中考数学专题训练旋转模型几何变换三种模型手拉手半角对角互补0226023953.docx

1、中考数学专题训练旋转模型几何变换三种模型手拉手半角对角互补0226023953几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补知识关联图等腰三角形手拉手模型 等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）等线段变换（与圆相关）练 1】 （ 2013 北京中考）在 ABC 中， AB AC ， BAC （ 0 60 ），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD（1）如图 1，直接写出 ABD 的大小（用含 的式子表示）；（2）如图 2， BCE 150 ， ABE 60 ，判断 ABE 的形状并加以证明；（3）在（ 2）的条件下，连结 DE ，若 DEC 45 ，求 的值练2】 （2

2、012年北京中考） 在ABC中， BA BC， BAC ，M是AC的中点， P是线段上的动点，将线段 PA绕点 P顺时针旋转 2 得到线段 PQ （1）若 且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D ，请补全图形，并写出 CDB 的度数；（2）在图 2中，点 P不与点 B，M重合，线段 CQ的延长线与射线 BM交于点 D，猜 想 CDB 的大小（用含 的代数式表示） ，并加以证明；（3）对于适当大小的 ，当点 P在线段 BM上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ QD ，请直接写出 的范 围例

3、题精讲考点 1：手拉手模型：全等和相似包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）例 1】 （ 14 年海淀期末）已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形 ，且 AB CE （ 1）如图 1，连接、求证： BG DE ；（2）如图 2 ，如果正方形 ABCD 的边长为，将正方形 CEFG 绕

4、着点旋转到某一位 置时恰好使得 CGBD ， BG BD 求 BDE 的度数；请直接写出正方形 CEFG 的边长的值题型总结】 手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息常见的考试方法有哪些例 2】 （ 2014 年西城一模） 四边形 ABCD 是正方形， BEF 是等腰直角三角形，BEF 90 ，BE EF ，连接 DF ，G为DF 的中点，连接 EG，CG ，EC。的值；（2）将图 24-1 中的 BEF绕点 B顺时针旋转至图 24-2 所示位置，请问（ 1）中所 得的结论是否仍然成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的

5、解题方法吗另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种例 3】 （2015 年海淀九上期末） 如图 1，在 ABC 中，BC 4 ，以线段 AB 为边作 ABD， 使 得 AD BD ， 连 接 DC ， 再 以 DC 为 边 作 CDE ， 使 得 DC DE ， CDE ADB （ 1）如图 2 ，当 ABC 45 且 90 时，用等式表示线段 AD，DE 之间的数量 关系；2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF ，连接 BF， AF 若90 ，依题意补全图 3， 求线段 AF的长；请直接写出线段 AF 的长（用含 的式子表示）例 4】 （ 13 年房山一模）（ 1）如图1，

6、ABC和 CDE都是等边三角形， 且B 、C 、D三点共线，联结 AD、 BE相交于点 P，求证： BE AD （2）如图 2，在BCD中， BCD 120o ，分别以 BC 、 CD和BD为边在 BCD 外部作等边 ABC 、等边CDE和等边BDF ，联结 AD 、 BE和CF交于点 P，BEC ADC ； DPE EPC CPA 60o ；图2F【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为 120 旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为 两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解

7、决问题的方法是运用旋转变换考点 2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等ACAF例 1】 （ 2012 年西城期末）已知：如图，正方形ABCD 的边长为a， BM ， DN 分别平分正方形的两个外角，且满足MAN 45 ，连结 MC ，NC ，MN 猜想线段 BM ，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论例 2】 （ 2014 年平谷一模）（1）如图 1，点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、 CD 上的点， EAF 45 ， 连接， 则 EF、 BE、 FD 之间的数量关系是： EF BE FD 连结，交 AE、 AF 于点M、N，且 MN、BM、DN满足

8、MN2 BM2 DN 2，请证明这个等量 关系；（2）在 ABC 中， AB AC，点 D、E 分别为边上的两点如图 2，当BAC60 ， DAE 30 时，BD、DE、EC 应满足的等量关系是_；如图 3，当BAC1， 90 ) ， DAE 12时， BD、DE、EC 应满足的等量关系是 _2 【参考： sin 2cos21】【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量由角含半角产生的数量关系都是有哪些如何描述这类题目的 辅助线考点 3：对角互补模型 常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法 (全等型 90)例 1】 四边形 ABCD 被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是

9、直角，另 一条对角线的长度为 2 ，求四边形 ABCD 的面积A例 2】 已知：点是 MON 的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋 转交射线于点，且使 APB MON 180o （1）利用图 1，求证： PA PB ；（2）如图 1，若点是与的交点，当 SPOB 3S PCB时，求 PB与 PC的比值；题型总结】 对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息经常和哪种图形同时出现例3】 （初二期末 ）已知：如图，在 ABC 中，AB AC， BAC ，且60 120 P 为 ABC 内部一点，且 PC AC ， PCA 120 （1）用含 的代数式表示 APC ，得

10、 APC = ；（ 2）求证： BAP PCB ；（ 3）求 PBC 的度数题型总结】般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。全能突破练 1】 （2015 年昌平九上期末）如图，已知 VABC 和 VADE 都是等腰直角三角形，BAC DAE 90 ，AB AC，AD AE连接 BD交AE于M,连接 CE交AB 于N，BD与CE交点为 F，连接 AF1）如图 1，求证： BD CE ；2）如图 1，求证： AF 是 CFD 的平分线；3）如图 2，当 AC 2 ， BCE 15 时，求 CF 的长 .练2】 （2014西城九上期末）已知： ABC ， D

11、EF 都是等边三角形， M是 BC与EF 的中点，连接 AD ， BE .（1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出 AD与 BE的数量关系和 位置关系；（ 2） ABC固定不动，将图 1中的VDEF绕点 M顺时针旋转 （0o 90o） 角，如图 2 所示，判断（ 1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明； 若不成立， 说明理由；（ 3） ABC固定不动，将图 1中的 VDEF绕点 M旋转 （ ）角，作DH BC 于点 H 设 BHx ，线段 AB，BE ， ED ， DA所围成的图形面积为 S当 AB6 ， DE2 时，求 S关于 x 的函数关系式，并写出相应的 x

12、的取值范围练3】 （2014年朝阳一模 24题）在ABC中， AC BC ，在AED中， AD ED，点 D、E分别在 CA 、 AB上，（1）图，若 ACB ADE 90 ，则 CD 与 BE 的数量关系是 ；（2）若 ACB ADE 120 ，将AED绕点 A旋转至如图所示的位置， 则CD 与 BE 的数量关系是 ；（3）若 ACB ADE 2 （0 90 ），将 AED绕点 A 旋转至如图所示的 位置，探究线段 CD 与 BE 的数量关系，并加以证明（用含 的式子表示）DAE45 若 BD3， CE1，BAC90 ， ABAC，点， E 在边 BC 上，求 DE 的长小辉发现，将绕点 A

13、 按逆时针方向旋转 90o，得到 VACF ，连接 EF （如图 2）， 由图 形 旋 转 的性 质 和 等 腰直 角 三 角 形的 性 质 以 及 DAE45 ， 可 证 VFAEVDAE ，得 FEDE 解 VFCE ，可求得 EF （即DE）的长请回答：在图2中， FCE的度数是 ， DE 的长为 RtV ABC 参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中， ABAD ， B D180 E， F 分别是边 BC，CD1上的点，且 EAF2 BAD 猜想线段 BE，EF，FD 之间的数量关系并说明理由练 5】 （11 年石景山一模）已知：如图，正方形 ABCD 中，

14、,为对角线，将 BAC绕顶点逆时 针旋转 （ 0o 45o ），旋转后角的两边分别交于点、点，交 ,于点、点，联结、（ 1）在 BAC 的旋转过程中， AEQ 的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究 APQ与 AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明练6】 （2015年延庆九上期末） 已知： ABC是 e O的内接三角形， AB AC，在 BAC 所对弧 AC上，任取一点 D，连接 AD，BD，CD ，练7】 (1)如图，在四边形 ABCD中， AB AD， B D 90 ，分别是边 BC、CD 上的点，1 且 EAF

15、= BAD 求证： EF BE FD ;2(2) 如图在四边形 ABCD 中， AB AD， B+ D 180 ，分别是边 BC、 CD 上的 1点，且 EAF 2 BAD ， (1)中的结论是否仍然成立不用证明练 8】 小华遇到这样一个问题，如图 1, VABC 中， ACB 30o， BC 6，AC 5 ，在VABC内部有一点 P ，连接 PA、PB、 PC ，求 PA PB PC 的最小值小华是这样思考的： 要解决这个问题， 首先应想办法将这三条端点重合于一点的线 段分离， 然后再将它们连接成一条折线， 并让折线的两个端点为定点， 这样依据 “两 点之间，线段最短 ”，就可以求出这三条线

16、段和的最小值了他先后尝试了翻折、 旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题 他的做法是， 如图 2，将V APC 绕点 C 顺时针旋转 60o，得到 VEDC ，连接 PD、BE ，则 BE 的长即为所求（ 1）请你写出图 2 中， PA PB PC 的最小值为 ；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，菱形 ABCD 中， ABC 60o，在菱形 ABCD 内部有一点 P ，请在图 3 中画出并指明长度等于 PA PB PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即 可）；若中菱形 ABCD 的边长为 4，请直接写出当 PA PB PC 值最小时 PB 的长练9】 （20

17、14年西城二模） 在VABC ， BAC为锐角， AB AC， AD平分 BAC 交BC 于点 D （1）如图 1，若 VABC 是等腰直角三角形，直接写出线段 AC，CD， AB之间的数量关系；2） BC的垂直平分线交 AD延长线于点 E ，交BC于点 F如图 2，若 ABE 60 ，判断 AC ，CE ， AB之间有怎样的数量关系并加以 证明；如图 3，若 AC AB 3AE ，求 BAC 的度数练 10】 （2014年 1 月西城八年级期末试题 附加题 ） 已知：如图， MAN 为锐角， AD 平 分 MAN ，点 B ，点 C 分别在射线 AM 和 AN 上， AB AC .（1）若点

18、 E在线段 CA上，线段 EC的垂直平分线交直线 AD于点 F ，直线 BE交直 线 AD 于点 G ，求证： EBF CAG ；2）若（1）中的点 E 运动到线段 CA的延长线上，（ 1）中的其它条件不变， 猜想 EBF 与 CAG 的数量关系并证明你的结论 .备用图 2练11】（2014 海淀一模）在 ABC中， AB AC ，将线段 AC 绕着点 C逆时针旋转得到 线段 CD ，旋转角为（ 1）如图 1，当 BAC（2）如图，且100 ，602，当 BAC100 ，20（3）已知 请直接写出BAC 的大小为 m （ 的大小60180 ，连接 AD ， BD 时， CBD 的大小为 _ 时，求 M 的大小；120 ），若 M 的大小与（ 2 ）中的结果相同，图1C图2小结与复习1、旋转的基本模型特征2、费马点问题3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线4、线段旋转的特点