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1、高中文科数学立体几何知识点总结 l 立体几何知识点整理（文科） l / m l /mm 直线和平面的三种位置关系：一 l 1. 线面平行 方法二：用面面平行实现。 l / l / l符号表示： 2. 线面相交 l l A 方法三：用平面法向量实现。 符号表示： n 为 平若 面线在面内3. 的一个法向量，ln n l ll /且。 ,则l 符号表示： 二 平行关系： 线线平行：1. 方法一：用线面平行实现。 3. 面面平行：l m l /l 方法一：用线线平行实现。 l l / ml m l / l m m / mm / 且相交l , m 且相交l , m方法二：用面面平行实现。 /l l /

2、 ml mm 方法二：用线面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 l / l, m l / m /m /若。，则 l l , m且相交m 方法四：用向量方法： m l l / m。若向量和向量共线且l、m不重合，则 2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。1/11 l C A方法三：用向量方法： B l m lm ，则的数量积为和向量若向量0。 三垂直关系： 夹角问题。 三 线面垂直：1.异面直线所成的角：一 )( 方法一：用线线垂直实现。 (0 ,90 范围：(1) ACl ABl 求法：(2)P nl ABAC A方法一：定义法。 AOAC, AB ：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 1

3、 方法二：用面面垂直实现。 )常用到余弦定理步骤 2：解三角形求出角。( 余弦定理： l lma c 222c ab l m, lm cos 2abb )计算结果可能是其补角 ( 面面垂直： 2. 方法二：向量法。转化为向量 方法一：用线面垂直实现。 C 的夹角 l l l：)(计算结果可能是其补角 BA AB AC cos ABAC 方法二：计算所成二面角为直角。 线面角 )(二 线线垂直：3. 上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外） P 方法一：用线面垂直实现。 内，则连结 AO AO 为斜线 PA 在面 于 O,PO ll m PAO 图中(与面)为直线 l l所成的角。的射影

4、， m m P 方法二：三垂线定理及其逆定理。 A O PPO PAl OAl 0 ,90 (2)范围： l OA l 112/ l l /0或时，当 n 1 n l90 时，当2 求法：(3) 方法一：定义法。 nn：作出线面角，并证明。步骤 1 21 cos nn步骤一：计算 21nn：解三角形，求出线面角。步骤 2 21 n n二面角及其平面角三 )(的关系，可能相等或步骤二：判断与 21 (1) 定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作 者互补。 l 的垂线（射线） m、 n，则射线 m 和 n 的夹角为 四距离问题。 l 的平面角。二面角 点面距。1 方法一：几何法。 m l

5、P P n OA 0 ,180 范围：(2) 步骤 1：过点 P 作 PO于 O，线段 PO 即为所求。 步骤 2：计算线段 PO 的长度。 (直接解三角形；等 (3) 求法：体积法和等面积法；换点法) 2线面距、面面距均可转化为点面距。方法一：定义法。 步骤 1：作出二面角的平面角 (三垂线定理 )，并证明。3异面直线之间的距离 ：解三角形，求出二面角的平面角。步骤 2方法一：转化为线面距离。 方法二：截面法。 m和同时垂直于平面 POA 步骤 1：如图，若平面， n 则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。 n为两条异面直线， n和如图， m 且 步骤 2：解三角形，求出二面角

6、。 m /，则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直 P线 m 与平面之间的距离。 A 方法二：直接计算公垂线段的长度。 O 方法三：公式法。 )。方法三：坐标法 (计算结果可能与二面角互补 3/11 如图， AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段， mB aA nd m / m ，则异面直线m 和 n 之间的距离为：c mD b 2222ab cosadc b C 空间向量五 AA 1 空间向量基本定理一 )( CC 1 D p a, b, c ，都存在唯一的有序实数对为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量若向量B B 1zc p xayb 、 z y、x。，使得 三点共线，四

7、点共面问题 ) (二 三点共线 C 1. A，B， ，且 OA xOB yOC x1y 1 y x 当的A时，是线段 BC 2 ABAC三点共线A， C ， B CBA ， D 四点共面2. yOC zOD xOBOAxz 1y，且 1 xy z当的 BCD时， A 是 3 ABy ADx AC四点共面，D CA， B， 空间向量的坐标运算 )(三 A 1.已知空间中、两点的坐标分别为： B ) B( x ) , z, yA( x , y , z则：， 211122 d ABAB; A ,B， ) , y( x , y , z b (x ) , za若空间中的向量2. 111222 aa bb

8、则 114/ a bcos a b 六常见几何体的特征及运算 (一 )长方体 1. 长方体的对角线相等且互相平分。 222+coscos+cos、 2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则 222 cos +cos+ cos、，则若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为 ，则体对角线长为若长方体的长宽高分别为a、b、 c3. ，体积为，表面积为。 (二 )正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。 (三 )正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 (四 )正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体 ) (五 )棱

9、锥的性质： 平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。 正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 VV )体积：(六 棱锥棱柱 球(七 ) 1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。 2. 设球半径为 R，小圆的半径为 r，小圆圆心为 O，球心 O 到小圆的距离为 d，则它们三者之间的数量关 1 。系是 3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。 4. 球的表面积公式：体积公式： 高考题典例 考点 1点到平面的距离 5/11 ，为中点 2 D CC如图，正三棱柱例 1 的所有棱长都为CABC AB 1 111平面；（

10、）求二面角的大小； AB BDA（）求证：DAA B 11 1（）求点到平面的距离BDA C 1 解答过程 （）取中点，连结 AO O BC 为正三角形， BC AO ABC 平面，中，平面正三棱柱 ABC ABC 11BCCBBCA 111AA 1 别为连结 BO BC， CC分，在正方形平面中， D BCCB， O BBCC AO 1 11111F C BD，ABBO BD C的中点，D 1 1 1 O B中，平面在正方形， AB AB AB ABB ABBDA 111111 1于交于点，在平面连 中，作结， （）设与 F G GF 111 ABABD 1，平面的平面角BDAB 为二面角D

11、A ADA AF AB AFG ，由（）得 AF 1111 中，由等面积法可求得 在 DAA4 5 ，AF 1 5 1，又 AB2 AG10 2AG 1 AFGsin 2 4AF4 5 5 的大小为 B 所以二面角 A10 arcsinDA 14 中， （） ABD， 12S6S BDAD5A B2 BCD BDA1111的距离为在正三棱柱中，到平面BCCBA3 1 11d设点到平面的距离为 C A BD 111， ，得由 2 d SSV 33SV d BCD BD BCDAA A BDBCD11C 12 33S BDA 12 的距离为ABD点到平面 C 12 2考点异面直线的距离 24ABC

12、 S，底面是边长为 2 例已知三棱锥 的正三角形，棱 AB 、 D BC、 E SC 的中点，求.分别为，且垂直于底面的长为2 116/ CD 与 SE 间的距离 . 解答过程 ： 如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF ， SF ，CF ， BCD CD, CDSEFCD SEF EF EF 的距离即为两异面直线间的面的中位线，,到平面为 CD SEF到平面C上一点又 .距离线面之间的距离可转化为线 2 BC 4、的中点，h ，由题意知， AB,D、E、FBC分别是BD的距离，设其为 1 CD6, DF2, SC22 6,EFCD 2 V11EFDF SC116222 3 S CEF 3

13、3322 22CE SCSE2 3 SCE 中， Rt在 22CF SCSF424230 SCF 中， Rt在 S1 3 hh 1 S，即6,3EF VV h2 332由于，解得 又 SEF CS SEF SEF CEF3333 2 3 间的距离为CD与SE故 . 3 考点 3直线到平面的距离 AC AA GBD 的距离的正方体 .的中点，求中，BD G到平面是 2例 3 如图，在棱长为 1111 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解 思路启迪. D 1 C 1 O 1 DGB BD ，平面：解析一解答过程 11 A 1B 1 GBD BD 的距离皆为所求，以下求上任意一点到

14、平面H 11 G GBD 的距离 ,点 O 平面D 11 C O AC BDA A BD A ACC DB,，平面，AB 11111111111 GB D A ACCGBD BDOG ，两个平面的交线是平面又平面, 111111111OGGBD OHGBD OH 平面H于，则有作点到平面，即 OH是O .的距离 11 11 1 11222O AO O. OG O S中，在 1 OG1O 122 7/11 1126 S又3OH2, OHGOH O. 1OG O 1322 62 DGB的距离等于 即 BD 到平面. 11 3 GBD BD ，平面解析二 11 GB D GBD 的距离平面 . 的距

15、离皆为所求，以下求点B BD 上任意一点到平面 1111 GB DB GB D 的距离为 h 的高，则，将它视为三棱锥设点 B 到平面 1111由于1114 , V V，6 VS 2 2 22 2 3 DDGBBB GB,1111 D GBDGBB 11113232 4 2 6 h,36 26 DGB.的距离等于到平面 即 BD 113 都是线面距离 .所以求线面距离关键是直线上的每一点到平面的距离都相等， ：当直线与平面平行时，小结 选准恰当的点， 转化为点面距离 .本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距 离 . 考点 4异面直线所成的角 AO AB4 为轴旋转以直

16、线，斜边 例 4 如图，在 中，可以通过AOBRtAOCRtRtAOBOAB 6 AC AO B AB D 的中点是的直二面角得到，且二面角 COD AOB ；平面）求证：平面 I（ D AO CD ）求异面直线 II（所成角的大小与 z AO BOCOAO， I）由题意， ，解答过程 ：（ AE B O B AO C BOC 是直二面角，是二面角 C BO O AOB COAOBOCO，又平面 D CO COD COD AOB 平面平面又平面 E CE DE AO OB DE，（如图），则，连结，垂足为 （ II）作 yCDAO所成的角与是异面直线 CDE B O 1 2xC BO2中，在

17、5 OE Rt CO COE BO ，2 CE COOE1 2 8/11 RtCDE中，在又1tanCDE15 3 DE AO5CE 33DE2 AO CD 15 所成角的大小为异面直线与arctan 3 小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直 线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间 如解析三 .一般来说， 平移法是最常其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，图形补成熟悉的几何体， .0, .同时要特别注意异面直线所成的角的范围：用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法 2 考点 5 直

18、线和平面所成的角 AB2 ，ABC45 为平行四边形， 侧面 例5. 四棱锥S底面已知 ABCD 中，底面 ABCD SBCABCD SB3BC 2 2，SA S （）证明；（）求直线与平面所成角的大小 SAB SABC SD C B解答过程：（）作，垂足为，连结，由侧面底面 BC AO SBC SO O DA ，得底面 A B SOABCD SBO AO SA SB，因为，所以 AOB ABC 45 为等腰直角三角形，故又 O BC SAAO BO ，由三垂线定理，得 C B SA BC AD BC ，依题设（）由（）知 D A AD SA，由故 ， ADBC22SA 3AO2 1 21 S

19、ABSD 112的面积 SO 1 ABS，得AB 2SA 1 22 1 AB AD sin135SDAB2 DB 的面积连结，得 2 2 11V VhSAB D ，解得 h2 ，由于的距离为到平面设 h S，得SO S D SABS ABD 2133 22 SAB SD 所成角为设与平面，则2h sin 11SD11 SD SBC 22 所成的我为所以，直线与平面 arcsin 11 1 ）先判断直线和平面的位置关系；（ 2）当直线和平：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（ 小结 面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角， 9/11 计算常用解三角形的

20、方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值. 6考点二面角 APQ BC CACB PQ，已知直二面角 例 6 如图， C BCPQ CA 45 30BAP （ I）证明 和平面，直线所成的角为 A P Q P B AC的大小 II）求二面角（B CCO PQ O OB ，连结内过点于点作）在平面过程指引 ：（ I C PQ CO ，所以，因为H A P Q OB CB OA CA 又因为，所以O B BAOABO 45 AOB9045，而，所以 BOPQCOPQ，从而，又 OBC PQ BC BC PQ OBC 所以平面因为平面，故 PQBOPQ ，又）知， （ II）由（ I， BO O O

21、H AC BH ACBOBHH故，所以，由三垂线定理知，于点过点，连结作 BHO BP AC的平面角是二面角 COCAO CA 30 CAO 由（ I）知， ，是和平面所成的角，则，所以 3 3 AOOH ACAO sin 302，则，不妨设 2 BOA O 3 Rt BOH RtOAB45ABOBAO，所以在 是 ， 在于中中 ， ， BP arctan 2 AC3BO的大小为故二面角 2t a n BHO OH3 2 . 解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面：本题是一个无棱二面角的求解问题 小结 角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两

22、个平面内的两条 平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面 角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 10/11 7考点利用空间向量求空间距离和角 D 1 DABCABCD3A是棱长为 如图，已知例 7 的正方体， 1111 1 B 1C 1 AE FC CC E AA 1F上，且在在上，点点 111 EF D，B，F，E四点共面； （ 1）求证： 1M A 2D GMBFBGBCG，上， 上， 在（2）若点HBBM 为足 垂 在，点 1 BG C3 BCCB EM H ；平面，求证：11 EBFD

23、BCCBtan 和侧面 （ 3）用 表示截面 所成的锐二面角的大小，求 111 DDDN 1N ENCN 上取点 ，使 过程指引 ：（ 1 ）如图，在，连结 1 D 1A 1 ND 2CF DN 1 AEB，则 1 1C 1 CFNDN CFD DN AE ADNE N，所以四边形因为，都为平行四， EF 1 1 M ENAD FD CN 边形从而，A 1D H B G AD BC EN BC BCNEC是平行四边形，由此，故四边形又因为，所以 CNBE FD BE E， B，F，D 四点共面，从而推知因此， 11 GMBFBMBCCFB BGM ，又 ，所以， （ 2）如图， BC32 CFB BGMBG tanBG tanBM1BG 3CF2 AE BM EMABMEAB，所以为平行四边形，从而因为 BCCBBCCB EM AB ，所以又平面平面 1111 EHM于是BF EH BFEMBFBFEMHMHEH，得 ， 平面 ，所以 （ 3）如图，连结 因为 EHM是所求的二面角的平面角，即 MBH CFB MHBM sin MBHBM sin CFB，所以因为 EM ，tanBC1BM3313 22222BC 3CF MH13 11/ 11