初中数学规律题拓展研究附习题解析.docx

1、初中数学规律题拓展研究附习题解析初中数学规律题拓展研究 “有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到

2、第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28，求第n位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 66n2 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多

3、了。 （三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第100个数是 100 ，第n个数是 n。解答这

4、一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，。 序列号： 1，2，3， 4， 5，。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是-1，第100项是1（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（），1，2，3，4，5。，从中可以看出n=2时，正好是22-1的平方,n=3时，正好是23-1的平方，以此类推。 （三）看例题：A： 2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是1

5、2、18答案与3有关且是n的3次幂，即： n+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案与2的乘方有关即： （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得到原数列第n项 （五）有的可对每位数同时加上

6、，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例 ： 4，16，36，64，？，144，196， ？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n，则求出第一百个数为4*100=40000 （六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。 （七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。 三、基本步骤 1、

7、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。 2、 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律 3、 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律 4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题 四、练习题例1：一道初中数学找规律题0，3，8，15，24， 2，5，10，17，26， 0，6，16，30，48（1）第一组有什么规律？答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？答：第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的

8、每项都比第一组的每项多2，则第二组第n项是：位置数平方减1加2，得位置数平方加1即。第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是： （3）取每组的第7个数，求这三个数的和？答：用上述三组数的第n项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一得48，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96，48+50+96=1942、观察下面两行数2，4，8，16，32，64， （1）5，7，11，19，35，67（2）根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。）解：第一组可以看出是2，第二组可以看出是第一组的每项都

9、加3，即2+3，则第一组第十个数是2=1024，第二组第十个数是2+3得1027，两项相加得2051。 3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？解：从数列中可以看出规律即：1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，.，每二项中后项减前项为0，1，2，3，4，5，正好是等差数列，并且数列中偶项位置全部为黑色珠子，因此得出2002除以2得1001，即前2002个中有1001个是黑色的。 4、=8 =16 =24 用含有N的代数式表示规律解：被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差是8的倍数，奇数项第n个项为2n-1，而被减数正是比减数多

10、2，则被减数为2n-1+2,得2n+1，则用含有n的代数式表示为： =8n。 写出两个连续自然数的平方差为888的等式解：通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8X111,得出n=111，代入公式：（222+1）-（222-1）=888五、对于数表1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差六、数字推理基本类型按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。(1)等差关系。12，20，30，42，( 56 )127，112，97，82，( 67 )3，4，7，12，( 19 )，28

11、(2)移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。1，2，3，5，( 8 )，13A.9 B.11 C.8 D.7选C。1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=130，1，1，2，4，7，13，( 24) A.22 B.23 C.24 D.25选C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。5，3，2，1，1，(0 )A.-3 B.-2 C.0 D.2选C。前两项相减得到第三项。 2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。8，12，18

12、，27，(40.5)后项与前项之比为1.5。6，6，9，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3(2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。2，5，10，50，(500)100，50，2，25，(2/25)3，4，6，12，36，(216) 从第三项起，第三项为前两项之积除以21，7，8，57，(457)第三项为前两项之积加 13.平方关系1，4，9，16，25，(36)，49 为位置数的平方。66，83，102，123，(146) ，看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可

13、以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加24.立方关系1，8，27，(81)，125 位置数的立方。3，10，29，(83)，127位置数的立方加 20，1，2，9，(730)后项为前项的立方加15.分数数列。关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案 ()分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为： 2/3 1/2 2/5 1/3(1/4)将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数列：2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, 2/8 .可知下一个为2/9，如果求第n项代数式即：，分解后得： 6.、质

14、数数列2，3，5，(7)，11 质数数列4，6，10，14，22，(26) 每项除以2得到质数数列20，22，25，30，37，(48) 后项与前项相减得质数数列。7.、双重数列。 又分为三种：(1)每两项为一组，如1，3，3，9，5，15，7，(21)第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为32，5，7，10，9，12，10，(13)每两项中后项减前项之差为31/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，(104 )两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2(2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。22，39，25，38，31，37，

15、40，36，(52) 由两个数列，22，25，31，40，( )和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。34，36，35，35，(36)，34，37，(33) 由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减(3)数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。2.01，4.03， 8.04， 16.07，(32.11)整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列，题目一般已经解出。特别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。8.、组合数列。最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系

16、后，才能较好较快地解决这类题。1，1，3，7，17，41，( 99 )A.89 B.99 C.109 D.119选B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项*2加第一项，即1X2+1=3、3X2+1=7，7X2+3=17，17X2+7=41，则空中应为41X2+17=9965，35，17，3，( 1 )A.1 B.2 C.0 D.4选A。平方关系与和差关系组合，分别为8的平方加1，6的平方减1，4的平方加1，2的平方减1，下一个应为0的平方加1=14，6，10，18，34，( 66 )A.50 B.64 C.66 D.68选C。各差关系与等比关系组合。依次相减，得2，4，8，16( )，可

17、推知下一个为32，32 +34=666，15，35，77，( )A.106B.117C.136D.143选D。此题看似比较复杂，是等差与等比组合数列。如果拆分开来可以看出，6=2X3、15=3x5、35=7X5、77=11X7，正好是质数2 、3，5，7、11数列的后项乘以前项的结果，得出下一个应为13X11=1432，8，24，64，( 160 )A.160 B.512 C.124 D.164选A。此题较复杂，幂数列与等差数列组合。2=1X2的1次方，8=2X2的平方，24=3*X2，64=4X2，下一个则为5X2 =1600，6，24，60，120，( 210 )A.186 B.210 C

18、.220 D.226选B。和差与立方关系组合。0=1的3次方-1，6=2的3次方-2，24=3的3次方-3，60=4的3次方-4，120=5的3次方-5。空中应是6的3次方-6=2101，4，8，14，24，42，(76 )A.76 B .66 C.64 D.68选A。两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得3，4，6，10，18，( 34 )，得到新数列后，再相减，得1，2，4，8，16，( 32 )，此为等比数列，下一个为32，倒推到3，4，6，8，10，34，再倒推至1，4，8，14，24，42，76，可知选A。9.、其他数列。2，6，12，20，( 30 )A.40 B.

19、32 C.30 D.28选C。2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为5*6=30 1，1，2，6，24，( 120 )A.48 B.96 C.120 D.144选C。后项=前项X递增数列。1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为120=24*51，4，8，13，16，20，( 25 )A.20 B.25 C.27 D.28选B。每4项为一重复，后期减前项依次相减得3，4，5。下个重复也为3，4，5，推知得25。27，16，5，( 0 )，1/7A.16 B.1 C.0 D.2选B。依次为3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的-1次方。四、解

20、题方法数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。(一)等差数列相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。

21、等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：自然数数列：1，2，3，4，5，6偶数数列：2，4，6，8，10，12奇数数列：1，3，5，7，9，11，13例题1 ：103，81，59，( 37 )，15。A.68 B.42 C.37 D.39解析：答案为C。这显然是一个等差数列，前后项的差为22。例题2：2，5，8，( 11 )。A.10 B.11 C.12 D.13解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满

22、足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即8 +3=11，第四项应该是11，即答案为B。例题3：123，456，789，( 1122 )。A.1122 B.101112 C.11112 D.100112解析：答案为A。这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789，三项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789 +333=1122。注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从123，456，789这一排列，便选择101112，肯定不对。例题4： 11，17，23，( 29 )，35。A.25 B.27 C

23、.29 D.31解析：答案为C。这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。例题5： 12，15，18，( 21 )，24，27。A.20 B.21 C.22 D.23解析：答案为B。这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即18+ 3=21，或24-3=21，由此可知第四项应该是21。(二)等比数列相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。例题1： 2，1，1/2，( B )。A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。题中

24、第二个数字为1，第一个数字为2，两者的比值为1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即(1/2)/2，第四项应该是1/4，即答案为B。例题2： 2，8，32，128，( 512 )。A.256 B.342 C.512 D.1024解析：答案为C。这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。例题3： 2，-4，8，-16，( 32 )。A.32 B.64 C.-32 D.-64解析：答案为A。这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。(三)平方数列1、完全平方数列：正序：1，4，9，16，25逆序：100，81，64，49，362、一个数的平方是第二

25、个数。1)直接得出：2，4，16，( 256 )解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。3、隐含完全平方数列：1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，( 35 )前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案352)相隔加减，得到一个平方数列：例：65，35，17，( 3 )，1A.15 B.13 C.9 D.3解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等

26、于4的平方加1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。例：1，4，16，49，121，( 169 )。(2005年考题)A.256 B.225 C.196 D.169解析：从数字中可以看出1的平方，2的平方，4的平方，7的平方，11的平方，正好是1，2，4，7，11.。，可以看出后项减前项正好是1，2，3，4，5，。，从中可以看出应为11+5=16，16的平方是256，所以选A。例：2，3，10，15，26，( 35 )。(2005年考题)A.29 B.32 C.35 D.37解析：看数列为2=1的平方+1，3=2的平方减1，10

27、=3的平方加1，15=4的平方减1，26=5的平方加1，再观察时发现：位置数奇时都是加1，位置数偶时都是减1，因而下一个数应该是6的平方减1=35，前n项代数式为：所以答案是C.35。(四)立方数列立方数列与平方数列类似。例题1： 1，8，27，64，( 125 )解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。例题2：0，7，26，63 ，( 124 )解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。例3： -2，-8，0，64，( )。(2006年考题)A.64 B.128 C.156 D 250解析：从数列中可以看出，-2，-8，0，64

28、都是某一个数的立方关系，-2=(1-3)1，-8=（2-3）X2，0=（3-3）X3，64=（4-3）X4，前n项代数式为：，因此最后一项因该为(5-3)5250 选D例4：0，9，26，65，124，( 239 )(2007年考题)解析：前五项分别为1，2，3，4，5的立方加1或者减1，规律为位置数是偶数的加1，则奇数减1。即：前n项=n+ (-1) 。答案为239。在近几年的考试中，也出现了n次幂的形式例5：1，32，81，64，25，( 6 )，1。(2006年考题)A.5 B.6 C.10 D.12解析：逐项拆解容易发现1=1，32=2，81=3，64=4，25=5，则答案已经很明显了

29、，6的1次幂，即6 选B。 (五)、加法数列数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3例题1： 1，1，2，3，5，( 8 )。 A8 B7 C9 D10解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3 +5=8答案为A。例题2： 4，5，( 9 )，14，23，37A 6 B 7 C 8 D 9解析：与例一相同答案为D例题3： 22，35，56，90，( 145 ) 99年考题A 162 B 156 C 148 D 145解析：22 +35-1=56， 35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案为D (六)、减法数列前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3例题1：6，3，3，( 0 )，3，-3 A 0 B 1 C 2 D 3解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”) (七)、乘法数列1、前两个数的乘积等于第三个数例题1：1，2，2，4，8，32，( 256 )前两个数的乘积等于