，D（1，4）求出直线 CD 的表达式为 y4求出直线 BD 的表达式为 y2x2，当 x1 时，y0 所以4t0【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握7. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22mx+m4（m0）的顶点

23、为 A，与 x 轴交于 B，C 两点（点 B 在点 C 左侧），与 y 轴交于点 D（1） 求点 A 的坐标；（2） 若 BC4，求抛物线的解析式；将抛物线在 C，D 之间的部分记为图象 G（包含 C，D 两点）若过点 A 的直线 ykx+b（k0）与图象 G 有两个交点，结合函数的图象，求 k 的取值范围【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到 A 点坐标；（2）已知 BC4，由（1）可知抛物线对称轴为 x1，所以可知 B 点坐标，将其代入抛物线方程可求得 m 的值，于是得到抛物线解析式；由 m1 即可得到 B（1，0），C（3，0），再求出 D（0，3），画出抛物线，通过画图可得当 k0

24、时，直线 ykx+b 过 A、C 时，k 最大；当 k0，直线 ykx+b 过 A、D 时，k 最大，然后分别求出两直线解析式即可得到 k 的范围【解答】解：（1）ymx22mx+m4m（x1）24，所以抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4）；（2）BC4，抛物线的对称轴为 x1，点 B 在点 C 左侧，点 B 坐标为（1，0），点 C 坐标为（3，0），将 B（1，0）代入 ym（x1）24，得：04m4，解得 m1所以抛物线的解析式为 y（x1）24x22x3；B（1，0），C（3，0），当 x0 时，yx22x33，则 D（0，3），如图，当直线 ykx+b 过 A、C 时，直线解析式为

25、y2x6； 当直线 ykx+b 过 A、D 时，直线解析式为 yx3，所以若过点 A 的直线 ykx+b（k0）与图象 G 有两个交点，k 的取值范围为 0k2 或1k0【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点（1） 求抛物线的表达式；（2） 抛物线 yx2+bx+c 在第一象限内的部分记为图象 G，如果过点 P（3，4）的直线 y

26、mx+n（m0）与图象 G 有唯一公共点，请结合图象，求 n 的取值范围【分析】（1）将点 A、B 坐标代入二次函数解析式即可求得；（2）如图，先求出直线 PB 解析式从而知其与 y 轴的交点 E，由图象知过点 P 的直线与 y 轴交点在 C、E（含点 C，不含点 E）之间时，与图象 G 有唯一公共点，据此解答可得【解答】解：（1）将 A、B 两点的坐标代入抛物线的表达式中，得： ，解得抛物线的表达式为 yx2+2x+3（2）设抛物线 yx2+2x+3 与 y 轴交于点 C，则点 C 的坐标为（0，3）抛物线 yx2+2x+3 的顶点坐标为（1，4）设直线 PB 解析式为 ykx+b，将点 P

27、（3，4）、B（3，0）代入，得：，直线 PB 的表达式为，与 y 轴交于点 E（0，2）直线 PD 平行于 x 轴，与 y 轴交于点 F（0，4）由图象可知，当过点 P 的直线与 y 轴交点在 C、E（含点 C，不含点 E）之间时，与图象G 有唯一公共点，另外，直线 PD 与图象 G 也有唯一公共点， 但此时 m0n 的取值范围是 2n3【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象 G 有唯一公共点时，与 y 轴交点的范围是解题的关键，9. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A，

28、B（点 A 在点 B 的左侧），对称轴与 x 轴交于点（3，0），且 AB4（1） 求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标；（2） 将抛物线 C1 平移，得到的新抛物线 C2 的顶点为（0，1），抛物线 C1 的对称轴与两条抛物线 C1，C2 围成的封闭图形为 M直线 l：ykx+m（k0）经过点 B若直线 l 与图形 M 有公共点，求 k 的取值范围【分析】（1）利用对称轴与 x 轴交于点（3，0），AB4 可得 A，B 坐标，将 A，B 坐标代入 yx2+bx+c 可得解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）利用平移后的 C2 的顶点为（0，1），可得抛物线 C2 的解析式，易得抛物线 C1 的对称轴 x3 与抛物线 C2 的交点 E，当直线 l 过点 B（5，0）和点 D（3，4）时，代入ykx+m（k0）可得 kBD，将点 B（5，0）和点 E（3，8）代入 ykx+m（k0）可得kBE，易得 k 的取值范围【解答】解：（1）抛物线 C1 的对称轴与 x 轴交于点（3，0），抛物线 C1 的对称轴为直线 x3 又AB4，A（1，0），B（5，0）抛物线 C1 的表达式为 yx26x+5 即 y（x3）24抛物线 C1 的顶点为 D（3，4）