全国硕士研究生入学考试数学大纲.docx

1、全国硕士研究生入学考试数学大纲2013 年全国硕士研究生入学考试数学(一)考试大纲 考试科目： 数学高等数学、线性代数、概率论与数理统计试卷结构（一）题分及考试时间 试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。（二）内容比例 高等教学 约 60 线性代数 约 20% 概率论与数理统计 约 20（三）题型比例 填空题与选择题 约 40 解答题(包括证明题) 约 60%一、 函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性(有界和收敛的关系 存在正数 M使 f(x)M 恒成立则有界，不存在 M 则无界，注意与无穷大的区别-如振荡型函数) 单调性、周期性(注意周期函数的定积分性质)和奇

2、偶性(奇偶性的前提是定义域关于原点对称) 复合函数(两个函数的定义域值域之间关系) 反函数(函数必须严格单调，则存在单调性相同的反函数且与其原函数关于 y=x 对称) 分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立(应用题) 数列极限(转化为函数极限 单调有界 定积分 夹逼定理)与函数极限(四则变换 无穷小代换 积分中值定理 洛必塔法则 泰勒公式-要齐次展开)的定义及其性质(局部保号性) 函数的左极限与右极限(注意正负号) 无穷小(以零为极限)和无穷大(大于任意正数)的概念及其关系 无穷小的性质(和性质 积性质)及无穷小的比较(求导定阶) 极限的四则运算(要在各自极限存

3、在的条件下) 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限 : 函数连续的概念(点极限存在且等于函数值) 函数间断点的类型(第一型(有定义)：可去型，跳跃型 第二型(无定义)：无穷型，振荡型) 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质(零点定理 介值定理) 考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性3 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系

4、6.掌握极限的性质及四则运算法则7掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质二、 一元函数微分学考试内容导数和微分的概念(点可导与域可导的关系) 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数

5、方程所确定的函数的微分法 高阶导数(数学归纳法 赖布妮子公式法) 一阶微分形式的不变性 微分中值定理(闭区间连续开区间可导 不是常数) 洛必达（LHospital）法则(注意使用条件 洛必塔求解不存在时，原极限可能存在) 函数单调性的判别(利用导数) 函数的极值(极值的判定：定义 一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号 二阶可导且该点一阶导为零) 函数图形的凹凸性(证明)、拐点及渐近线(求解步骤：垂直 水平 斜) 函数图形的描绘 函数最大值和最小值 弧微分 曲率的概念(有绝对值 注意参数方程公式)曲率半径 考试要求1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的

6、切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分(后面要加上 dx) 3了解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数 4会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 5理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理(典型函数的展开)，了解并会用柯西中值定理6掌握用洛必达法则求未定式极限的方法(洛必达法则受阻时：拆项积分中值 中值定理)7 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求

7、函数极值的方法(一阶导定点 二阶导定性)，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用 8会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形 9了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念(被积函数的要求 连续只是原函数存在的充分条件) 不定积分的基本性质(线性 和差 与求导互逆) 基本积分公式 定积分的概念(求极限的应用)和基本性质(注意上下限的位置线性 分区间 上限大于下限时比大小 估值定理) 定积分中值定理用定积分表达和计算质心 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

8、 不定积分和定积分的换元积分法(换元要彻底，不要忘了 dx 定积分换元要注意上下限也要换)与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分概定积分的应用 考试要求1理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法(常见代换：倒代换 三角换元 万能代换 不要跳步计算，以免出现毁灭性的低级失误)3会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分4理解积分上限的函数，会求它的导数(用处远非于此，常与罗尔定理结合解决零点问题)，掌握牛顿一莱布尼茨公式5了解广义积分的概念，会计算广义积分(用极限

9、的观点)6掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值等 四、向量代数和空间解析几何 考试内容向量的概念(自由移动)向量的线性运算 向量的数量积(是数 可交换)和向量积(是向量 交换后变号) 向量的混合积(交换的性质与行列式性质相同 几何意义 用于求异面直线的距离) 两向量垂直(数量积为零)、平行(向量积与零向量)的条件 两向量的夹角(面面 线线线面) 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程(点法式 截距式 一般式平面束方程)、直线

10、方程(对称式 参数式 一般式) 平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件(转化为向量之间的关系)点到平面和点到直线的距离(利用平行四边形) 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 考试要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2掌握向量的运算（线性运算、数量积(求向量夹角 判定垂直)、向量积(平行四边形面积及点到直线的距离)、混合积(求六面体体积及异面直线公垂线长 判定三个向量是否共面)），了解两个向量垂直、平行的条件。 3理解单位向量、方向数与方向余弦、

11、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4掌握平面方程(点法式 混合积)和直线方程(点向失 一般式)及其求法。5会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题。6会求点到直线以及点到平面的距离。7. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念。8. 了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。五、多元函数微分学 考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限(极限存在的判定)和连续的

12、概念 有界闭区域上多元连续函数的性质(有界性 最值存在 介值定理) 多元函数偏导数和全微分(和全增量的区别) 全微分存在的必要条件(连续 偏导存在 任意方向的方向导数存在)和充分条件(偏导存在且连续) 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面(参数方程注意以x,y,z 为参数 方程组) 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微

13、分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8了解二元函数的二阶泰勒公式。9理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值(解方程时要小心哦)，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 六、多元函数积分学 考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和

14、应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林（Green）公式 平面曲线积分与路径无关的条件(注意单连通域与复连通域的区别) 已知全微分求原函数 两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（STOKES)公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用 考试要求1理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4掌握计算两类曲线积分的方法。

15、5掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7了解散度与旋度的概念，并会计算。 8会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。七、无穷级数考试内容常数项级数(级数是数列和的概念)的收敛与发散的概念 收敛级数的和(和函数)的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件(一般项趋零)几何级数与 p 级数以及它们的收敛性 正项级数收敛性的判别法(比较根值 比值) 交

16、错级数与莱布尼茨定理(一般项趋零 递减) 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数(有收敛域的要求) 幂级数在其收敛区间内的基本性质(阿贝尔定理及其推论 连续性 可积可导且收敛区间不变)简单幂级数的和函数的求法(有收敛域的要求) 初等幂级数展开式(有收敛域的要求)函数的傅里叶（Fourier 系数与傅里叶级数狄利克雷（Dlrichlei）定理 函数在-l，l上的傅里叶级数 函数在0,l上的正弦级数和余弦级数 考试要求 1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

17、2掌握几何级数与 p 级数的收敛与发散的条件。 3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件(泰勒余项极限为零)。10掌握 ex、sinx、cosx、ln(1+x

18、)和(1+x)a 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在-L，L上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，L上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 八、常微分方程 考试内容 常微分方程的基本概念变量可分离的方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Eule

19、r）方程 微分方程简单应用 考试要求1了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法3会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4会用降阶法解下列方程：y（n）f（x），y= f（x，y）和yf（y，y）5理解线性微分方程解的性质及解的结构定理6掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程8会解欧拉方程9会用微分方程解决一些简单的应用问题 线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质

20、(转置不变 交换两行变号 公因子成比例分行可加性 一行乘数加另一行不变) 行列式按行（列）展开定理(余子式代数余子式) 行列式的计算(三角式 反的猛 数学归纳法) 考试要求 1了解行列式的概念，掌握行列式的性质2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式 二、矩阵 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的 行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换(求逆矩阵 解方程组 求行列式 求向量组极大无关组) 初等矩阵矩阵的秩(对非零子式的理解) 矩阵等价 分块矩阵及其运算(相互的分块之间也是同型矩阵) 考试要求 1理解矩阵的

21、概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质 2 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质 3 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵 4掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 5 了解分块矩阵及其运算三、向量考试内容向量的概念 向量的线性组合和线性表示(不考虑系数是否为零) 向量组的线性相关与线性无关(考虑是否存在一组系数不为零) 向量组的极大线性无关组 等价向量

22、组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间以及相关概念 n 维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质考试要求1理解 n 维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概念 2理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法 3了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩4了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与与其行（列）向量组的关系 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系(矩阵的秩等于行向量组的秩也等于其列向量组的秩 极其注

23、意与最高非零子式的关系) 5了解 n 维向星空间、子空间(数乘封闭 加法封闭)、基底(极大无关组中的向量)、维数(秩)、坐标(系数)等概念 6了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵 7了解内积(交换 线形 分配)的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特（SChnddt）方法 8了解标准正交基(不是对称阵的特权)、正交矩阵的概念，以及它们的性质四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆(又译：克拉默)（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系 (单个解向量)和通解 解空间(解向量的线形组

24、合) 非齐次线性方程组的通解(行变换 最简型) 考试要求 l会用克莱姆法则 2理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件 3理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。 4理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 5掌握用初等行变换求解线性方程组的方法五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质(相似同秩，但同秩未必相似) 矩阵可相似对角化的充分必要条件(存在 n 个线形无关特征向量)及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵 考试要求1理解

25、矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。3掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质(n 重特征值有 n 个线形无关的特征向量 不同特征值所对应的特征向量必正交)。 六、二次型 考试内容二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形(只反映特征值的正负个数)和规范形(系数只能是1，-1，0) 用正交变换(系数是特征值)和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求 1掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念(与其矩阵表示同秩)，了解合同变

26、化和合同矩阵的概念 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理(涉及到正负惯性系数) 2掌握用正交变换化二次型为标准形的方法(仅此法能判定二次型形状)，会用配方法化二次型为标准形 3理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法(定义秩与E合同正惯性系数为零 顺序主子式) 概率论与数理统计初步一、随机事件和概率考试内容随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含 相等 和 积 差 互斥 对立)与运算(交换分配 结合 德摸根 对差事件 文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念 概率的基本性质(非负性 规范性 可列可加性) 古典型概率 几何型

27、概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式 (PAUB=PA+PB-PAB)、减法公式(P(A-B)=PA-PAB)、乘法公式 (PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对 S 进行正确的划分)，以及贝叶斯公式3理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法二、随机变量及其概率分布考试内容随机变量(事

28、件结果数量化)及其概率分布(取某一个随机变量的概率) 随机变量的分布函数的概念(F(x)=PX=x)及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的概率分布 随机变量函数的概率分布 考试要求1.理解随机变量及其概率分市的概念理解分布函数（x）=PX=x（-x0）的指数分布的密度函数为5会求随机变量函数的分布(离散型 连续型(注意单调性)：公式法 分布函数法) 三、二维随机变量及其概率分布考试内容 多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性(判定)和相关性 常用二维随机

29、变量的概率分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求 1理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布； 理解二维离散型随机变量(注意独立性的应用)的概率密度、边缘密度和条件密度会求与二维连续型随机变量相关事件的概率 2 理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件3掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义4 会求两个随机变量简单函数的分布(划分区域积分法 公式法)，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布(卷积法) 四、随机变量的数字特征 考试内客 随机变量的数学期望（均值

30、）、方差和标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差 相关系数及其性质考试要求 1理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2. 会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望(求出随机变量的分布 列出随机变量的函数 应用公式)。五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律辛 钦 （ Khinchine ）大数定律棣莫弗拉普拉斯（ De Moivrelace）定理 列维林德伯格（LevyUndbe）定理考试要求1了解切比雪夫不等式2了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)3 了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)” 六、数理统计的基本概念考试内容总体(所研究对象的全体组成的集合) 个体(总体中的每个元素) 简单随机样本(独立同分布) 统计量(不含知参数的样本函数) 样本均