高中数学专题训练三数列求和.docx

1、高中数学专题训练三数列求和 高中数学专题训练（三）数列求和1. 求数列,的前项和. 2 已知，求的前n项和.3. 求数列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a为常数)的前n项和。4. 求证：5. 求数列，的前n项和S6. 数列an：，求S2002.7. 求数5，55，555，555 的前n项和Sn8. 已知数列 是等差数列，且，求的值.9. 已知数列的通项公式为 求它的前n项的和.10. 在数列中， 证明数列是等差数列，并求出Sn的表达式.11. 数列为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54. 求其首项a1及公比q.12. 已知数列 求.

2、13. 设 为等差数列，Sn 为数列的前n 项和，已知S7 = 7, S15 = 75. 记Tn 为数列的前n 项和，求Tn .14. 求数列的前项和15. 已知：.求.16. 求和.17. ，求。18. 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式。19. 已知数列：，求的值。20. 求和:21. 求数列的前项和：22. 求数列的前项和。23. 求证：24. 求的值。25. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.26. 已知数列的通项公式求它的前n项和.27. 求和：28. 已知数列29. 求和30. 解答下列问题：（I）

3、设（1）求的反函数（2）若（3）若31. 设函数求和： 32. 已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证33.已知数列的各项分别为的前n项和.34已知数列满足：的前n项和 .35设数列中， 中5的倍数的项依次记为 ， （I）求的值. （II）用k表示，并说明理由. （III）求和：36数列的前n项和为，且满足 （I）求与的关系式，并求的通项公式； （II）求和37. 设数列是公差为，且首项为的等差数列，求证：答案：1. 设则两式相减得.2. 解：由 由等比数列求和公式得 13. 解：若a=0, 则Sn=0若a=1,则Sn=1+2+3+n= 若a0且a

4、1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nanaSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1 = Sn= 当a=0时，此式也成立。Sn=解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。4. 证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 5. 解：=） Sn= = =6. 解：设S2002由可得 （找特殊性质项）S2002 （合并求和） 57. n解： 因为555=n所以 Sn=5

5、+55+555+555 = = =解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。另外：Sn=可以拆成：Sn=（1+2+3+n）+()8. 为等差数列，且1+17=5+13，. 由题设易知 =117.又为与的等差中项，.9. (裂项) 于是有 方程组两边相加，即得 10. 【证明】.化简，得 Sn-1Sn= 2 Sn Sn-1两边同除以. Sn Sn-1，得 数列是以为首项，2为公差的等差数列. 11. 此数列为递增等比数列. 故q 1. 依题设，有 ，得 代入，得 代入，得 代入，得 , 再代入，得a1 =2, 再代入，得 q = 3.12. 令 （裂项） 故有 =.

6、13. 设等差数列的公差为d，则 ( I ) 解得代入（I）得 （II）数列是首项为 2，公差为的等差数列，14. 解： Sn= 15. 当为正奇数时，当为正偶数时，综上知，注意按的奇偶性讨论！16. 17. 解：因为 所以 18. 解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想S

7、n，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3，19. 解： （找通项及特征） （设制分组） （裂项） （分组、裂项求和） 20. 解:原式=21. 解：设将其每一项拆开再重新组合得 当时， 当时，22. 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 23. 证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 24. 解：设. 将式右边反序得 （反序） 又 +得 （反序相加） 25. =26. 27. 注意：数列的第n项“n1”不是数列的通项公式，记这个数列为，其通项公式是28. 为等比数列，应运用错位求和方法：29. 而运用反序求和方法是比较好的想法， ，+得30. （1）（2）是公差为9的等差数列，（3）31. 当n为偶数时=当n为奇数时32. （I），而，得的等差数列，（II）33. （1） （2）当 当时，1）当n为奇数时 2）当n为偶数时34当而，得35（I） （II）（III）36（I）（II）37. 解析：因为，。