优化设计.ppt

1、机机 械械 优优 化化 设设 计计 l4 4 优化方法的工程应优化方法的工程应用用 l2 2 优化设计的数学模优化设计的数学模型型l3 3 优化设计的数值算优化设计的数值算法法l1 1 优化设计概论优化设计概论 优化设计的定义优化设计的定义 最优化设计最优化设计是借助最优化数值计算方法和计算机是借助最优化数值计算方法和计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。它技术，求取工程问题的最优设计方案。它出现在上世出现在上世纪纪6060年代，是最优化理论与计算方法结合的一个应用年代，是最优化理论与计算方法结合的一个应用数学分支，其本质是求条件极值问题。数学分支，其本质是求条件极值问题。人们做任何事情总希

2、望用最少的付出得到最佳的效人们做任何事情总希望用最少的付出得到最佳的效果，工程设计人员总是力求取得工程问题的一组最合理果，工程设计人员总是力求取得工程问题的一组最合理的设计参数，使得由这些设计参数确定的设计方案既能的设计参数，使得由这些设计参数确定的设计方案既能满足各种设计标准、规范和技术要求，又使得其某一项满足各种设计标准、规范和技术要求，又使得其某一项或多项技术经济指标达到最佳，如结构最紧凑、用材料或多项技术经济指标达到最佳，如结构最紧凑、用材料最省、成本最低、工作性能最优等。最省、成本最低、工作性能最优等。l1 1 优化设计概论优化设计概论 传统的工程设计，由于设计手段或方法的限制，传统

3、的工程设计，由于设计手段或方法的限制，设计者不可能在一次设计中得到某个项目的多设计者不可能在一次设计中得到某个项目的多个方案，更难以寻求到最优设计方案。随着现个方案，更难以寻求到最优设计方案。随着现代计算机技术的发展，以计算机为基础的最优代计算机技术的发展，以计算机为基础的最优化计算方法的成熟和应用，使得工程问题的最化计算方法的成熟和应用，使得工程问题的最优化设计成为可能，并在其应用和发展过程中优化设计成为可能，并在其应用和发展过程中形成了一套完整的工程最优化设计理论和方法。形成了一套完整的工程最优化设计理论和方法。实际实际问题优化设计的描述：问题优化设计的描述：进行最优化设计时，首先必须将实

4、际问题进行最优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最佳的设计参数。组最佳的设计参数。优化设计方法作为现代设计方法之一，与优化设计方法作为现代设计方法之一，与CADCAD设计、可靠性设计、有限元分析等具有同设计、可靠性设计、有限元分析等具有同样重要的地位。样重要的地位。实例实例1：有一块边长为有一块边长为6m的正方形铝板，四角各的正方形铝板，四角各裁去一个小的方块，

5、做成一个无盖的盒子。裁去一个小的方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小方块的边长，以使做成试确定裁去的四个小方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。的盒子具有最大的容积。解：设裁去的四个小方块的边长为解：设裁去的四个小方块的边长为x，则盒子的容积可表示成则盒子的容积可表示成x的函数的函数f(x)x(6-2x)2 l2 2 优化设计的数学模优化设计的数学模型型于是，上述问题可描述为于是，上述问题可描述为变量变量 x设计变量设计变量 f(x)x(6-2x)2目标函数目标函数 g(x)x0 约束条件约束条件使函数使函数 f(x)x(6-2x)2 极大化极大化 即对即对 f(x)=6x-2x3

6、 求导求导 f(x)=1-x2=0 得出：得出：x=1,-1 x0 x=1 为所求解。为所求解。数学模型的一般形式 实实例例可可以以看看出出，优优化化设设计计的的数数学学模模型型由由设设计计变变量量、目目标标函函数数和和约约束束条条件件三三部部分分组组成成，可可写写成成以下统一形式：以下统一形式：求变量求变量 x1,x2,.,xn 使目标函数极小化使目标函数极小化 min f(x1,x2,.,xn)满足约束条件满足约束条件 s.t.gu(x1,x2,.,xn)0 (u=1,2,m)hv(x1,x2,.,xn)=0 (v=1,2,pn)设计变量设计变量目标函数目标函数不等式约束条件不等式约束条件

7、等式约束条件等式约束条件 实例实例 2 某工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所某工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见下表。试确定两种产品提供的材料、工时和电力见下表。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。产品产品材料材料/kg工时工时/h电力电力/(kw.h)利润利润/元元甲甲93460乙乙4105120供应量供应量360300200 分析：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产分析：这是一个生产计划问题，可归结为既满

8、足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。解：设每天生产甲产品解：设每天生产甲产品x1件，乙产品件，乙产品x2件，每天获得的利件，每天获得的利润可用函数润可用函数f(x1,x2)表示，即表示，即 f(x1,x2)=60 x1+120 x2 每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用函数每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和和g3(x1,x2)表示，即表示，即 于是上述生产计划问题可归结为于是上述生产计划问题可归结为满足条件满足条件求变量求变量使函数使函数 极大化极大化实例实例 3 图

9、1 所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 Mpa，材料密度=7.8 /，许用压应力 =420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力 和失稳临界应力 的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。图图1 人字架的受力人字架的受力人字架的优化设计问题归结为：人字架的优化设计问题归结为：使结构质量使结构质量但应满足强度约束条件但应满足强度约束条件稳定约束条件稳定约束条件钢管所受的压力钢管所受的压力失稳的临界力失稳的临界力钢管所受的压应力钢管所受的压应力钢管的临界应力钢管的临界应力强度

10、约束条件强度约束条件可以写成可以写成稳定约束条件稳定约束条件可以写成可以写成人字架的总质量人字架的总质量这个优化问题是以这个优化问题是以D和和h为设计变量的二维问题。为设计变量的二维问题。优化设计问题的基本解法优化设计问题的基本解法求解优化问题的方法：求解优化问题的方法：解析法解析法数值法数值法即求导计算，但当数学模型复杂时即求导计算，但当数学模型复杂时不便求解不便求解采用迭代和逼近的思想，可以处理复采用迭代和逼近的思想，可以处理复杂函数的优化设计问题杂函数的优化设计问题图解法图解法目标函数和约束条件容易画图时求解目标函数和约束条件容易画图时求解寻求极值点的搜索过程1、按按是是否否包包含含有有

11、约约束束条条件件分分：无无约约束束优优化化问问题题和和约约束束优优化化问题。问题。、按设计变量的多少可分：、按设计变量的多少可分：单变量优化和多变量优化。单变量优化和多变量优化。、按按目目标标函函数数和和约约束束函函数数的的性性质质可可分分：线线性性规规划划和和非非线线性规划。性规划。当当数数学学模模型型中中的的目目标标函函数数和和约约束束函函数数均均为为设设计计变变量量的的线线性性函函数数时时，称称此此设设计计问问题题为为线线性性优优化化问问题题或或线线性性规规划划问问题题。当当数数学学模模型型中中的的目目标标函函数数和和约约束束函函数数中中至至少少一一个个为为非非线线性性函函数数时时，称称

12、此此设设计计问问题题为为非非线线性性优优化化问问题题或或非非线线性性规规划问题划问题。最优化问题的分类最优化问题的分类相关概念1 设计变量的定义设计变量的定义设设计计变变量量是是指指在在设设计计过过程程中中可可以以进进行行调调整整和和优选优选的独立参数。的独立参数。设计变量的选择：设计变量的选择：应应该该选选择择那那些些与与目目标标函函数数和和约约束束函函数数密密切切相相关的关的，能够表达，能够表达设计对象特征设计对象特征的基本参数。的基本参数。2 2 设计变量的分类设计变量的分类）连续变量：连续变量：可以在实数范围内连续取值可以在实数范围内连续取值的变量。的变量。注注：大多数机械优化问题的设

13、计变量都属大多数机械优化问题的设计变量都属于这种变量。可用常规的优化方法进行求解。于这种变量。可用常规的优化方法进行求解。）离散变量：离散变量：只能在给定数列或集合中取只能在给定数列或集合中取值的变量。值的变量。注注：少数的机械优化问题的设计变量是离：少数的机械优化问题的设计变量是离散变量，对于离散变量的优化问题，可先将其视散变量，对于离散变量的优化问题，可先将其视为连续变量，用常规的优化方法最优解。为连续变量，用常规的优化方法最优解。3 设计空间设计空间 若若n个设计变量个设计变量x1,x2,xn相互独立，则由它们相互独立，则由它们形成的向量形成的向量X=x1,x2,xnT的全体集合构成的一

14、的全体集合构成的一个个n维实欧氏空间，称为维实欧氏空间，称为设计空间设计空间，记，记Rn。一组设计变量可看作设计空间中的一个点，一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称为称为设计点设计点。设计变量的个数设计变量的个数n称为优化设计的称为优化设计的维数维数。1）如）如n=2就是二维设计问题，可用就是二维设计问题，可用图图2a所示所示的平面直角坐标来表示；的平面直角坐标来表示；2）如）如n=3就是三维设计问题，可用就是三维设计问题，可用图图2b所示所示的直角空间坐标来表示。的直角空间坐标来表示。图2a 二维设计平面 图2b 三维设计空间返回目标函数与等值线1、目标函数、目标函数1）目标函数的定义）

15、目标函数的定义 目标函数目标函数是通过设计变量来表示的设计所追求目标是通过设计变量来表示的设计所追求目标的数学表达式，又称为的数学表达式，又称为标量函数标量函数。2）目标函数的意义）目标函数的意义 目标函数目标函数值值的大小是的大小是衡量设计方案优劣的定量标准。衡量设计方案优劣的定量标准。目标函数的值越小，对应的设计方案越好。目标函数的值越小，对应的设计方案越好。因此，目标函数的因此，目标函数的最小值及其对应的设计变量的最小值及其对应的设计变量的取值取值称为设计问题的称为设计问题的最优解最优解。3）目标函数的选择）目标函数的选择 必须针对具体问题，选择主要的技术指标作为设计必须针对具体问题，选

16、择主要的技术指标作为设计的目标函数，如：的目标函数，如：利润、体积、重量、功率利润、体积、重量、功率等。等。2、等值面和等值线、等值面和等值线 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。1）目标函数的等值面，其数学表达式为）目标函数的等值面，其数学表达式为f(x)=c。在这种线或面上所有点的函数值均相等，因此，在这种线或面上所有点的函数值均相等，因此，这种线或面就称为函数的这种线或面就称为函数的等值线或等值面等值线或等值面。当当c c取一系列不同的常数值时，可以得到一组形取一系列不同的常数值时，可以得到一组形态相似的等值线或等值面，称为态相似的等值线或等值面，称为函数的等值线簇或函数的等值线簇或等值面簇等值面簇。2）当）当n=2时，该点集是设计平面中的一条时，该点集是设计平面中的一条直线或曲线；直线或曲线；例例4。3）当）当n=3时，该点集是设计空间中的一个时，该点集是设计空间中的一个平面或曲面；平面或曲面；例例5。4）当）当n大于大于3时，该点集是设计空间