三角函数推导公式应用大全.docx

1、三角函数推导公式应用大全三角函数公式 编辑词条 添加义项名B 添加义项 ?三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。基本信息中文名称三角函数外文名称trigonometric function别 称三角函数公式应用学科数学、物理、地理、天文等 表达式sin，cos，tan等适用领域范围几何，代数变换提出者

2、中国，印度等数学家目录1相关概念2三角规律3特殊值4重要定理5常用公式6函数应用折叠编辑本段相关概念折叠相关概念三角函数的标准英文读音音正弦：sine（简写sin）sain余弦：cosine（简写cos）kusain正切：tangent（简写tan）tndnt余切：cotangent（简写cot）kutndnt正割：secant（简写sec）si:knt余割：cosecant（简写csc）kausi:knt正矢：versine（简写versin）v:sain余矢：versed cosine（简写vercos）v:s:dkusain直角三角函数直角三角函数 （是锐角）三角关系倒数关系：cot*t

3、an=1商的关系：sin/cos=tan平方关系：sin+cos=1折叠编辑本段三角规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。三角函数本质：根据三角函数定义推导公式根据下图，有sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为，BOD为，旋转AOB

4、使OB与OD重合，形成新AOD。A(cos，sin），B(cos，sin），A(cos（-），sin（-）OA=OA=OB=OD=1,D（1,0)cos（-）-12+sin（-）2=(cos-cos）2+(sin-sin）2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b)/2与（a-b)/2）单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。

5、根据勾股定理，单位圆的等式是：x2+y2=1图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于 cos和 sin。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin=y/1 和 cos=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。折叠编辑本段特殊值15183045607590 180sin（6-2）/4(5-1)/41/22/23/2（6+2）/41 0cos（6+2）/43/22/21/2（6-2）

6、/40 -1tan2-33/3132+30cot2+3313/33/32-3注：cos75=（6-2）/4（这四个可根据sin（4530）=sin45cos30cos45sin30得出）sin18=(5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半)折叠编辑本段重要定理折叠正弦定理正弦定理：在ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R其中，R为ABC的外接圆的半径。折叠余弦定理余弦定理：在ABC中，b2 = a2 + c2 - 2accos 。其中，为边a与边c的夹角。折叠编辑本段常用公式折叠诱导公式三角函数的诱导公式（六公式）公

7、式一：sin(+k*2)=sin （k为整数）cos(+k*2)=cos（k为整数）tan(+k*2)=tan（k为整数）公式二：sin(+) = -sincos(+) = -costan(+）=tan公式三：sin(-) = -sincos(-) = costan (-)=-tan公式四：sin(-) = sincos(-) = -costan(-) =-tan公式五：sin(/2-) = coscos(/2-) =sin由于/2+=-（/2-），由公式四和公式五可得公式六：sin(/2+) = coscos(/2+) = -sin诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。2或者也可以这样

8、记：分变整不变，符号看象限。折叠和（差）角公式三角和公式sin（+）=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos（+）=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan（+）=（tan+tan+tan-tantantan）/（1-tantan-tantan-tantan）（+/2+2k，、/2+2k）积化和差的四个公式sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-

9、(cos(a+b)-cos(a-b)/2和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)折叠倍角公式sin（3a)3sina-4sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina（1-sin2a)+（1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=

10、cos（2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a4sinasin（60+a)sin（60-a)=3sina-4sin3a=4sina（3/4-sin2a)=4sina（3/2）-sina（3/2）+sina=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin（60+a)/2cos（60-a)/2*2sin（60-a)/2cos（60+a)/2=4sinasin（60+a)sin（60-a)cos3a4cosacos（60-a)cos（60+a)=4cos3a-

11、3cosa=4cosa(cos2a-3/4）=4cosacos2a-（3/2）2=4cosa(cosa-cos30）(cosa+cos30）=4cosa*2cos(a+30）/2cos(a-30）/2*-2sin(a+30）/2sin(a-30）/2=-4cosasin(a+30）sin(a-30）=-4cosasin90-（60-a)sin-90+（60+a)=-4cosacos（60-a)-cos（60+a)=4cosacos（60-a)cos（60+a)tan3atanatan（60-a)tan（60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan（60-a)tan（60+a)三倍角si

12、n3=3sin-4sin3 =4sinsin（/3+）sin（/3-）cos3=4cos3 -3cos=4coscos（/3+）cos（/3-）tan3=tan（）*(-3+tan（）2）/(-1+3*tan（）2）=tan a tan（/3+a） tan（/3-a)其他多倍角四倍角sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4）tan4A=（4*tanA-4*tanA3）/（1-6*tanA2+tanA4）五倍角sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinAcos5A=16cosA5-20cosA3+5cosAtan5

13、A=tanA*（5-10*tanA2+tanA4）/（1-10*tanA2+5*tanA4）六倍角sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA2）cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA4-16*cosA2+1）tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5）/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6）七倍角sin7A=-(sinA*（56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6）cos7A=(cosA*（56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7）tan7A=tan

14、A*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6）/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6）八倍角sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）*(-8*sinA2+8*sinA4+1）cos8A=1+（160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2）tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6）/（1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8）九倍角sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2）*（64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3）c

15、os9A=(cosA*(-3+4*cosA2）*（64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3）tan9A=tanA*（9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8）/（1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8）十倍角sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA2+2*sinA-1）*（4*sinA2-2*sinA-1）*(-20*sinA2+5+16*sinA4）cos10A = (-1+2*cosA2）*（256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1）tan10A =

16、-2*tanA*（5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8）/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10）N倍角根据棣莫弗定理，（cos+ i sin）n = cos(n）+ i sin(n）为方便描述，令sin=s，cos=c考虑n为正整数的情形：cos(n）+ i sin(n） = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n- 4）*(i s)4 + . +C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(

17、i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . =；比较两边的实部与虚部实部：cos(n）=C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n-4）*(i s)4 + . i*虚部：i*sin(n）=C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . 对所有的自然数n：cos(n）：公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cos）表示。sin(n）：当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s

18、2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sin）表示。当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cos）的一次方无法消掉。例. c3=c*c2=c*（1-s2），c5=c*(c2）2=c*（1-s2）2）特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）证明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin（+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos（+a)/2 sin(a-）/2=sin（a+）*sin（a-）折叠坡度公式我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（

19、也叫坡比）， 用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.半角公式万能公式6辅助角公式注：该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等asin +bcos =(a2+b2)sin(+)，其中tan =b/aasinA+bcosB=根号下a方+b方（根号下a方+b方分之asinA+根号下a方+b方分之bcosB) 令根号下a方+b方分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方si

20、n(A+C)折叠双曲函数h a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+）= sincos（2k+）= costan（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（+）= -sincos（+）= -costan（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）= -tancot（-）= -cot公式四：利用

21、公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（-）= sincos（-）= -costan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2-）= -sincos（2-）= costan（2-）= -tancot（2-）= -cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2+）= coscos（/2+）= -sintan（/2+）= -cotcot（/2+）= -tansin（/2-）= coscos（/2-）= sintan（/2-）= cotcot（/2-）= tansin（3/2+）= -cos

22、cos（3/2+）= sintan（3/2+）= -cotcot（3/2+）= -tansin（3/2-）= -coscos（3/2-）= -sintan（3/2-）= cotcot（3/2-）= tan（以上kZ)Asin（t+）+ Bsin（t+） =(A+2ABcos（-） sint + arcsin (Asin+Bsin） / A2 +B2 +2ABcos（-）表示根号，包括中的内容折叠反三角函数公式arcsin(-x)= -arcsinxarccos(-x)=-arccosxarctan(-x)= -arctanxarccot(-x)=-arccotxarcsinx+arccosx=

23、arctanx+arccotx=/21折叠编辑本段函数应用在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处。到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处。（1）该船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？解（1）在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= 3（千米） 在RtPAC中，APC=30，AC= 3/3（千米）在ACB中，CAB=30+60=90则BC= (AB)2+(AC)2= ( 3/3)2+( 3)2= 30/3( 30/3)/(1/6)=2 3

24、0（千米/时）（2）DAC=9060=30sinDCA=sin（180ACB）=sinACB=AB/BC= 3/ 30/3=3 10/10sinCDA=sin（ACB30）=sinACBcos30cosACBsin30=(3 3-1) 10/20在ACD中，据正弦定理得，AD/sinDCA=AC/sinCDAAD=ACsinCDA/sinDCA=(9+ 3)/13答：此时船距岛A为(9+ 3)/13千米数学公式半角公式 倍角公式 蔡勒公式 差立方 差平方乘法公式 导数公式 到角公式 德摩根公式 定比分点公式二倍角公式 二阶微分方程高斯公式 格林第二公式 格林第一公式 格林公式 海伦公式和差化积

25、 和差平方 和立方 和平方 弧长公式弧长计算公式 换底公式 夹角公式 角平分线长公式 柯西-阿达马公式柯西积分公式 拉普拉斯展开 立方和差 两点间距离公式 两角和公式默比乌斯反演公式 牛顿-寇次公式 欧拉-笛卡尔公式 欧拉公式 抛物线标准方程平方差公式 平移公式 婆罗摩笈多公式 球的表面积公式 全概率公式全期望公式 全微分方程塞尔伯格迹公式 三倍角公式 三角不等式 三角函数差角公式 三角函数公式三角函数和角公式 三角函数周期公式 扇形面积公式 扇形面积公式 斯科伦范式斯特灵公式 斯托克斯公式 素数公式 泰勒公式 通项公式外尔特征标公式 完全平方公式 斜棱柱侧面积公式 斜棱柱体积 斜率公式一阶微分方程 诱导公式 圆的标准方程 圆的一般方程 圆台侧面积公式圆柱侧面积公式 圆锥侧面积公式 圆锥体体积公式 正棱台侧面积公式 正棱锥侧面积公式直棱柱侧面积公式 重心坐标公式 柱体体积公式 锥体体积公式参考资料：1 三角函数公式大全 . 2014-3-62 三角函数诱导公式揭秘 . 2015-3-27