第12讲 二次函数与方程不等式综合尖子班.docx

1、第12讲 二次函数与方程不等式综合尖子班第12讲 二次函数与方程、不等式综合知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程中的决定。若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。若，抛物线图象与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，抛物线在x轴下方。【典例】1.下列关于二次函数y=ax22ax+1（a1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右

2、侧C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧【答案】D. 【解析】解：当y=0时，ax22ax+1=0，a1=（2a）24a=4a（a1）0，ax22ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=0，故选：D2.二次函数y=x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程x2+mxt=0（t为实数）在1x5的范围内有解，则t的取值范围是_【答案】5t4【解析】解：如图，关于x的一元二次方程x2+mxt=0的解就是抛物线y=x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=5，由图象可知关于x的一元二次方程x2+mxt=0

3、（t为实数）在1x5的范围内有解，直线y=t在直线y=5和直线y=4之间包括直线y=4，5t43.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（）A. 1.2x1.3 B. 1.3x1.4 C. 1.4x1.5 D. 1.5x1.6【答案】C. 【解析】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4x1.5故选：C4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（）A. x=

4、3 B. x=2 C. x=1 D. x=1【答案】C. 【解析】解：方程ax2+bx+c=0的两个根是3和1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（3，0），（1，0）此两点关于对称轴对称，对称轴是直线x=1故选：C【方法总结】解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。当一元二次程的，二次函数与x轴有两个交点，时，二次函数与x轴有一个交点，时，二次函数与x轴没有交点。【随堂练习】1（2018吉安二模）如图，一条抛物线与x轴相交于A （x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动M、N的坐标分别为（1，2）

5、、（1，2）x1的最小值为3，则x2的最大值为（）A1 B1 C3 D52（2018绵阳一模）若抛物线y=x2（m3）xm能与x轴交，则两交点间的距离最值是（）A最大值2 B最小值2 C最大值2 D最小值23（2018双桥区模拟）如图，抛物线y=（x1）24与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点D，M为抛物线的顶点，P（m，n）是抛物线上点A，C之间的一点（不与点A，C重合），以下结论：OC=4；点D的坐标为（2，3）；n+30；存在点P，使PMDM其中正确的是（）A B C D知识点2二次函数与一次函数的综合求二次函数与一次

6、函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的x值就是他们交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。【典例】1.已知二次函数y=x24x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_2.若b0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）A. B. C. D. 3.已知关于x的二元一次函数y=x2（2m1）x+m2+3m+4（1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式4.在平面直角坐标系x

7、Oy中，抛物线y=x22mx+m2m+2的顶点为D线段AB的两个端点分别为A（3，m），B（1，m）（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围【方法总结】解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时，此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 【随堂练习】1（2018金牛区校级模拟）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于

8、点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标_知识点3二次函数与不等式的综合1.二次函数与一元二次不等式之间的关系若，的解集为； 的解集为。若，的解集为； 的无解。若，的解集为x可取任意实数。 的无解。2.二次函数与一次函数不等关系此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。【典例】1.如图，一次函数y1=mx+n（m0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的图象相交于两点A（1，5）、B（9，3），请你根据图象写出

9、使y1y2成立的x的取值范围_2.若不等式ax2+7x12x+5对1a1恒成立，则x的取值范围是_3.在同一坐标系下，抛物线y1=x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式x2+4x2x的解集是_4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+cx+m的解集（直接写出答案） 【方法总结】解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大的函数在函数值小函数的上方！【随堂练习】1（2018历下区三模）若不等式ax2+7x12x+5对1a1恒成立，则x的取值范围是（

10、）A2x3 B1x1 C1x1 D2x32（2018雁江区模拟）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（2，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+nax2+bx+c的解集是_3（2018龙岩模拟）已知二次函数y1=kx22kx3（k为常数且k0）与一次函数y2=x+1，令M=y1y2（1）若y1，y2的函数图象相交于x轴上的同一点求k的值；当x为何值时，M的值最小，试求出该最小值（2）当2x3时，M随x的增大而减小，请写出y1，y2的大小关系并给予证明综合运用：二次函数与方程、不等式的综合1.已知二次函数y=x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴

11、交点为C，顶点为D（1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）（2）若M（m1，y1），N（m，y2）是函数y=x2+2x+3图象上的两点，且m1，请比较y1，y2的大小关系（直接写结果）（3）关于x的一元二次方程x2+2x+3=n1有实数根，写出实数n的范围（4）你能利用函数图象求不等式x2+2x+3x3的解集吗？写出你的结果2.已知二次函数y1=x22x3及一次函数y2=x+m（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不

12、变，得到一个新图象请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值；（3）当0x2时，函数y=y1+y2+（m2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2x1=0的两个解（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解如图，把方程x2x1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解把方程x2x1=0的解看成是二次函数y=的图象与一个一次函数y=的图象交点的横坐标画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解4. 利用图象解一元二次方程x22x1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解（1）请再给出一种利用图象求方程x22x1=0的解的方法；（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3x2=0的解（结果保留2个有效数字）