完整版极限运算法则两个重要极限.docx

1、完整版极限运算法则两个重要极限复习旧课：1 无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限2. 3极限的运算法则2. 3. 1极限的性质定理1 ：(唯一性)如果极限lim f (x)存在，则它只有一个极限。即若lim f (x) A , lim f (x) B，则 A B定理2 :(有界性)若极限lim f (x)存在，则函数f (x)在x0的某一空心邻X域内有界定理3 :(局部保号性)如果lim f (x) A，并且A 0 (或A 0)，则X x0在x0的某一空心邻域内，有 f(x) 0 (或

2、f(x) 0)。推论 若在x0的某一空心邻域内有f (x) 0 (或f(x) 0 )，且lim f(x) A，则 A 0 (或 A 0)。x xq2. 3. 2极限的运算法则定理 1: 设 lim f (x) A, lim g (x) B ,则(1)lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) A B(2)lim f (x)g(x) lim f (x) lim g(x) A B若 g(x) C .(常数)，则 lim Cf (x) C lim f (x) CAf (x) lim f (x) A“ 、(3)lim (B 0)g(x) lim g(x) B证明因为lim

3、f (x) A, lim g(x) B，利用2。2定理，它们可以分别写为：f(x) = A (x),g(x) B (x)其中(x), (x)均为无穷小量，则有：讲述我们先介绍极限的运算法则证明从略。以上性质只对x x0的情况加以叙述，其它 的形式也有类似的结 果。 f(x) + g(x) =A+B+ (x) (x)由2. 2定理知 (x) (x)仍为无穷小量 所以f (x) + g(x)以A+B为极限.即 lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) A B .容易证明：lim P(x) P(x0)X xlim P(x)卩区)x xo Q(x) Q(x0)2例 1 求

4、 lim (3x x 5)x 2解 lim (3x2 x 5) = 15x 2Zl x2 2x 3例2求lim 3x 1 x x 52_.x 2x3 6解 lim 3 =x 1 x x 5 5x 1例3求limx 1x 1x 1解 因为lim 1 = 0根据无穷大于无穷小的关系x 1 x 1x 1所以有lim x 1 x 1注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会岀现错误。八 +x2 1例4求lim x 1 x 12 . x 1 . (x 1)(x 1) 八 c解 lim lim lim (x 1) 2x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. x2 9例 5 lim 2x 3x2 7x 1

5、2设P(x)为多项式当x X0时，Q(X0) 0因为f (x)为多项式，所以极限值等于在x0处的函数值因为f(x)为两个多项式商的极限，且在 x=1 处分母的极限不为零， 所以极限值等于函数 值。在x=-1处，分母为零， 不能直接计算极限。在x=-1处，分母为零， 不能直接计算极限。“-”型，先设法0约去非零因子。解 lim 亠二讪& 3)(x 3)二怙 6x 3 x 7x 12 x 3 (x 3)(x 4) x 3 x 4.3x3 x例 6 求 lim 3 x x3 13 3 3 12解 lim 3 x - lim x 3x x3 1 x 1 11 3x虫,当 m n,b0 0,m m 1

6、b0结论：lim n n 1 0,当 m n,x bxn b“xn1 bn 出,当 m n.1 2例 7 求 lim ( 2 )x 1 x 1 x 1& , 1 2 . . x 1 2 1解 lim ( 2 ) - lim 2 -x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2小结：1 极限运算法则2求极限方法1)设 P(x)为多项式，则 lim P(x) P(x0)。X x02)P(x)、Q(x)均为多项式，且Q(Xo) 0，则P(x) P(Xo)limx x0Q(x) Q(x)3)若 f (x) 0,g(x) A 0，则 lim g()f (x)4) 若lim 为“ 0 ”型时，用因式分解找出“

7、零因子”。f(x) 0”型，用无穷小量分出法，即分子、分 母同时除以x的最高次 幂。先通分，再计算。色,当 m n,b0 0,m m 1 b5) 结论：lim axn 1 am 0，当 m n,x box bix bn 出,当 m n.6)若(x) 0, f (x)有界，则 lim (x)f(x) 07) 若lim f (x) g(x)为“ ”型时，一般是通分或有理化后再处理。2. 4两个重要极限2. 4. 1判别极限存在的两个准则准则1 (夹逼定理)设函数 f (x), g (x), h(x)在x0的某一邻域U(x0,)内满足g(x) f(x) h(x)且有极限 lim g(x) lim h

8、(x) A，则有 lim f (x) AX x x, X x0准则2如果数列Xn单调有界，则lim xn 一定存在。x2. 4. 2两个重要极限sin x _1 极限 lim 1X 0 Xtan x例8计算limx 0 X” .tanx . sinx 1 . sin x . 1解 lim lim = lim Tim =1x 0 X x 0 X COSX x 0 X x 0 COSX心、心 1 COSX例9计算lim 2x 0 X22o . 2 X . X. 2sin . sin 铲 1 COSX 2 . 1 2解 lim 2 lim lim x 0 x2 x 0 x2 x 0 2 x2一般si

9、 nU lim 1U 0 U证明略例&例9结果可作为公式使用。彳 o 2 Xcosx 1 2sin 2c 2 X ,2 cos 一 12可证得此结论。1 lim2 x o2.xsin2例 10 计算 lim sin 5xx 0 3xsin 5x sin 5x 5 5解 lim = lim x 0 3x x 0 5x 3 3结论：趴晋1例 11 计算 limsin3x sinxx 0x加sin3x sinx 2cos2xsin x解 lim = limx 0 x 0xsin x例12求lim 一x 0 ta n x2lim cos2xxlim sin xx 0 x和差化积公式练习:cosx co

10、s3x limx 0因为当时,解 lim sinx = lim(s叫 x 0 ta nx x 0 x产)tanxlim(six 01 ) tanxlim sinx例13求limxsin x解错误做法:tanxsin x limx一般正确做法:limx2极限 lim (1x例14计算lim(1x解 lim (1xlim (空tan x x xsin x Fimttan xsin(0 tan(tansin tt) limt) t 0 tantUim (1lim (1U 01U)U1)xx1 x1)2x1)2 二lim(1x x1 丄门2 x1e2lim (1x例15计算lim (1x 012x)x

11、解啊（112x)xlim (1x 02x)例16计算lim (1x5 x)x x解= lim (1x5)xxlim 1x(5)xx5(5)lim (1x5)xx55例18,例19视情况选讲2例17计算lim ( 一x 32 x、x一)=x七广x 3.ln(1 00解 lim (xlim (1x例18计算解 lim ln(1 x)x 0xm0ln(11x)x例19limx所以limx 0x)xxlim (1xlim (1xlim (1xx 3)x3)3x)ln(1x)ln lim (1x -1x)x lnex 1则 xln(1u),当 x0时,xe 1 .lim0 ln(1+ u)sin x ,小结：i. lim 10 xlimf(x)sin f (x) 1 .0 f(x)tan x “ lim 1；x 0 x1 cosx lim 2x 0 x21 X -2. lim (1 -)x e； iim(1 x)X ex x x 0r ln(1 x) ex 1lim =1; lim =1x 0 x x 0 x作业 P271 ( 3) (6) , P311 (1) (6) (9) 2 (1) (3)