人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义Word版无答案.docx

1、人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义Word版无答案一、三角形相关的概念（一）三角形的概念三角形和多边形第一部分 概念总汇1、三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2、三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。4、三角形的角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。（二）三角形中的主要线段1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。2、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。3、三角形的角平分线

2、：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。（三）三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。（四）三角形的分类1、三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形2、三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）3、把边和角联系在一起，又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。4、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹

3、角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。（五）三角形的三边关系定理及推论1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。2、三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。（六）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。（七）三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角三角形外角的性质：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻

4、的内角。 性质 3：三角形的外角和为 360 度。（八）三角形的面积1三角形的面积=2底高二、多边形的有关概念（一）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形1、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角2、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角3、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.4、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（二）多边形的内角和：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于 (n - 2) 180（三）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360（四）多边形对角线的条数：1、从 n 边形的一个顶

5、点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。2、n 边形共有条对角线。第二部分 例题讲解例 1、如图，在ABC 中，BAC=90，B=56，ADBC，DECA求ADE 的度。AEB D C【分析】：根据平行线的性质推知AED 是直角三角形；在直角ABD 中，利用“直角三角形的两个锐角互余的性质”求得BAD=34；然后在直角AED 中，利用“直角三角形的两个锐角互余的性质”求得ADE 的度数【解答】：BAC=90，DEAC（已知）DEA=180-BAC=90（两直线平行，同旁内角互补）ADBC，B=56，BAD=34，在ADE 中，DEAB，ADE=56变式 1、如图，AE，

6、AD 分别是ABC 的高和角平分线，且B36，C76，则DAE 的度数为（ ）A、40 B、20 C、18 D、38A【解答】ABC 中已知B=36，C=76，BAC=68BAD=DAC=34，ADC=B+BAD=70，DAE=20B D E C变式 2、如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，1=2，3=4，BAC=63，求DAC 的度数。【解答】ADB=DAC+4180-1-2=DAC+4DAC=63-1180-1-2=63-1+4180-2=63+43=43=1+21=2180-2=63+221=2=39DAC=63-39=24变式 3、如图，在ABC 中，BE 是ABC 的内角平分

7、线，CE 是ACB 的外角平分线，BE、CE 交于 E 点， 试探究E 与A 的大小关系【解答】ACD=A+ABC，CE 平分ACD， ECD=ACD=（A+ABC）（角平分线的定义），BE 平分ABC，EBC=ABC（角平分线的定义），ECD 是BCE 的外角，E=ECD-EBC=A例 2、一个多边形的每一个内角都等于144 ,则它的内角和等于( )A.1 260 B.1 440 C.1 620 D.1 800 【分析】 一个正多边形的每一个内角都相等，根据内角和外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度 数，根据任何多边形的外角和都是 360，利用 360除以一个内角的度数就可以知道多边形的边

8、数， 然后再根据多边形内角和的公式（n-2）*180，即可求出。【解答】多边形的边数是 360（180-144）=36036=10， 则内角和是（10-2）180=1440故选择 B变式 1、不能作为正多边形的内角的度数的是( )A120 B (128) C144 D145【解答】A、（n-2）180=120n，解得 n=6，所以 A 选项错误；B、（n-2）180=（12847）n，解得 n=7，所以 B 选项错误； C、（n-2）180=144n，解得 n=10，所以 C 选项错误；D、（n-2）180=145n，解得 n=727，不为整数，所以 D 选项正确 故选 D变式 2、两个正多边

9、形的边数之比为 12，内角和之比为 38，求这两个多边形的边数、内角和。【解答】设小正多边形的边为 n，大的为 2n则(n-2)180:2n-2)180=3:88n-16=6n-62n=10 n=552=10答这两个正多边形分别为正 5 边形和正 10 边形变式 3、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为 2520,则原多边形有 条边。【解答】设新多边形的边数是 n，则（n-2）180=2520， 解得 n=16，截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多 1 或少 1，原多边形的边数是 15，16，17例 3、求图 1、2、3 中，A+B+C+D+E 的度数。【分析】都是根据

10、三角形内角和和外角和的性质进行解答【解答】（1）FGC=B+EGFC=A+DFGC+GFC+C=A+B+C+D+E=180（2）FGD=B+EGFD=A+CFGD+DFG+D=A+B+C+D+E=180 (3)连接 EDA+C=ADE+CEDADE+CED+B+D+E=A+B+C+D+E=180变式 1、如图，已知 DC是ABC中ACB的外角平分线，说明为什么BACB.【解答】BAC 是ACD 的一个外角（已知）BACACD（三角形的一个外角大于任意与它不相邻的内角)ECD 是BCD 的一个外角（已知）ECDB又CD 是ACB 的外角平分线（已知）ACD=ECDBACACDBBACB变式 2、

11、如图，在 ABC 中， AD BC ， AE 平分 BAC ， B 70， C 30（1）求 BAE 的度数；（2）求 DAE 的度数； A（3）探究：小明认为如果只知道 B C 40，也能得 出 DAE 的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由B D E C【解答】（1）.AE平分BAC，B70，C 30BAE=（180-70-30）=40（2）.由（1）知，CAE=40ADBCCAD=90-30=60DAE=CAD-CAE=60-40=20（3）.能理由如下：AE 是角平分线BAE=BAD=90-BDAE=BAE-BAD=-(90-B）=若B-C=40，则DAE=2

12、0变式 3、(1)如图,试研究其中 1、2与3、4 之间的数量关系； (2)如果我们把 1、2 称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式. (3)用你发现的结论解决下列问题:如图, AE、DE 分别是四边形 ABCD 的外角 NAD、MDA 的平分线, B + C = 240 ,求 E 的度数.【解答】（1）解：3、4、5、6 是四边形的四个内角，3+4+5+6=360，3+4=360-（5+6），1+5=180，2+6=180，1+2=360-（5+6），1+2=3+4；（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）解：B+C=240，MDA+NAD=240

13、，AE、DE 分别是NAD、MDA 的平分线，ADE=MDA，DAE=NAD，ADE+DAE=（MDA+NAD）=240=120，E=180-（ADE+DAE）=180-120=60第三部分 课后作业1、已知等腰三角形的一个外角是 120，则它是( )A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形2、一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( ) A. 180 B. 360 C. (n-2)180 D. n1803、已知三角形的三个外角的度数比为 234，则它的最大内角的度数( ). A. 90 B. 110 C. 100 D. 1204、如图所示，在ABC 中

14、E、F 分别在 AB、AC 上，则下列各式不能成立的是（ ）ABOC=2+6+A B2=5-A C5=1+4 D1=ABC+45、如图，若A=32，B=45，C=38，则DFE 等于 6、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 。7、如图,已知 ABC 中, ABC和ACB 的角平分线 BD,CE 相交于点 O.A（1）若 ABC = 50 ， ACB = 70 ，则 B0C = ；（2）若 ABC = 48 ， ACB = 64 ，则 B0C = ；（3） 若 A = 60 ,则 B0C = ； O（4）请探究 A与BOC的关系 .8、（1）如图：求A+B+C+D+E+F

15、的度数。 B C（2）当图变为图时，求上面六个角的和。（3）当图变为图时，求上面六个角的和。 9、已知：如图 1，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB，如图，DAB 和BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N试解答下列问题：（1）在图中，若D=40，B=30，试求P 的度数；（写出解答过程）（2）如果图中D 和B 为任意角，其他条件不变，试写出P 与D、B 之间数量关系10、如图甲，在ABC 中，ADBC 于 D，AE 平分BAC（1）若B=30，C=70，则DAE= ；（2）若CB=30，则DAE= ；（3）若CB=a（CB），求DAE 的度数（用含 a 的代数式表示）；（4）如图乙，当CB 时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定： 角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负例如：DAE=18，则EAD=18，作出上述规定后， 上述结论还成立吗？ ；若DAE=7，则BC=