竹简文书对古代中国数学的影响.docx

1、竹简文书对古代中国数学的影响竹简文书对古代中国数学的影响简、算筹对古代中国数学的影响 中国独特的竹文化之三 内容提要本文以为，古代中国采用了以竹简为书籍的文字记录和传播方式，无益于数学的笔算和几何作图与论证。这种客观物质条件致使了古代中国产生利用算筹的计算方式，而且采用文字叙述方式而不是以算式表达方式来论述数学问题。这是形成 “文辞型”的古代中国数学模式的操作技术性原因。关键词：竹简、算筹、记数一关于“竹文化”的界说 所谓“竹文化”指的是在中国从古至今世世代代使用竹材，进而培植竹类，所形成和积累起来的与竹密切相关的物质生活习惯，甚至物质生活方式，竹材竹具的加工制作技术乃至于制作艺术，以及在这种

2、“形而下”的“以竹为器具”的物质生活方式下所形成的“形而上”的相关思想意识和社会观念的总和。 中国独特的竹文化， 在于“独特”二字，在于民族的特色。在生活方式上突出表现为用筷子吃饭而有别于用刀叉作食具或以手撮食的民族；在知识的记录、积累和传播方面，表现为使用竹简当作最早的通用文字载体并形成简策制的书籍形制；用竹杆毛笔作为传统的书写工具，形成了中国特有的汉字书法艺术；简策和竹管毛笔、墨等书写工具的综合作用又影响了汉字字形字体和行文格式以及文体文风；在科学方面，则形成了以算筹运算为基础的中国代数型数学体系；在汉字体系里也形成了一个“竹”字部首的字集合。竹，对中华传统文化有着深刻的影响，竹文化具有深

3、刻的内涵。在物质生活方式方面，各种各样的竹器竹具以及制造它们的工艺技术，一直广泛流传使用到今天；而竹对中华传统文化影响最大的还在于对中国的文字、文体、书籍形制方面；在于对中国的传统数学方面，并通过文字和数学进而影响了中国古代和近代自然科学的发展。 笔者对竹文化的探讨可分为竹对中国先民物质生活方式和生产劳动的影响，竹与中国古代的信息表达与记录方式，竹与中国古代的传统数学三大部分，并分别论述竹与中国传统文化的关系。二竹与中国古代的传统数学 数学在中国古代称作算术或算学。传统的中国数学是以研究问题的数量关系、求解问题的运算方法和最终求得问题解答的数量结果为其特点，即偏重对于数的研究；而对于数学的另一

4、个重要领域，即对几何图形的研究，则是中国传统数学里的薄弱部分。 本文的任务不是去研究中国传统算学的性质及特点，而是试图阐述，在形成传统数学的历史过程里，古人所能获得的与数学研究有关的物质条件是如何影响和限制了他们的研究手段，甚至影响了他们的研究思维方式，这是形成中国传统数学体系的状况的重要原因。 传统数学的运算方法和数的表示法 数学从其雏型产生之时起，就有一个如何表示数，如何作数的运算，如何记录运算过程和计算结果的“操作性”问题。这里不是指数学本身的学术性问题，所谓操作性，是近年才见诸报刊的一个新术语，用以说明某一法律规定或技术方案等在社会实践中贯彻执行的方便与否，本文借用这一新概念来研究中国

5、数学史上的客观物质条件对数学的影响。远古的计算方法在今天已湮灭无考，但在上古时期汉字形成之初，采用竹简木牍来记录文字信息的技术条件下，对于数的运算和记录也必然遵从于利用竹木材料这一客观物质条件的制约。我国现存最先的算术书籍，是1983年12月-1984年1月在湖北江陵张家山西汉吕后时期墓葬出土的竹简算数书，中国大百科全书数学卷1彩图P47就有这部竹简算数书的照片。此算数书大约有二百支竹简，出土时一百八十余支较为完整，十余支残缺，在一支竹简的背面有“算数书”三字，当是该简册的篇名2。由于要尽可能减轻简册书籍的重量，也为了充分利用制简的竹材，竹简都作成很薄的窄条，每一支竹简上只能写一行字，算数书的

6、形制也盖莫如此。单行的竹简和厚重的木牍都不适合看成数字运算进程的书写载体，咱们的先人发明了算筹这种计算工具，用算筹席地布列算式，依照数的运算规律通过改变算筹的数量，慢慢完成数的运算而取得最终的运算结果，再把计算结果用专门的数码符号记录在简牍上。“筹”字繁体作“籌”，说文释为“壶矢也”，徐锴系传：“投壶之矢也，其制似箸”，这说的是古代宴饮场面上一种以决输赢的游戏器具。在数学运算中，一把削制整齐、尺寸一致的小竹筹用来布阵列数，用筹的数量转变来表示运算数的转变十分直观明了，对筹的运算操作也简单易行，于是在中国进展起了以筹算为基础的数学计算。说文竹部前后排列有两个同音异形的字“筭”与“算”，对于前一个

7、“筭”字的训释为“长六寸，计历数者，从竹从弄，言常弄乃不误也。”。清桂馥义证：“汉书律历志：其筭法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握”。那个字表示的是对计算工具称呼，是名词。对于后一个“算”字，说文：“算，数也，从竹从具，读若筭。”清段玉裁注：“从竹者，谓必用筭以计也。从具者，具数也。”这后一个算字是动词，表示用器具来作数的运算。古代除用筹、筭来表示计数的算具之外，策字也有这种意思，段玉裁在说文解字注竹部里注有：“策犹筹，筹犹筭”。老子第二十七章有“善数不用筹策”之说。筹算的方式巧妙而妥帖地解决了古代在窄条竹简或厚重木板上作计数运算不方便的困难，算筹成了方便得力的计算工具而取得

8、了普遍的应用。 在中国大百科全书数学1“记数法”条下，介绍了中国古代的记数法。现在所知的中国最早的记数符号体系见于甲骨文，约形成于公元前16-11世纪。甲骨文里的数码是十进位非位值制数系，独立的符号共发现了十三个，甲骨文、金文和说文里关于数的记录书写符号分别如下(AUTO CAD绘制，图1)：3 竹算1 数码符号.JPG KB)古代中国的数码符号2007-4-6 23:10十以上的数码字还有百、千、万，它们的古文字形如下（图2）： 竹算2 数码百千万.JPG KB)数码的百千万级2007-4-6 23:10 甲骨文里的记数采用一种特别的乘法组合规则，将十、百、千、万作为单位词，对十以上的数字多

9、用合文来写，例如五百、四千、三万等等。在筹算法产生以后，为避免在算板上相邻两位数的筹策混淆在一起，采用了纵横有别的两种筹式（AUTO CAD 图3）： 竹算3 算筹的示数方式.JPG KB)用算筹示数2007-4-6 23:10 布筹时，纵横相间，如上述67823表示法。但是，在竹简木牍上记录的数字符号则随着汉字符号体系的演变而最终形成了中国式的数码：一二三四五六七八九十零，这十一个数码符号也被列入汉字的范畴而载于古今的各种汉字字典，并且在西方近代数学传入中国之前，中国传统的数学书籍都是用中国式数码记数。 用算筹来表示数，并作为计算的工具，这实际上是人用手指头计数的自然方式的延伸和扩展，因而古

10、代中国很自然地采用了十进位制和数位制相结合的记数体系。这种记数体系比古代巴比伦的六十进位制，比罗马字记数法无疑要优越得多，而且筹算法以及后世在此基础上发明的珠算法也给古代中国的数字计算极大的方便，促使形成了古代中国独特的数学体系。 竹简记数、行文，筹算方法对中国传统数学的影响.墨经几何学的夭折 许多中国和外国关于中国数学史的研究者都注意到，中国传统数学的一个重要特点，就是偏重于代数学，长于对数的运算及计算方法的研究；但是疏于几何学，很少注意对几何图形性质的研究，缺乏欧几里得几何那种推理演绎的体系。中外关于中国数学史的研究者们还都注意到，中国古代并不是没有过类似欧氏几何的某种萌芽，包含这些幼芽的

11、命题见于墨经4,5，如： 经上54：中，同长也。 经说 ：中，心，自是往相若也。 （经：圆有一个中心，从圆心引到圆周上任一点的距离长度相同；） （经说：圆心就是这种图形的中心，从圆心往圆周的路径处处相等。）这与几何原本第一卷第十五和第十六个定义相当（4P21）； 经上52：平，同高也。 经说 ：平，谓台执也，若弟兄。 （经：平行线之间的高度相同。） （经说：平行线就好比共同抬东西时的抬杠，也好比弟兄在家族里的名分。）这与几何原本第一卷第三十和三十一定义、第二卷第一定义相当（4P20）。墨经几何学最终未能在中国进展起来，除众所周知的“罢绌百家，独尊儒术”等政治、社会的原因外，笔者以为，在竹简上行

12、文的操作方式使墨派的学术思想，包括推理演绎的逻辑论证表达得不够充分，也是墨派科学思想无法为社会普遍了解、流传和同意的重要操作性原因。 第一，几何学是研究图形性质的，这门学科的理论论述除文字叙述之外，还必需辅之以图形的表示。但是在竹简书册上表达几何图形则显然超级困难。从操作技术的角度去看，在春秋战国时期的物质条件下撰写墨经，采用缣帛载体或木版载体比采用竹简载体更利于几何图形的表达。可是，这种对于书写材料的“挑剔性”要求，无论对于墨派学术的撰写者仍是墨经的传抄者都是一种专门大的限制。为了进一步说清这种限制，不妨假设，最初的墨经曾有可能有附图，是记录在木版或缣帛之上，这正如出名的墨子救宋的故事里，墨

13、子和公输般用腰带围作城池，用木块比作攻城兵械而进行攻防演战的论争一样，有一些学术主张是需要用图形或模型来佐助语言文字的表达。此刻存世的出土文物，战国时期的楚国帛书11就可看到那时图文共写并载的实际情形。但是，当墨经的某些传抄者只有竹简可供抄写时，这种传抄的结果必将损失掉了那些不便于在竹简上记录表达的图示内容。墨经通过纸前时期历代的传抄，只遗存下了能在竹简上比较方便地表述的纯文字性条文，抄写是方便了，可是失却了图形配合的墨经条文却变得超级抽象而晦涩难懂。笔者以为，是竹简载体这种物质条件“夺去”了墨经的学术活力，扼制了以墨经为代表的中国古代公理演绎的学术思维方式的传播和进展。 对照西方古代的几何学

14、抄本，在中国大百科全书教育卷12彩图P57的下图，是古代埃及的抄写本数学教科书, 该书抄在古埃及纸莎草质的“纸”载体上，横行排列, 成行的文字里插画着两幅跨越数行的三角形几何图形6。欧几里得的几何原本原书虽己失传，但在羊皮“纸”上和后世在植物纤维纸上传抄下来的欧氏几何体系的书籍，都无一不绘有几何图形。 同墨派几何学一样，墨家学派关于几何光学的学术思想也受到了在竹简上表达的限制。 其次，几何作图还得有作图的工具。远古时代，中国就有了作图的规和矩，山东嘉祥县汉武梁祠的石室造像里就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”的石刻画3; 墨子卷七天志上第二十六有“轮匠执其规矩，以度天下之方圆”之说。然而，这里的

15、规和矩是作为一种生产工具而使用；若要把规和矩用作研究几何图形性质的书面作图工具，用毛笔在简册上画几何图形也会碰到操作上的不方便。因而，在仅用毛笔和竹简作为记录文字信息的传统工具的古代中国，先民们不可能超越当时客观物质条件的限制去创造欧氏几何那种尺规作图的学术体系。 古代中国未能发展出以公理为基础的演绎几何体系的第三方面操作性原因，在于（在文字初创阶段就受到简牍、甲骨、陶器等实用载体记载面积有限的制约而形成扼要、简略记事的文风13的）书面语文体,也就是文言文未能把墨经里关于几何学的最基本概念精确地表达清楚，因而类似欧氏几何学那样从基本公理出发作演绎推理来论证问题的研究和表达方法，在古代中国的应用

16、受到了削弱。前述墨经里关于平行的概念和平行线的阐述解释，“经说：平，谓台执者也，若弟兄”就是典型的例子。墨经对于“平行”阐述为“若弟兄”，英李约瑟的中国科学技术史（也许还要加上李书的中译者）理解并表述为：这好比两个像兄弟一般同样高矮的人，在肩膀上合抬一根木条（4 P207）。谭戒甫的墨经分类译注5则理解为“若兄弟名分相等一样。”不同的读者有不同的理解，这就削弱了墨经几何演绎推理的准确性，掣肘了墨派学术观点的推广。筹算法与没有数学符号的中国代数学 如前所述，古代的筹算方法是在心算不敷应用，而简牍载体上又无法创造出笔算法的物质条件下，我们的祖先所发明的一种“变通”的、适应环境的计算方法。筹算，使古

17、代的中国人掌握了一种在当时相当先进的计算方法，用筹算不仅可以计算繁难复杂的数学问题，甚至扩展到军事领域和政治领域在筹算板上演兵布阵、制定谋略，以致在史籍里留下脍炙人口的“运筹策帷帐之中决胜于千里之外”的千古名句。现代汉语里还使用着“筹划”、“筹谋”、“筹措”等语汇。 筹算法形成和发展出了古代中国独特的代数学体系。形形色色的数学计算问题来源于人类社会生活的各个方面，而当数据列到了筹算板上，变成了位置确定、数量确定的算筹集合，这就形成算筹所列出的算式，不同的计算量（如粮食的收成、马行的路程、韩信点兵的人数等等）在筹算板上获得了形式相似的列阵，算筹在板上的习惯性固定位置就成为一种用位置来表示的代数符

18、号。笔者所见到的一些中国数学史研究文献，不约而同从九章算术方程里摘引了第一个问题4,7,8,9: 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问：上、中、下禾实一秉各几何。按照九章的“术曰”来筹算，布列如下(AUTO CAD)： 竹算4 算筹的布阵方式.JPG KB)2007-4-6 23:19用现代代数方程表示为： 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26显然，在这个谷物产量的数学问题里，算板上的上中下行位置分别具有了现代数学的xyz代数符号功能。李约瑟认为，中国古代的代数学是一种“

19、文辞的”和“位置的”代数学（4P252）。所谓“文辞的代数学”，指完全用文字写出的代数学，不使用数学符号；“位置的代数学”，如上所述，是用数在筹算板（或后世有纸以后在纸上写出的筹式阵列）上的布列位置来表示数的种类或性质（未知数、总量、幂、乘数等）。上述计算谷产量的问题，在筹算板上经过一系列运算可以得到如下阵式(AUTO CAD) 竹算5 筹算法解方程的运算结果.JPG KB)2007-4-6 23:19这就是用逐步消元法所得到的方程组： 3x+2y+z=39 5y36=2436-99 36z=99最终得到“上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三”的书面纯文

20、字性答案。 在长期的筹算中，积累并形成了运筹规律的口诀，如元朱世杰的“九归”除法：二一添作五，逢二进成十（3 P106,P163），口诀有助于初学者更快地掌握筹算的操作方法，在口手协同配合下，也提高了筹算的速度和准确性，当筹算在元明之际发展成为珠算时，一些筹算口诀也自然成为了珠算口诀沿用至今。 筹算的方法使我们的祖先在不便发展笔算的物质条件下获得了计数运算的另一种方便与快捷，发展成为以算筹在算板上的位置来代表符号的“位置代数学”体系，这种筹算制度在春秋战国时代是非常巧妙而先进的办法。但是，正如李约瑟反复指出的那样，“这种领先的发展有时要以日后的停滞为代价。”（4P19，P152，P286） 第

21、一，这种用位置来表示数的性质的方法满足了对于数学问题答案的求解后，形成了惯例沿用下来，失去了创造书面代数符号的学术动力，使中国的代数学长期停留在文辞代数和位置代数的水平上，没有发展出更先进的符号代数学。因而，传统的中国数学经典著作实际上都“更象是一本数学问题集”（8P226）。九章算术包括264个数学问题以及解决这些问题的答案和讲述运算方法的文字，但是却没有相同类型的数学问题的通解公式。著名的“韩信点兵”的计算问题最早收录在孙子算经里，这类问题也受到许多古代数学家的研究，宋周密叫它“鬼谷算”，又叫“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；秦九韶发现了另一种新的算法，称为“大衍求一术”；外国人一般称之为“

22、中国剩余定理”。在中国传统的数学里，“韩信点兵”的计算方法是用文字来叙述的，甚至发展成为一首颇具韵律的七绝歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”（9P130）缺乏符号的代数学不便对数学问题作进一步的理论分析与探讨，掣肘了中国数学的发展。用文字叙述的“韩信点兵”一类在古代较为复杂疑难的问题，当用现代数学的符号来表述，甚至可以写进初中生阅读的科普读物十万个为什么，而且对答案性质的分析，对于算法的探求，其理论的深度和广度特别是其明白易懂的程度，都远远胜过算经古书。 本文这样论述古代缺乏符号的代数学对中国传统数学的影响，丝毫没有贬低我们的祖先或者苛求前人的意思；相反

23、，笔者处处设想自己要是处于当时那样的用毛笔写字、竹简木牍记录，算筹棍来布数、摆弄、变化，是会碰到多大的不方便；为了克服这些不便，古代数学家们付出了多大的心血和努力，才在客观物质条件可能的情况下，创立了古代在世界上遥遥领先的中国代数学。而且，笔者还认为，对于中国的科学技术在十五世纪以后的停滞和落后，也必须从传统文化方面去寻找原因，找出影响和限制中国科技发展的传统观念（有些是成文的，更有好些是不成文的，而且至今还未意识到的）和其它社会条件。 第二，筹算成为传统的计算方法后，传统的观念会使人在一定程度上不知不觉地按着传统办法去解决问题，而不去考虑创新，特别是当传统的办法还有用武之地的时候。当纸发明后

24、，有了在纸上作笔算的物质条件，但是纸并没有给筹算带来革命性的变化；相反，传统的筹算观念仅只是把对计算结果的记录从竹简上搬到了纸面上。 第三，在筹算板上的每一步演算都在改变着算板上算筹布列的状态，直至得到所求问题的最终答案。筹算过程的中间步骤不可能每一步都记录保留下来，这对于核对运算，对于运筹者总结运算经验，对于从解题过程中去探求数学理论，进行分析和比较都极为不利。 传统的中国数学未能发展出符号代数学，还与中国文字汉字的性质有关。汉字是一种有笔画结构的二维文字符号，每一个字都要讲究形、音、义。在这种符号观念的影响下，为了科学的需要而发展起来的符号往往也被文字化，纳入汉字的体系，如天干地支、阴阳卦

25、爻、汉式数码；或是用现成的汉字来代表，如用天、地、人、物来代表四元方程的四个未知数，音乐里采用工尺谱；在这种符号观的影响下，中国古代甚至没有汉文书面语的标点符号。设想，如果用“天”“地”“人”来表示前述的上禾中禾下禾，用汉字来表述形如 X+2Y+3Z=39 的方程： “一天并二地并三人实三九”，这样的“数学符号”和“数学式”仍然不能突破“文辞代数学”的范畴，不具备后世数学符号语言那种直观、简单、明嘹的性能。从世界范围看，数学科学的长足进步和迅猛发展，是在出现了合理简明的数学符号和科学的数学语言之后。 中国古代记数的十进数位值制是横排的，由左向右，多位数的筹码表示也是横排的，如 3688 竹算6

26、 算筹示数的横排右行方式.JPG KB)2007-4-6 23:19。当数学上的横排行文方式与汉文的传统竖排方式发生矛盾时，数学领域的小范围习惯服从了社会文化的大传统行文方式采用竖排，而文中的筹式数码占用多个竖行位置来横排，这种版面格式可见朱世杰四元玉鑑的木刻版本（4 P293）。陕西省图书馆古籍部藏清代光绪丁酉年间刻印的算式辑要，由英国傅兰雅口译，元和江衡笔述，哈司韦辑录，长沙影珠山庐刘氏家藏，笔者用现代CAD技术将书里一段叙述几何问题，计算棱锥体表面积的版面布置转绘如下面框内。 竹算7 近代数学横排与中国传统的竖排.JPG KB)光绪年间的数学书版式2007-4-6 23:33 当西方近代

27、数学传到中国时，在中国产生了外来文化与传统文化的猛烈碰撞。明末万历年间徐光启着手与意大利传教士利玛窦合作，将欧几里得几何原本译为汉文。如果按照原文原本的横排方式行文，显然能更方便和准确地表达原文，但徐光启时代中国没有横排行文的书籍，假若突然出现横排的几何原本汉译本，中国的知识界对此陌生，有可能首先就因为形式上的“怪异”而接受不了内容；原文里表示几何位置的拉丁字母代号如果原样照搬到汉译文中来，从未接触外文字母的中国知识界也有可能因为符号的生疏而加大学习和接受的难度。起码，有这两点操作手段上的原因，徐光启的译文要采用传统的竖排格式并且用干支、五行、八卦的汉字来代替原文里的字母，标识在图形里的位置。

28、同样的行文表述方式和书籍版面图文布置，也可在徐光启撰著的农政全书石声汉校注版本（上海古籍出版社1979）里看到。 徐光启之后随着西方近代科学著作汉译的增多，传统的汉字行文格式与西方数理化学科表达格式的矛盾日渐突出。如果说，对于第一个先驱者徐光启来说，竖排、干支符号用字或许包含有自然而然按照传统行文习惯作法的因素，那末后继的翻译者自然会以徐光启的格式为准绳去行文表达，形成服从于旧传统的新“惯例”乃至新习惯。更有甚者，晚清时代，在各种社会因素综合作用下出现的“保持国粹”的观念，还会把原本不得已而为之的不自觉行为变成有意识的、偏颇性的自觉行为，其客观上的结果，是延缓了近代数学和其它自然科学在中国的生

29、根和发展。三竹文化研究的简短结语 竹文化论文叙述了竹在中国古代社会生活的各方面的应用情况和发挥的重要作用，以及在汉字体系里记录和反映竹的作用而形成的竹部汉字集合。竹的种植、加工，竹器竹具的制造技术乃至于精巧的艺术；用竹简、竹管毛笔来记录文字影响了汉字的形体，形成了古代书籍的简册制度和汉文的竖排行文格式；竹管民族乐器造就了中国传统的民族音乐；而且用筹策作为计算工具，在简册上记录数学问题和计算结果的操作方式，形成了中国独特的数学体系，这就是中国独特的竹文化。在中国古代传统哲学里，有“形而上者为之道，形而下者为之器”（见易经系辞上）的对后世产生深远影响的观点，笔者的叙述只偏重于竹的“形而下”的方面即

30、物质文化方面；由竹而衍生出来的“形而上”的方面亦即精神文化方面，如古人赞竹的“虚心、高节、久而不改其操”，把竹比作岁寒三友之一，比作四君子之一等等，则限于笔者目前的知识结构，目前还缺少对于竹的人文精神的理解，对竹的“形而上”的一方面认识不深，待今后再努力学习奋力著文。在探讨中国的竹文化过程里笔者把自己的陋室称作“笋竹斋”，盛赞笋这种萌芽形态竹的极强的生命力和巨大的经济作用、文化价值以及对中华民族的特殊奉献生力掀石，成林参天，史算留踪，入席是珍。 通过对竹文化的研究，可以看到，在我们的民族形成之初，自然环境条件给予我们祖先的物质生活资料的种类和形态，决定了我们祖先原始的生产劳动方式和生活行为方式，形成了生产劳动和物质生活最初的种种习惯，而这些行为方式和习惯又经过历代的继承发展和推论演绎，形成为一定的风俗、传统，即一定的文化现象。自然环境与我们的生产资料、生活资料的关系，与我们生产劳动方式、生活行为方式之间的关系，并由生产劳动和生活行为决定着我们的物质生活方式与精神文化形态，其中的关系如下框线图所示。 竹算8 环境与文化.JPG KB)远古环境对中华文化的影响2007-4-6 23:33这些方面综合起来，初步形成了一个民族最初的文化特色和传统；这些最初的行为方式和思