第7章 相关与回归分析.docx

1、第7章 相关与回归分析第七章 相关与回归分析学习内容 一、变量间的相关关系二、一元线性回归三、线性回归方程拟合优度的测定学习目标 1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二3. 掌握回归方程的显著性检验4. 利用回归方程进行预测5. 了解可化为线性回归的曲线回归6. 用 Excel 进行回归分析一、变量间的相关关系1. 变量间的关系（函数关系）1) 是一一对应的确定关系。2) 设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量 x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称

2、为自变量，y 称为因变量。3) 各观测点落在一条线上。 4） 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)。 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2 。 企业的原材料消耗额(y)与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3间的关系可表示为y =x1 x2 x3 。单选题下面的函数关系是（ ）A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系 B、圆周的长度决定于它的半径C、家庭的收入和消费的关系 D、数学成绩与统计学成绩的关系2. 变量间的关系（相关关系）1) 变量间关系不能用函数关系精确表达。2) 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确

3、定。3) 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个。4) 各观测点分布在直线周围。 5）相关关系的例子 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系。 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系。 粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度 (x3)之间的关系。 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系。3. 相关图表1) 相关表：将具有相关关系的原始数据，按某一顺序平行排列在一张表上，以观察它们之间的相互关系。2) 相关图：也称为分布图或散点图，它是在平面直角坐标中把相关关系的原始数据用点描绘出来，通常以直角坐标轴的横轴代

4、表自变量x，纵轴代表因变量y。4. 相关关系的类型相关关系的图示（散点图）5. 相关关系的测度（相关系数）1) 对变量之间关系密切程度的度量。2) 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数。3) 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为。4) 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r。样本相关系数的计算公式化简为相关系数取值及其意义a) r 的取值范围是 -1,1。|r|=1，为完全相关。(r =1，为完全正相关。r =-1，为完全负相关。)b) r = 0，不存在线性相关关系。c) -1r0，为负相关。d) 0r1，为正相关。e) |r|越趋于1表示关系

5、越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切。单选题下列哪两个变量之间的相关程度高（ ） A、商品销售额和商品销售量的相关系数是0.9 B、商品销售额和商业利润率的相关系数是0.84 C、平均流通费用率与商业利润率的相关系数是0.94 D、商品销售价格与销售量的相关系数是-0.91下列关系中，属于正相关关系的有（ ） A、合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B、产品产量与单位产品成本之间的关系 C、商品的流通费用与销售利润之间的关系 D、流通费用率与商品销售量之间的关系变量之间的相关程度越低，则相关系数值（ ）A、越小 B、越接近于0 C、越接近于-1 D、越接近于1已知(X-X)2是(Y-Y

6、)2的两倍，并已知(X-X) (Y-Y)是(Y-Y)2的1.2倍，则相关系数r为（ ）A、不能计算 B、0.6 C、 D、多选题变量之间的不完全相关可以表现为（ ）A、零相关 B、正相关 C、负相关 D、曲线相关 E、相关系数为1求X与Y的相关系数编号XY15828143610446522二、一元线性回归1. 什么是回归分析？（内容）1) 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式。2) 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著。3) 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或

7、控制的精确程度。回归分析与相关分析的区别1) 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化。2) 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量。3) 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。多选题线性相关分析的特点表现为（ ） A、两个变量之间的地位是对等关系 B、只能算出一个相关系数 C、相关系数有正负号 D、相关的

8、两个变量必须都是随机变量 E、不反映任何自变量和因变量的关系回归模型的类型2. 一元线性回归1) 涉及一个自变量的回归。2) 因变量y与自变量x之间为线性关系。 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示。 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量，用x表示。3) 因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示。3. 一元线性回归模型（概念要点）1) 当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归。2) 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系。3) 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型

9、。4）一元线性回归模型可表示为： y =（a+bx）+ y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项。 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化。 误差项 是随机变量,反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响，不能由 x 和 y之间的线性关系所解释的变异性。 a和 b称为模型的参数。5）基本假定 误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。 对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = a+ b x。 对于所有的 x 值，的方差2 都相同。 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立，即N( 0 ,2 )。 独立性意味着对于一个特定的 x 值，

10、它所对应的与其他 x 值所对应的不相关。 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x所对应的 y 值也不相关。4. 回归方程1) 描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程。2) 一元线性回归方程的形式如下： E( y ) = 0+ 1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程。0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值。1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值。5. 估计（经验）回归方程1) 总体回归参数 0和 1都是未知的，必须利用样本数据去估计。2) 用样本统计量a和b代替回归方程中的未知参数0和 1，就

11、得到了估计的回归方程。3) 简单线性回归中估计的回归方程为： y = a + bx单选题劳动消耗和产量之间的回归方程为Y=18+2.1X，这意味着劳动消耗每增加一单位时，产量增加的单位为（ ） A、8 B、2.1 C、20.1 D、2.1%6. 参数a和b的最小二乘估计一元回归方程数值试验1) 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得a和b的方法。即：2) 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小。3) 根据最小二乘法的要求，可得求解a和b的标准方程如上图。 参数a和b的最小二乘估计（例题）某从事饮食业的企业家认为高校后勤社会化是一个很好的投

12、资机会，他得到10组高校人数与周边饭店季营业额的数据资料，并想根据数据决策其投资规模。 7. 回归系数与相关系数的关系 b-回归系数 r-相关系数 单选题在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为（ ） A、8 B、0.32 C、2 D、 12.5多选题相关系数与回归系数（ ）- A、回归系数大于零则相关系数大于零- B、回归系数小于零则相关系数小于零- C、回归系数大于零则相关系数小于零- D、回归系数小于零则相关系数大于零- E、回归系数等于零则相关系数等于零直线回归方程y=a+bx 中的b 称为回归系数,回归系数的作用是（ ） A、可确

13、定两变量之间因果的数量关系 B、可确定两变量的相关方向 C、可确定两变量相关的密切程度 D、可确定因变量的实际值与估计值的变异程度 E、可确定当自变量增加一个单位时,因变量的平均增加量三、线性回归方程拟合优度的测定1. 离差平方和的分解1) 因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面：- 由于自变量 x 的取值不同造成的。- 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响。2) 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 y y 来表示。图解三个平方和的关系三个平方和的意义1) 总平方和(SST)总偏差- 反映因变量的

14、n 个观察值与其均值的总离差。2) 回归平方和(SSR)回归偏差- 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y的取值变化，也称为可解释的平方和。3) 残差平方和(SSE)剩余偏差- 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和。- 2. 判定系数r2 1) 回归平方和占总离差平方和的比例。2) 反映回归直线的拟合程度。3) 取值范围在 0 , 1 之间。4) r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20，说明回归方程拟合的越差。5) 判定系数等于相关系数的平方，即r2(r)2。 r2等于多少？3. 估

15、计标准误差 Syx1) 实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根。2) 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况。3) 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度。4) 计算公式为：Syx 越小，拟合越好；Syx 越大，拟合越差。5）相关系数与估计标准误差在数量上具有以下关系： r值与估计标准误差负相关。单选题回归估计的估计标准误差的计量单位与（ ） A、自变量相同 B、因变量相同 C、自变量及因变量相同 D、相关系数相同计算估计标准误差的依据是（ ） A、因变量的总变差 B、因变量的回归变差 C、因变量的剩余变差 D、因变量数列多选题估计标准误差是反映（ ） A、回归方程代表性大小的指标 B、估计值

16、与实际值平均误差程度的指标 C、自变量与因变量离差程度的指标 D、因变量估计值的可靠程度的指标 E、回归方程适用价值大小的指标判断题回归系数b和相关系数r都可用来判断现象之间相关的密切程度。( )只有当相关系数接近于1时，才能说明两个变量之间存在高度相关关系。( )相关关系和函数关系都属于完全确定性的依存关系。 ( )不具有因果关系的两个变量之间，一定不存在相关关系。（ ）负相关是指两个量之间的变化方向相反，即一个呈下降（上升）而另一个呈上升（下降）趋势。（ ）假定变量x与y的相关系数是0.8，变量m与n的相关系数为-0.9，则x与y的相关密切程度高。 ( )正相关指的就是两个变量之间的变动方

17、向都是上升的( )若直线回归方程Y1702.5X，则变量x和y之间一定存在负的相关关系。( )在其他条件不变的情况下，相关系数越大，估计标准误差就越大;反之，估计标准误差就越小。可见估计标准误差的大小与相关系数的大小是一致的。（ ）相关系数的数值越大，说明相关程度越高;同理，相关系数的数值越小，说明相关程度越低。（ ）计算题某地高校教育经费（X）与高校学生人数（y）连续6年的统计资料如下：教育经费（万元）X在校学生数（万人）y教育经费（万元）x在校学生数（万人）y316113932034316418223731845525要求：（1）建立回归直线方程，估计教育经费为500万元的在校学生数；（2）计算估计标准误差。有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下：（1）说明两变量之间的相关方向；（2）建立直线回归方程；（3）计算估计标准误差；（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时总产值（因变量）的可能值。用Excel进行回归分析第1步：选择“数据”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择 “确定”第4步：当对话框出现时 在“Y值输入区域”方框内键入Y的数据区域 在“X值输入区域”方框内键入X的数据区域 在“置信度”选项中给出所需的数值 在“输出选项”中选择输出区域 在“残差”分析选项中选择所需的选项