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1、完整word版刚体的基本运动doc第三章刚体力学3.1刚体运动的分析 3.2角速度矢量3.3刚体运动微分方程 3.4刚体平衡方程3.5转动惯量 3.6刚体的平动与定轴转动3.7 刚体的平面平行运动3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1. 刚体是特殊质点组 dr ij =0, 注意 : 它是一种理想模型 , 形变大小可忽略时可视为刚体。2. 描述刚体位置的独立变数描述一个质点需 (x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否 , 由于任意质点之间的距离不变如确定不在同一直线上的三点 , 即可确定刚体的位置 , 需 9 个变量 ，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量

2、即可。刚体的任意运动 =质心的平动 +绕质心的转动， 描述质心可用 (x,y,z), 描述转轴可由, 。,二、刚体的运动分类1. 平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行 .任意一点均可代表刚体的运动， 通常选质心为代表 . 需要三个独立变量 , 可以看成质点力学问题.( 注意 : 平动未必是直线运动 )2.定轴转动 : 刚体上有两点不动 , 刚体绕过这两点的直线转动 , 该直线为转轴 . 需要 一个独立变量3.平面平行运动 : 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。 可以用平行于固定平面的截面代表刚体。需要 三个 独立变量。4.定点运动 : 刚体中一点不动 , 刚体绕过固定点的瞬转转动。

3、需三个独立的欧拉角。5.一般运动 : 平动 +转动3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示 , 右手法确定其方向 . 有向线段不一定是矢量 , 必须满足平行四边形法则 , 对定点转动时 , 不能直接推广 , 因不存在固定轴 .limndntdt刚体在 dt 时间内转过的角位移为dn ，则角速度定义为t 0角速度反映刚体转动的快慢。Q drdn r ,vdr r线速度与角速度的关系：dt3.3 刚体运动微分方程一、 基础知识1. 力系：作用于刚体上里的集合 。平衡系 ：使静止刚体不产生任何运动的力系 。等效系 ：二力系对刚体产生的运动效果相同 。力系的简化 ：用一简单力系等效地代替一复杂

4、力系称为力系的简化或合成。二、公理：1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平衡。2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系 , 不改变原力系的运动效应。3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，并不改变其作用效果， F 与 F 等效。三、力偶力偶矩1.力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。力偶所在平面叫力偶面。2.力偶矩 : 力 F 对任意一点O的位置矢量为r , 则力偶矩为M rF ，其大小为M=Fd ,d 为力偶臂。上式表明:1)力偶矩与矩心无关 , 故 M可画在过力偶面任意点且与力偶面垂直的直线上, 它是一自由矢量;2)M 的唯一效果是引起转动效应 ;3) 力偶不能与

5、一力等效 .( 因为若等效 , 则可取其作用线上任意一点为矩心 , 则有 M=0, 发生矛盾 ).3.等效力偶 :(1)力偶可在力偶面内任意般动 , M 不变时等效；(2)可使 M不变 , 改变 F,d, 与原力偶等效。四、力的平移定理若将作用于刚体上的力 F 平移至同一刚体上不在力 F 的作用线上的其它点 O ，则必须相应增加一个附加力偶， 其力偶矩 M 等于原力 F 对平移点 O 的矩，才能保证原力对刚体的作用效果。 这一结论称为力的平移定理。 显然 M 垂直于由点 O 与原力 F 的作用线所作出的平面。上述定理的逆定理也成立，即当作用于刚体上某点O 的某个力F1与作用于同一刚体上的某个力

6、偶的力偶矩M垂直时，则该力和力偶可以合成为一个力F，其力矢与原长F1 相同，平移的垂直方向为F1M方向，平移和垂直距离为M / F1 。力的平移定理表明， 一个力可以等效于一个力和一个力偶。 而其逆定理则表明， 可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。 力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。五、空间任意力系的简化空间任意力系向任一点 O （称为简化中心）简化后，一般可得一个力和一个力偶。其中这个力的作用线过简化中心，其力矢与该力系主矢 R 相同，这个力偶的力偶矩与该力系对简化中心的主矩 MO相同。上表说明，力系的主矢 R 和主矩 M O 完全确定了力系的最简简化结果，由此也就不难

7、理解力系的主矢和主矩为什么是力系两个极其重要的特征量了。六、平行力系平行力系中心若平行力系存在合力， 当平行力系的各力保持其大小和作用点不变， 而将它们的作用线沿相同方向转过任意相同角度， 所得到的所有平行力系的合力作用线始终通过的那个唯一确定的点 C ，称为平行力系中心。取力的作用线的某一方向为正向，其单位矢量为 e ，则平行力系中各力可表示为F iFi e(i 1,2,., n) ，若它们的作用点相对于空间某一确定点 O 的矢径为 r (i1,2,., n) ，则平行力系中心相对于点O的矢径公式为Fi rirCFi例沿图示长方体三个互不相交且互不平行的棱边分别作用着力F1 、F2 和 F3

8、 ，它们的大小均等于 F ，当它们能简化为一合力时， 长方体的长、宽、高的尺寸 a、b、c 之间的关系如何？解 1) 建立图示直角坐标系 oxyz2)F1Fi , F2 Fj , F3 Fk于是力系的主矢为3R Fi Fi Fj Fki13)取点 O 为简化中心，各力对点 O 的矩为mO (F1 ) 0 , mO ( F2 ) Fci , mO (F3 ) Fbi Faj于是力系对点 O 的主矩为3M O mO ( Fi ) ( Fb Fc)i Fa ji 14) 显然 R 0,M O 0 ，因此，该力系要简化为一个合力，则必须 R M O 0 ，即F ( Fb Fc ) F ( Fa ) 0

9、于是有a b c七、刚体运动微分方程取刚体的质心为简化中心，把质点组的质心运动定理和对质心的动量矩定理应用到刚体macdJM上，就是刚体运动微分方程，即F ,dt，在直角坐标系中为dJ xmacx Fx macyFy macyFyMdt对保守力系，机械能守恒定律成立，即有 T+ V=E dJ y dJ zxdtM ydtM z3.4 刚体平衡方程一、刚体的平衡刚体相对于惯性参考系处于静止或匀速直线平动状态，称为物体的平衡。 物体在平衡力系的作用下不一定处于平衡状态， 这一点将在动力学中看到， 但物体若平衡， 则作用于其上的力系必为平衡力系，即力系的平衡仅是物体的平衡的必要条件，而非充分条件。二

10、、平面任意力系的平衡方程1）一矩式n n nFix0,Fiy 0, mA ( Fi ) 0i 1i 1i 1其中 x、 y 轴不平行，可以是正交的，也可以是斜交的。2）二矩式n n nmA (Fi ) 0,mB (Fi ) 0, Fil 0i 1i 1i 1其中 A、 B两点的连线不与投影轴l 垂直，Fil表示Fi在l 轴上的投影。3） 三矩式n n nmA (Fi ) 0, mB ( Fi ) 0, mC ( Fi ) 0i 1 i 1 i 1其中 A、 B、C三点不共线。三、平面特殊力系的平衡方程1） 平面汇交力系n nFix0,Fiy0其中 x、y 轴不平行 )(1)i 1i1(nnFi

11、x0,mA (Fi )0x 轴垂直 )(2)i 1i1( 其中点 A 与汇交点的连线不与nnmA ( Fi ) 0,mB ( Fi ) 0(3)i 1i 1( 其中点 A、B 与汇交点不共线 )2） 平面力偶系nM i0M i 为平面力偶系中第i 个力偶的力偶矩，它为一个代数量 )i 1(3） 平面平行力系n nFix0, mA (Fi )0(1)i 1i 1( 其中 x 轴不与各力的作用线垂直 )nnmA ( Fi ) 0,mB ( Fi ) 0(2)i 1i 1( 其中 A、B 两点的连线不与各力的作用线平行)四、空间任意力系的平衡方程的基本形式n n n n n nFix 0,Fiy 0

12、,Fiz0,mx (Fi ) 0, my (Fi ) 0, mz ( Fi ) 0i 1i 1i 1i 1i 1i 1空间力系的平衡方程还有其它形式的方程组及相应的附加条件， 但讨论起来比较麻烦， 一般不作教学要求。3.5 转动惯量一、转动动能1nri )g(ri )1n22sin212n2Tmi (miriimii2 i 12 i 12i 1n1 IImi i2T2令i 1则转动动能为2二、转动惯量n2Imii转动惯量计算公式为：i1对刚体可用积分形式I zm r 2 dm式中i是质点mi (dm)到 z轴距离， dm 是微元体的质量。转动惯量反映物体转动时惯性的大小。物体的转动惯量， 一方

13、面决定于物体的形状，另一方面又决定于转动轴的位置。平行轴定理I zI c md 2z 轴与 zc 轴平行，两者之间的距离为d ， C 为刚体的质心。三、惯量张量刚体对坐标轴的轴转动惯量I xx( y2z2 )dm ,I yy( z2x2 )dm,I zz( x2y2 )dm惯量积的定义为I xyI yxxydm ,I yzI zyyzdm ,I zx I zxzxdm若刚体绕任一转动轴转动，其相对于坐标轴的方向余弦为、，则刚体绕此转II xx2I yy2I zz22I xy2I yz2I zx动轴的转动惯量为3 个轴转动惯量和 6 个惯量积作为统一的一个物理量，来代表刚体转动时惯性的量度，可以

14、排成一个矩阵形式，我们把它叫惯量张量I xxI xyI xzI yxI yyI yzI zxI zyI zzI xxI xyI xzI yxI yyI yz刚体的转动惯量可表示为I = （ ）I zxI zyI zz四、惯量主轴选择适当的坐标轴， 可以使惯量积等于零。 这样使惯量积等于零的坐标轴就叫惯量主轴。对均质刚体，其对称轴就是惯量主轴。对惯量主轴的转动惯量叫主转动惯量，用I 1，I 2，I 3表示。这时，刚体的转动惯量、动量矩和转动动能将简化为I222I1I 2I 3JI1 xiI 2 yjI 3 zkT1222( I1xI 2 yI3 z )23.6 刚体的平动与定轴转动1 刚体的平动

15、刚体在运动过程中， 若其上任一直线的方位相对于所选参考系始终保持不变， 则称此刚体相对于该参考系作平动。 根据刚体上各点的轨迹可能是直线或曲线， 又将平动分为直线平动和曲线平动。当刚体作平动时， 刚体内各点的轨迹具有相同的形状； 在每一瞬时， 各点具有相同的速度和加速度。对平动刚体的研究可以归结为质点的运动的研究。2 刚体的定轴转动刚体运动时，如果相对于某一参考系而言，刚体内 （或其延拓部分）有一条直线保持不动，则称此刚体相对于该空间作定轴转动。（ 1） 刚体的运动方程、角速度和角加速度定轴转动刚体时，具有一个自由度，可以用广义坐标，即转角 来确定任一瞬刚体时在空间的位置。运动变化规律可由运动

16、方程描述，即(t)上述方程描述了转角的变化规律，也称为刚体的转动方程。随时间的变化情况可进一步用其对时间的一阶、二阶导数刻画。这些量反映了刚体转动快慢和转动方向，它们是角速度 和角加速度 .ddtd d 2dt dt 2物理量角速度和角加速经常用矢量表示kk其中 k 是沿转轴正向的单位矢量。 与 有下述关系ddt（2）转动刚体上任意一点的运动刚体作定轴转动时， 除了转轴以外， 刚体上各点的轨迹均是位于垂直于转轴平面内的圆，圆心在转轴上，半径等于点到转轴的距离，称为转动半径。其运动方程为sR R 是转动半径，是定轴转动刚体的转角。该点的速度为R沿轨迹的切向，指向与 的转向一致。切向加速度和法向加

17、速度分别为a R ， an R 2全加速度 a 的大小为a R24a 与转动半径的夹角 为tg2（3）转动刚体上任一点速度和加速度的矢量表示法刚体的角速度、角加速度矢量 、 ，体上任一点的矢径为 r ，那么该点的速度r加速度为a r其中 r 为切向加速度分量 a ， v 为法向加速度分量 an例 图示折杆 OAB ，已知 OA AB l ， OAB 120 ， O 与固定铰连接， 、大小已知 ，转向如图所示。试求 AB 中点 C 的速度和加速度。解：1研究点 C。 OAB作定轴转动，可由定轴转动刚体的运动确定其上点 C 的速度和加速度。2速度分析vc oc其中OC 2 OA 2 AC 2 2

18、OA AC cos120l 2( l ) 22 l l sin 307 l 2224OC7 l2vC3 l所以2方向如图所示3 加速度分析ac oc7 lnoc27 l22ac2方向如图示。例图示机构，杆 AB 在45 时 以 匀 速 u 作 直 线 平 动 ， 试 求 在 任 意 位 置(045 ) 时，杆 OD 的角速度、角加速度。解：1研究系统。 OD 作定轴转动， AB 作直线平动， 取为杆 OD 的转角。由题意知杆 OD的角速度转向如图示，并设出的转向。2运动速度分析。杆 AB 上点 A 的运动方程为yA l tgvAyy A1l2其速度、加速度为cos由图示杆 AB 的速度知vAy

19、 ujucos2a Ayv Ay2sin2l0ulcos2因此lcos3根据图示、的 转向有，cos2uu 2sin22ll 2cos所以，计算结果说明，的真实转向与图示所设相反。3.7 刚体的平面平行运动1刚体平面运动的描述刚体运动时， 如果其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变， 则刚体的这种运动称为刚体的平面运动。（1）对刚体平面运动的研究可简化为对平面图形（此图形所在平面与上述固定平面相平行， 图形的大小、 形状不受限制， 可以根据需要进行延伸） 在其自身所在平面内运动的研究。（2）平面图形 S 在其平面内的位置，完全可由图形上任一直线 AB 的位置来确定。（3）直线 AB 的位置

20、可由其上的任一点（不妨取为点 A ）和 AB 的方位角 来确定。若 S 所在面为 oxy 平面，则刚体平面运动方程为：xA f1 (t )yA f 2 (t )f3 (t )如果刚体运动不再受其它限制时， 上述三个量是独立的， 这样的平面运动刚体具有三个自由度。上述方程的前两个方程是关于点的方程。 点的运动研究已在第二章学习过； 第三个方程是对刚体整体运动 方位的描述，与描述定抽转动刚体运动的转角 有相似之处，但又不完全一样。2平面图形的角速度和角加速度平面图形上任意两直线方位角的变化率均相同， 因此将某一直线方位角的变化率称为平d面图形的角速度，以表示。为代数量，其数值为：dt，表示了刚体方

21、位变化的快慢，正、负号表示刚体方位的转向情况。通常， 在图上用一带箭头的弧线表示转向。由 所得，其箭头应画在增加的方向上，当0 ，表明刚体的方位改变方向与图中一致；当0 ，刚体的方位变化与图示相反。平面图形角速度对时间 t 的变化率称为平面图形的角加速度，以表示。为代数量，其数值为：dd 2dtdt 2反映了刚体角速度的变化情况。同样用带箭头的弧线表示的转向，其转向的确定，以及正、负号的含意与类似。物理量、 也可以用矢量表示，则k ，k ，其d中 k 为垂直于平面图形的单位矢量，且有dt3平面图形上各点的速度（ 1）速度瞬心法平面图形在运动过程中的任一瞬时， 图形上（或其延伸部分） 都惟一地存

22、在速度等于零的点 P 瞬时速度中心。不同瞬时，图形有不同的速度瞬心。刚体的平面运动是由一系列绕不同速度瞬心的瞬时转动所组成。 图形上各点的速度分布与定轴转动完全一样， 转轴为过点 P 与图形垂直的直线，因此其上任一点 A 的速度为v A PA或 v A PA其方向垂直于 PA ，与图形角速度 的转向一致。如果已知某瞬时平面图形的角速度及其速度瞬心的位置， 由上式可求出图形上任一点的速度。这种方法称为瞬心法速度瞬心 P 的位置的确定方法见表 3.1沿固定面只滚不滑已知的方向，但不平行已知平行反向，并垂直于 AB已知平行同向，大已知，并垂直于AB，则已知平行，并垂直于小不等，并垂直于 ABP 在无穷远处，刚体做瞬时平AB。则 P 在无穷远处，刚体动。此时，, 各点具有相同做瞬时运动。 此时，,的速度。各点具有相同的速度。（ 2） 平面图形上两点的速度关系平面图形上任意两点的速度具有如下关系vB vA vBA式中 vBA AB或 vBA AB方向垂直于 AB ，并与图形角速度 的转向相一致。上式又称为基点法， A 是基点。它表明平面图形上某点的速度等于基点的速度与图形以其角速度绕基点转动时该点所具有速度的矢量和。（ 3） 速度投影定理平面图形上任意