备战中考数学圆与相似经典压轴题及详细答案doc.docx

1、备战中考数学圆与相似经典压轴题及详细答案doc2020-2021 备战中考数学圆与相似 -经典压轴题及详细答案一、相似1 如图，在 ABC 中， AB=AC， BAC=90， AH BC 于点 H，过点 C 作 CD AC，连接AD，点 M 为 AC 上一点，且 AM=CD，连接 BM 交 AH 于点 N，交 AD 于点 E（1）若 AB=3， AD= ，求 BMC 的面积；（2）点 E 为 AD 的中点时，求证： AD= BN 【答案】 （1）解：如图 1 中，在 ABM 和 CAD 中 ， AB=AC， BAM= ACD=90， AM=CD ， ABM CAD，BM=AD= ， AM= =

2、1 ， CM=CA AM=2 ， SBCM= ?CM?BA=23=3（2）解：如图 2 中，连接 EC、 CN，作 EQ BC于 Q， EPBA 于 PAE=ED ， ACD=90 ， AE=CE=ED ， EAC= ECA ABM= CAD ， ABM= MCE ， AMB= EMC ， ABM CAD ， CEM= BAM=90 ， ABM ECM， ， ， AME= BMC， AME BMC ， AEM= ACB=45 ， AEC=135 ， 易 知 PEQ=135 ， PEQ= AEC ， AEQ= EQC， P= EQC=90 ， EPA EQC， EP=EQ， EP BP， EQ

3、BCBE 平 分 ABC ， NBC= ABN=22.5 ， AH 垂 直 平 分 BC ， NB=NC ， NCB= NBC=22.5 ， ENC= NBC+NCB=45 ， ENC 的等腰直角三角形， NC=EC， AD=2EC， 2NC= AD， AD= NC， BN=NC， AD= BN【解析】 【分析】（ 1）首先利用 SAS 判断出 ABM CAD，根据全等三角形对应边相等得出 BM=AD= ，根据勾股定理可以算出 AM ，根据线段的和差得出 CM 的长，利用SBCM= ?CM?BA 即可得出答案；（2）连接 EC、CN，作 EQ BC 于 Q， EP BA 于 P根据直角三角形斜

4、边上的中线等于斜边的一半得出 AE=CE=ED，根据等边对等角得出 EAC=ECA，根据全等三角形对应角相等得出 ABM= CAD，从而得出 ABM= MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出CEM= BAM=90 ，从而判断出 ABM ECM，由相似三角形对应边成比例得出 BMCM= AM EM,从而得出 BM AM= CM EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出AME BMC，故 AEM= ACB=45， AEC=135，易知 PEQ=135 ，故 PEQ= AEC， AEQ= EQC，又 P= EQC=90，故 EPA EQC，故 EP=EQ，根据角平分线的判定得出BE 平分 ABC，

5、故 NBC= ABN=22.5 ，根据中垂线定理得出 NB=NC，根据等腰三角形的性质得出 NCB= NBC=22.5，故 ENC=NBC+ NCB=45， ENC 的等腰直角三角形，根据 等 腰 直 角 三 角 形 边 之 间 的 关 系 得 出 NC= EC， 根 据 AD=2EC， 2NC= AD ，AD= NC，又 BN=NC，故 AD= BN2如图，在 中， ，点 M 是 AC 的中点，以 AB 为直径作分别交 于点 （1）求证： ；（2）填空：若 ，当 时， _；连接 ，当 的度数为 _时，四边形 ODME 是菱形【答案】 （ 1 ）证明： ABC=90， AM=MC ， BM=A

6、M=MC ， A=ABM 四边形ABED 是 圆 内 接 四 边 形 ， ADE+ ABE=180， 又 ADE+MDE=180 ， MDE= MBA，同理证明： MED=A， MDE= MED， MD=ME（2） 2；【 解 析 】 【 解 答 】 解 ： (2) 由 （ 1 ） 可 知 ， A= MDE ， DE AB ， = AD=2DM， DM： MA=1： 3， DE= AB= 6=2故答案为： 2 当 A=60时，四边形 ODME 是菱形理由如下：连接 OD、 OEOA=OD ， A=60 ， AOD 是 等 边 三 角 形 ， AOD=60 DE AB ， ODE= AOD=60

7、 ， MDE= MED= A=60 ， ODE， DEM 都 是 等 边 三 角 形 ，OD=OE=EM=DM， 四边形 OEMD 是菱形故答案为： 60【分析】（ 1）要证 MD=ME，只须证 MDE= MED 即可。根据直角三角形斜边上的中线等 于 斜 边 的 一 半 可 得 BM=AM=MC ， 则 A= ABM ， 由 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 易 得 MED= A， MDE= MBA，所以可得 MDE= MED；（2） 由（ 1）易证得 DE AB，可得比例式 ，结合 中的已知条件即可求解； 当 A=60时，四边形 ODME 是菱形理由如下：连接 OD、 OE，由题意易得

8、ODE，DEM 都是等边三角形，所以可得 OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。3（1）问题发现：如图 ，正方形 AEFG的两边分别在正方形 ABCD的边 AB 和 AD 上，连接 CF. 写出线段 CF与 DG 的数量关系； 写出直线 CF与 DG 所夹锐角的度数 .（2）拓展探究：如图 ，将正方形 AEFG绕点用图 进行说明 .（3）问题解决如图 ，A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形，D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点BAC= DAE=90， AB=AC=4，O 为 AC 的中点 .若点D 的运动过程中，

9、线段 OE 的长的最小值 .（直接写出结果）【答案】 （ 1） CF=（2）解：如图：DG， 45 连接 AC、 AF,在正方形 ABCD中，延长 CF交 DG 与 H 点，CAD= BCD=45 ,设 AD=CD=a，易得 AC= a= AD,同理在正方形 AEFG中， FAG=45 ,AF= AG,CAD=FAG, CAD- 2= FAG- 2,1= 3又CAF DAG,=,CF=DG; 由 CAF DAG， 4= 5，ACD= 4+ 6=45 ,5+ 6=45 ，5+ 6+ 7=135 ，在 CHD中， CHD=180 -135 =45 ， （ 1）中的结论仍然成立（3） OE 的最小值

10、为 .【解析】 【解答】（ 3）如图：由 BAC= DAE=90 ,可得 BAD= CAE,又 AB=AC,AD=AE, 可得 BAD CAE,ACE= ABC=45 ,又 ACB=45 , BCE=90 ,即 CE BC,根据点到直线的距离垂线段最短，OE CE时， OE 最短，此时 OE=CE, OEC为等腰直角三角形，OC= AC=2,由等腰直角三角形性质易得， OE= ，OE 的最小值为 .【分析】（ 1 ） 易得 CF= DG;45 ； (2) 连接 AC、 AF,在正方形 ABCD 中，可得CAF DAG， = , CF= DG，在 CHD 中， CHD=180 -135 =45

11、，（1）中的结论是否仍然成立；（ 3） OE CE 时， OE 最短，此时 OE=CE, OEC 为等腰直角三角形， OC= AC=2,可得 OE 的值 .4如图，四边形 ABCD 内接于 O， AB 是 O 的直径， AC 和 BD 相交于点 E，且 DC2CECA（1）求证： BC CD；（2）分别延长 AB， DC交于点 P，若 PB OB， CD ，求 O 的半径【答案】 （1）证明： DC2 CECA， ， DCE= ACD， CDE CAD， CDE= CAD，又 CBD= CAD， CDE= CBD，CD=CB.（2）解：连结 OC（如图），设 O 的半径为 r ，由（ 1）知

12、CD=CB，弧 CD=弧 CB， CDB=CBD= CAB= CAD= BAD， BOC=2 CAB， BOC= BAD，OC AD， ，PB OB，PB=OB=OA=r， PO=2r， =2，CD=2 ，PC=4 ， PD=PC+CD=6 ，又 PCB= CDB+ CBD， PAD=PACB+ CAD， PCB= PAD， CPB= APD， PCB PAD， ，即，解得：r=4.即 O 的半径为 4.【解析】 【分析】（ 1 ）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得CDE CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得CDE= CBD，根据等腰三角形的性质即可得证 .（

13、2）连结 OC，设 O 的半径为 r，根据圆周角定理可得 BOC= BAD，由平行线的判定得OC AD，根据平行线所截线段成比例可得 =2，从而求得 PC、 PD 长，再根据相似三角形的判定可得 PCB PAD，由相似三角形的性质可得 ，从而求得半径 .5如图，在矩形 ABCD中， ， ，点 E 是 BC 边上的点， ，连接 AE，交于点 F（1）求证： ；（2）连接 CF，求 的值；（3）连接 AC交 DF 于点 G，求 的值【答案】 （1）证明： 四边形 ABCD是矩形， BAD= ADC= B=90 ，AB=CD=4，DF AE， AFD=90 ， BAE+ EAD= EAD+ ADF=

14、90 ， BAE= ADF，在Rt ABE中，AB=4， BE=3，AE=5，在 ABE 和 DFA中， ABE DFA（ AAS） .（2）解：连结 DE 交 CF于点 H， ABE DFA，DF=DC=4， AF=BE=3，CE=EF=2，DECF， DCF+ HDC= DEC+ HDC=90 ， DCF= DEC，在Rt DCE中，CD=4， CE=2， DE=2 ，sin DCF=sin DEC= .（3）过点 C 作 CK AE 交 AE 的延长线于点 K，DF AE， CK DF， ，在Rt CEK中，EK=CEcos CEK=CEcos AEB=2 = ,FK=FE+EK=2+

15、= , = =.【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得 BAE= ADF，在 Rt ABE 中，根据勾股定理可得 AE=5，由全等三角形的判定 AAS 可得 ABE DFA.（2）连结 DE 交 CF 于点 H，由（ 1）中全等三角形的性质可知 DF=DC=4， AF=BE=3，由同角的余角相等得 DCF=DEC，在 Rt DCE 中，根据勾股定理可得 DE=2 ,根据锐角三角函数定义可得答案 .（ 3）过点 C 作 CKAE 交 AE 的延长线于点 K，由平行线的推论知CK DF，根据平行线所截线段成比例可得 ，在 Rt CEK 中，根据锐角三角函数定义可得 E

16、K= ,从而求出 FK，代入数值即可得出答案 .6如图，在四边形 ABCD中， B= C=90， AB CD， AD=AB+CD（1）利用尺规作 ADC的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（ 1）的条件下， 证明： AE DE； 若 CD=2， AB=4，点 M， N 分别是 AE， AB 上的动点，求 BM+MN 的最小值。【答案】 （1）（2） 证明：在 AD 上取一点 F 使 DF=DC，连接 EF，DE 平分 ADC， FDE=CDE，在 FED和 CDE中，DF=DC， FDE= CDE， DE=DE FED CDE（ SAS）， DFE=

17、DCE=90 ， AFE=180 -DFE=90 DEF=DEC，AD=AB+CD，DF=DC，AF=AB，在Rt AFE Rt ABE（HL） AEB= AEF， AED= AEF+ DEF= CEF+ BEF= （ CEF+ BEF）=90 。 AE DE 解：过点 D 作 DP AB 于点 P，由 可知， B， F 关于 AE 对称， BM=FM，BM+MN=FM+MN ，当 F，M ， N 三点共线且 FN AB 时，有最小值，DP AB，AD=AB+CD=6， DPB= ABC= C=90 ，四边形 DPBC是矩形，BP=DC=2， AP=AB-BP=2，在 Rt APD 中， DP

18、= = ，FNAB，由 可知 AF=AB=4，FN DP， AFN ADP ，即 ，解得 FN= ，BM+MN 的最小值为【解析】 【分析】（1 ）根据角平分的做法即可画出图.（ 2） 在AD上取一点F 使DF=DC， 连 接EF； 角 平 分 线 定 义 得 FDE= CDE； 根 据 全 等 三 角 形 判 定SAS得FED CDE，再由全等三角形性质和补角定义得 DFE=DCE= AFE=90 ，DEF= DEC；再由直角三角形全等的判定HL 得 Rt AFERt ABE，由全等三角形性质得AEB=AEF，再由补角定义可得 AE DE. 过点 D 作 DP AB 于点 P；由 可知， B

19、， F 关于 AE 对称，根据对称性质知 BM=FM，当 F， M， N 三点共线且 FN AB 时，有最小值，即 BM+MN=FM+MN=FN ；在 Rt APD 中，根据勾股定理得 DP= = ；由相似三角形判定得 AFN ADP，再由相似三角形性质得 ，从而求得 FN，即 BM+MN 的最小值 .7问题提出；（1）如图 1，矩形 ABCD， AB4， BC 8，点 E 为 CD 的中点，点 P 为 BC 上的动点， CP_时， APE的周长最小 .（2）如图 2，矩形 ABCD， AB 4，BC 8，点 E 为 CD 的中点，点 P、点 Q 为 BC 上的动点，且 PQ 2，当四边形 A

20、PQE的周长最小时，请确定点 P 的位置（即 BP 的长）问题解决；（3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点P 处修一个凉亭，设计要求PA 长为100 米，同时点M ，N分别是水域AB， AC边上的动点，连接P、 M 、N 的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN 面积的最大值是多少？AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形【答案】 （ 1）（2）解：点 A 向右平移 2 个单位到 M，点 E 关于 BC的对称点 F，连接 MF，交 BC 于 Q，此时 MQ+EQ 最小，PQ 3， DE CE2 ，AE 2 ，要使四边形 APQE的周长最小，只要 AP+EQ最小就

21、行，即AP+EQMQ+EQ，过 M 作 MN BC于 N， MN CD MNQ FCQ，NQ 4BP BQ PQ 4+2 24（3）解 :如图，作点 P 关于 AB 的对称点 G，作点 P 关于 AC 的对称点 H，连接 GH，交AB， AC 于点 M， N，此时 PMN 的周长最小 .APAG AH 100 米， GAM PAM， HAN PAN， PAM+ PAN 60 ， GAH 120 ，且 AG AH， AGH AHG 30 ，过点 A 作 AO GH，AO50 米， HO GO50GH 100 米，米，AGHGH AO 2500平方米，SS 四边形 AMPN SAGM+S ANH

22、SAGHSAMN ，SAMN 的值最小时， S 四边形 AMPN 的值最大，MN GM NH 时S 四边形 AMPN SAGH SAMN 2500 【解析】 【解答】（ 1） 四边形 ABCD是矩形， D 90 ABC ， AB CD 4， BC AD 8，E 为 CD中点，DECE2，在 Rt ADE中，由勾股定理得： AE 即 APE的边 AE 的长一定，要 APE的周长最小，只要 AP+PE最小即可，平方米 2.，延长 AB 到 M ， 使 BM AB4，则 A 和 M 关于 BC对称，连接 EM 交 BC 于 P ， 此时 AP+EP 的值最小，四边形 ABCD是矩形，AB CD ，

23、ECP MBP ，CP故答案为：【分析】（ 1）延长 AB 到 M ，使 BM=AB，则 A 和 M 关于 BC 对称，连接 EM 交 BC 于 P，此时 AP+EP 的值最小，根据勾股定理求出 AE 长，根据矩形性质得出 AB CD，推出ECP MBP，得出比例式，代入即可求出 CP 长；（ 2）点 A 向右平移 2 个单位到 M，点 E 关于 BC 的对称点 F，连接 MF，交 BC 于 Q，要使四边形 APQE 的周长最小，只要AP+EQ 最小就行，证 MNQ FCQ即可求 BP 的长；（ 3）作点 P 关于 AB 的对称点 G，作点 P 关于 AC 的对称点 H，连接 GH，交 AB，

24、AC 于点 M ，N，此时 PMN 的周长最小 .S 四边形 AMPN=SAGM +S ANH=S AGH-S AMN ， 即 SAMN 的值最小时， SAMPN 的值最大 .四边形8如图，点 E， F 分别在矩形 ABCD 的边 AB， BC 上，连接 EF，将 BEF 沿直线 EF 翻折得到 HEF， AB 8， BC 6， AE： EB 3： 1.（1）如图 1，当 BEF 45时， EH 的延长线交 DC 于点 M，求 HM 的长；（2）如图 2，当 FH 的延长线经过点 D 时，求 tan FEH的值；（3）如图 3，连接 AH，HC，当点 F 在线段 BC 上运动时，试探究四边形

25、AHCD 的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形 AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由 .【答案】 （ 1）解：如图 1 中，当，时，易知四边形，是正方形，四边形是矩形，.（2）解：如图 2 中，连接 .在 中， ， ，在中，设在，则中，（3）解：如图 3 中，连接 ，作 于 .，当当 与，的面积最小时，四边形重合时，点 到直线的面积最小，的距离最小，最小值，的面积的最小值 ，四边形 的面积的最小值为 .【解析】 【分析】（ 1）当 BEF=45时，易知四边形 EBFH是正方形，求出 EM， EH 的长即可解决问题 .（ 2）如图 2 中，连接 DE.利用勾股定理求出 DE， DH，设 BF=FH=x，在 Rt DFC中，利用勾股定理即可解决问题 .（ 3）如图 3 中，连接 AC，作 EM AC 于 M.利用相似三角形的性质求出EM，由 S四边形 AHCD=S 6 8=24，推出当 ACH的面积最ACH+SADC