有关极值点的几个题目.docx

1、有关极值点的几个题目关于极值点与零点的几个题一 解答题(共7小题)1已知函数f 3二汎Im遗J + 1 (1)若y=f (乂)在(0, + %)恒单调递减，求a的取值范围；(2)若函数y=f (x)有两个极值点xi, X2 (xivx2),求a的取值范围并证明xi+x 2 2 2.已知函数f (x) =xlnx x2 - x+a (a R)在定义域内有两个不同的极值点(1)求a的取值范围；(2) 记两个极值点xi , X2，且X1V X2，已知入,若不等式xi?x2 e1+入恒成立，求入的取值范围.3.已知函数 f (x) =ln ax2+x ,(1)讨论函数f (x)的极值点的个数;(2)若

2、 f (x)有两个极值点 X1, X2，证明：f (X1)+f (X2) 3 - 4ln2 .24已知函数f (X)八八L (e为自然对数的底数)| ex |(1)若a二占，求函数f (x)的单调区间；(2)若f (1) =1，且方程f (x) =1在(0 , 1)内有解，求实数a的取值范围.5 .已知函数 f (x) =lnx - ax.(I)若函数f (x)在(1 , + x)上单调递减，求实数a的取值范围;(H)当a=1时，函数有两个零点 X1，X2，且X1 V X2.求证:X1+X2 1 .6.已知 f (x) =ln (mx+1 ) - 2 (m 却).(1)讨论f (x)的单调性；

3、A(2)若 m 0，g (x) =f (x) + 齐7存在两个极值点 X1，X2，且 g (x1) +g (X2)V0，求m的取值范围.7 .已知函数 f (x) =x (lnx - ax) (a R)，g (x) =f ().(1)若曲线y=f (x)在点(1，f (1)处的切线与直线3x - y -仁0平行，求 实数a的值;(2)若函数F (x) =g (x) +丄X2有两个极值点X1 , X2,且X1V X2，求证：fl-l(X2 ) - 1 V f ( X1)关于极值点的几个题目-有点难参考答案与试题解析一 解答题(共7小题)1.(2017?达州模拟)已知函数 -(1)若y=f (乂)

4、在(0, + %)恒单调递减，求a的取值范围；(2)若函数y=f (x)有两个极值点xi, X2 (xivx2),求a的取值范围并证明xi+x 2 2 .【分析】(1 )求出函数的导数，问题转化为 xE (0, +8)，令y JilSin.G)二垃也(0，+8),根据函数的单调性求出g ( x )的最大值，从而求出a的范围即可；(2)求出函数f (x)的导数，令F (x) =f (x) =lnx - ax+1，求出函数F (x)的导数，通过讨论a的范围求出a的范围，证明即可.【解答】解：(1)因为 f (x) =lnx - ax+1 (x 0)，所以由f (x)g (1) =1，即得：a1(5

5、分)(2)函数y=f (x)有两个极值点X1，X2 (X1V X2)，即y=f (x)有两个不同的零点，且均为正，f (x) =lnx - ax+1 (x0)，令 F (x) =f (x) =lnx - ax+1，由尸二丄-且工 G0)可知1） aO时，函数y=f （x）在（0 , + %）上是增函数，不可能有两个零点.2） a 0时，y=F （x）在丄）是增函数在a此时二 为函数的极大值，也是最大值.a *当XO时，最多有一个零点，所以卩（丄）二1门丄0才可能有两个零点,a得：0 v a v 1(7分)2 n令 $ Ca)=3-21na ，(a)=+调递增,2所以 (a)v( 1) =3 -

6、 e2,即 j IIa综上，所以a的取值范围是（0 , 1 ）-（8 分）F面证明X1+X2 2由于y=F （x ）在（山 丄）是增函数在丄，）是减函数，1-，可构造a a 1 aa1 2i i打 G)二TP羽二 F 2、0x x u )a a故m （x）在区间0,丄上单调减.又a由于二1 am（ Am（丄）二0 ,丄 a即有m ( X1 ) 0在（0, 土）上恒成立，即有a由于一-丄-x 1 , y=F （x）在（丄* +）是减函数，所以1 a a所以, -，- 1一成立1 疋 a分）【点评】本题考查了函数的单调性、 最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思 想，转化思想，是一道综合题.2.（

7、2017?天心区校级一模）已知函数 f （x） =xlnx x2 - x+a （a R）在定义域内有两个不同的极值点（1） 求a的取值范围；（2） 记两个极值点xi, X2，且xiv X2，已知入0,若不等式xi?x2入e+刀恒成立，求入的取值范围.【分析】（1 ）由导数与极值的关系知可转化为方程f x) =lnx - ax=0 在(0，+ X）有两个不同根；再转化为函数 y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+ x） 上有两个不同交点;如图示:可见，若令过原点且切于函数 y=lnx图象的直线斜率为k，只须0vavk.令切点 A (xo, Inxo),故 k=y |x=x o=Eo,又k=1

8、1 mtn故 = ，解得，xo=e ,故k=1，故0v av丄；(2)因为 e1+Vxi?x2入等价于 1+ 入 Vnxi+ Alnx2.由（1）可知xi，X2分别是方程Inx - ax=0的两个根,即 Inx i =ax i, InX2=ax2所以原式等价于1+入vaxi+ Aax2=a (xi+ Zx2),因为入0, 0 vxi vX2,所以原式等价于 a 一y-y,又由 In x i =ax i, In x 2=ax 2 作差得，In =a (xi - X2),x2所以原式等价于因为0 vxi vX2，原式恒成立，即(1+ 人)v X 1 +丸巳恒成立.令 t= , t ( 0, i),

9、则不等式lnt V 在t ( 0 , 1)上恒成立.t+ A令 h (t) =lnt - , t ( 0 , 1),t+入又 h，tO 二亠 T I：,tG+X)2当 X 1 时，可见 t ( 0, 1)时，h K) 0 ,所以 h (t)在 t ( 0, 1 )上单调增，又 h (1) =0 , h (t )V 0 在 t ( 0, 1) 恒成立，符合题意.当 X V 1 时，可见 t ( 0，入2)时，h to 0，t (入2，1 )时 h tov 0， 所以h (t)在t ( 0 ,X)时单调增，在t (X2，1 )时单调减，又h (1)=0，所以h (t )在t( 0，1)上不能恒小于

10、0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式e1+ Xvx1?x2入恒成立，只须X1，又入,所以入 .【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论， 转化思想，数形结合的思想方法的应用，是一道综合题.3.(2017?湖北模拟)已知函数f (x) =ln - ax2+x ,(1)讨论函数f (x)的极值点的个数；(2)若 f (x)有两个极值点 X1, X2，证明：f (X1)+f (X2) 3 - 4ln2 .【分析】(1 )求出函数的导数，通过讨论 a的范围，得到函数的单调区间，从 而求出函数的极值的个数；(2)根据X1, X2是方程2ax2 - x+仁0的两根，得到k十七二三, “工2二扌 ,

11、求出f (X1) +f (X2),根据函数的单调性证明即可.【解答】解：(I )由得：+X2二畑 +K-1 ,迁(Of 心)x ( 0, 1 ),f x)v 0, X a=0时，曲山号显然，xi 0, X2V 0 ,A U- I) fQXOi x(u +8),f (X )在x=x i取得极小值，f ( X )有一个极小值点.(iii) a0 时，少1 - 8aO 即丄时，f ()0, of (x)在(0, + x)是减函数，f (x)无极值点.当 0a 0，令 f X) =0,得8 1 4a当 x (0 , xi) 和 x ( X2, + x) f x)v 0, x (xi , X2)时，f

12、() 0 ,f ( x )在xi取得极小值，在X2取得极大值，所以f ( x)有两个极值点.综上可知：(i) a0时，f (x)仅有一个极值点;(ii) 当二一一时，f (x)无极值点;(iii)当。a 3 - 41 n2 .思想，是一道综合题.4.(2016?包头校级三模)已知函数f (x) = . (e为自然对数的底数).(1)若a=，求函数f (x)的单调区间；(2)若f (1) =1，且方程f (x) =1在(0，1)内有解，求实数a的取值范围.【分析】(1 )若a=，求函数的导数，禾U用函数单调性和导数之间的关系即可 求函数f (x)的单调区间；(2)根据函数与方程之间的关系转化为函

13、数存在零点问题，构造函数，求函数 的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可.【解答】解：(1 )若 a= =，f (x) = (x2+bx+1 ) e - x，则 f x) = (2x+b ) e-x -(x2+bx+1 ) e -x= - x2+ (b - 2) x+1 - be -x=-(x- 1) x -(1 - b) e -x，由 f x) =0 得(x - 1) x -(1 - b) =0，即 x=1 或 x=1 - b，1若1 - b=1 ,即b=0时，f () = -(x - 1) 2e _xo，此时函数单调递减，单调递减区间为(-K, + %).2若 1 - b

14、 1，即 b v 0 时，由 f ( = -(x - 1) x -(1 - b) e -x0 得(x -1) x -(1 - b) v 0，即 1 v x v 1 - b ,此时函数单调递增，单调递增区间为(1, 1 - b),由 f () = -(x - 1) x -(1 - b) e -xv0 得(x- 1) x -(1 - b) 0，即x v 1，或 x 1 - b，此时函数单调递减，单调递减区间为(-X， 1)， (1 - b， + )，3若 1 - b v 1，即 b 0 时，由 f ( = -(x - 1) x -(1 - b) e -x0 得(x -1) x -(1 - b) v

15、 0，即 1 - b v x v 1，此时函数单调递增，单调递增区间为(1-b，1 )，由 f () = -(x - 1) x -(1 - b) e -xv0 得(x- 1) x -(1 - b) 0，即 x v 1 - b，或 x 1，此时函数单调递减，单调递减区间为(-， 1 - b)， (1， + ).(2)若 f (1) =1，则 f (1) = (2a+b+1 ) e-1=1，即 2a+b+1=e ，则 b=e - 1 - 2a，若方程f (x) =1在(0，1 )内有解，即方程 f (x) = (2ax2+bx+1 ) e-x=1 在(0， 1 )内有解，即 2ax2+bx+1=e

16、 x 在(0，1 )内有解，即 ex- 2ax2- bx -仁0 ，设 g (x) =ex - 2ax2 - bx - 1，则g (x)在(0，1)内有零点, 设X0是g (x)在(0, 1 )内的一个零点, 则g (0) =0 , g (1) =0 ,知函数g (x)在(0, xo)和(xo, 1)上不可能单 调递增，也不可能单调递减，设 h( x) =g x),则h (x )在(0, xo )和(xo, 1)上存在零点，即h (x )在(0, 1)上至少有两个零点，g x) =ex - 4ax - b , h () =ex - 4a ,当a斗时，h X) 0 , h (x)在(0 , 1

17、)上递增，h (x)不可能有两个及以 上零点，当a订时，h X)v 0 , h (x)在(0 , 1 )上递减，h (x)不可能有两个及以 上零点，当*v a v时，令 h x) =0 ,得 x=ln (4a)( 0 , 1),则 h (x)在(0, In (4a)上递减，在(In (4a),1 )上递增，h (x)在(0 ,1)上存在最小值h (In (4a).若 h (x)有两个零点，则有 h (In (4a) v0 , h (0)0, h (1 )0, h (In (4a) =4a - 4aIn (4a)- b=6a - 4aIn (4a) +1 - e, 带a专5 3设 (x) x -

18、 xlnx+1 - e , (1 vx ve),贝打x)=亍-Inx ,令 x) =_- Inx=0，得 x= . l,当1 v x v .-时， () 0，此时函数( x)递增，当-Y xv e时， () v 0，此时函数( x)递减，则(x) max = (. l) = l+1 - ev 0,则h (In (4a) v0恒成立,由 h (0) =1 - b=2a - e+2 0, h (1) =e - 4a - b 0,得工v a v2 2当罟 g ( 0 ) =0 ,g (X2) V g (1) =0 ,则g (x)在(X1 , X2)内有零点，综上，实数a的取值范围是(厶,肓)-【点评

19、】本题主要考查函数单调性和单调区间的求解和判断，利用函数单调性的 性质以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键. 综合性较强，难度较 大.5.(2016?宁城县模拟)已知函数f (x) =lnx - ax.(I)若函数(U)当 a=1f (x)在(1 , + %)上单调递减，求实数a的取值范围;时，函数：；. 1 .求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数 a，问题转化为:【分析】(I)当x 1时丄恒成立，解出即可;1 -ai【解答】解：（I）因为f （x） =lnx - ax，则二:y -tl-若函数f （x） =lnx - ax在（1 , + x）上单调递减,即当x 1时恒成立，所

20、以a 1. （5分）（II）证明：根据题意，百O二, 是函数吕（f） =lnx+-ithO , l.ri艾刁 idhO社2 x 2因为X1, X2是MI 1 1两式相减，可得W .-, 2”r的两个零点,(7 分)则1 - ax 0恒成立,故 h (t) v h (1),即上*一21门十 1. (12 分)【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，是一道综合题.6.(2016?河南三模)已知 f (x) =ln (mx+1 )- 2 (m 丸).(1)讨论f (x)的单调性；(2)若 m 0, g (x) =f (x) +一存在两个极值点 x

21、i, X2，且 g (xi) +g (X2)x+2v0,求m的取值范围.【分析】(1 )求出函数的导数，通过讨论 m的范围，确定函数的单调性；(2)求出g (x)的导数，通过讨论 m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，判断是否符合题意，从而判断出 m的范围即可.【解答】解：(1 )由已知得mx+1 0，f x)=， mx+11若 m 0 时，由 mx+1 0，得：x-，恒有 f () 0，mf (x)在(-丄，+ %)递增；2若 m v 0，由 mx+1 0，得：xv|，恒有 f x)v 0，f (x)在(-x， )递减；m综上，m 0时，f (x )在(-丄，+ x)递增，mv0

22、时，f (x)在(-x，-丄)递减；JT(2) g (x) =ln (mx+1 ) - 2，(m 0)，s+2g x) = 右，Cnnd-13 (i+2)Z令 h (x) =mx 2+4m - 4，m 1 时，h (x) 0，g ()0，g (x)无极值点,0vm v 1 时，令 h (x) =0，得:由g (x)的定义域可知x-且X工-2 , mXI, X2为g (X)的两个极值点,即 Xi= - 2 -,X2=2且 Xl+X 2=0 , X1?X2=I， mHl，得:2+ln (mx2+1 )4七+2g (xi ) +g (X2) =ln (mxi+1 ) + =ln (2m - 1) 2

23、+令 t=2m - 1, F (t) =lnt 21Ov m v丄时，-1 vt v 0,F (t) =2ln (- t) +手-2, F tO =)，I v 0 ,tF (t )在(-1 , 0)递减，F( t )v F (- 1 )v 0 ,即0 v m v亍时，g (X1) +g (X2)v 0成立，符合题意;2丄vm v 1 时，0 vt v 1 ,F (t) =2l nt+ 二-2 , F tO =； 1 v 0,t 十F (t )在(0, 1)递减，F (t ) F (1) =0 ,亍v m v 1 时，g (X1) +g (X2) 0，不合题意, 综上，m ( 0，寺)【点评】本

24、题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立 问题，考查分类讨论思想，是一道综合题.7.(2016 ?湖北模拟)已知函数 f (x) =x (Inx - ax) (a R), g (x) =f X)-(1)若曲线y=f (x)在点(1 , f (1)处的切线与直线3x - y -仁0平行，求 实数a的值；(2)若函数F (x) =g (x) +丄X2有两个极值点X1 , X2,且X1V X2，求证：f(X2 )- 1 v f ( X1)【分析】(1)利用导数的几何意义求切线斜率，解 a；(2)利用极值点与其导数的关系求出 a的范围，进一步求出f (x)的解析式， 通过求导判断其

25、单调性以及最值.【解答】 解：(1 )：f () =ln x 2ax+1 ,.f 1) =1 2a因为3x y 仁0的斜率为3 .依题意，得1 2a=3 ;则a= 1.(4 分)(2)证明：因为所以F X)=-xF (X)2a+x=g(x) +2x -2as+lx2=In x2-2ax+1+ 昇(x0)，函数 F (x) =g极值点X1，X2且X1 vX2，即h ( x) =x2 2ax+1在(0，+ x)上有两个相异零点 X1，X2 .X1X2 = 1 0，A=4a2-40a 1 .(6 分) 当 0 vxvX1 或 xX2 时，h (x) 0， F X) 0 .当 X1 vx vX2 时，

26、h (x) v0，F X)v 0.所以F (X)在(0，X1 )与(X2，+ x)上是增函数，在区间(X1，X2)上是减函数.2+1 因为 h( 1) =2 2a v 0，所以 0 v X1 v 1 v av X2，令 x2 2ax+1=0，得 a=，在(a，+ x)上单调递减,()v 0，所以f (X)在区间(1，+%)上单调递减.故 f (x) V f (1) = 1 V 0 .又 1 V a V X2,当0VxV1时，由s()=1-3x2因此 f (X2)V 1 .(10 分)30，得 0V xV由 s()=1-3x2V 0，得3Vx V1，所以 s (x)在0，_ 上单调递增，s (x) s (x)1上单调递减，V 0 ,.丁 (x)在(0 , 1)上单调递减,WSmax = lnf (x ) f (1) = 1，：X1 ( 0，1)，从而有f (X1 ) 1 .综上可知：f (X2) V 1 Vf (X1 ).( 12 分)【点评】本题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间和最值;查了讨论的数学思想，属于难题.