1、高三数学抛物线方程及性质83抛物线方程及性质一、明确复习目标掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用二建构知识网络1抛物线的定义:到一个定点F的距离与到一条定直线L的距离相等的点的轨迹2标准方程:y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= -2py (p0)图形略: 3几何性质:对于抛物线y2=2px要掌握如下性质:对称轴, 顶点坐标,焦点坐标, 准线方程离心率,焦准距, 焦半经rmin4焦点弦: 对于y2=2px,过焦点的弦A(x1,y1)B(x2,y2)有, 通径:过焦点垂直于轴的弦长为。5焦半径为直径的圆与y轴相切, 焦点弦为直径的圆与准线
2、相切三、双基题目练练手1(2005江苏)抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )A B C D02 (2005上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( )A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在3 焦点在直线x2y4=0上的抛物线的标准方程是 ( )A y2=16x B y2=16x Cx2=8y D以上说法都不对4过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若PF与FQ的长分别为p、q,则等于 ( )A B C D 5 下图所示的直角坐标系中,一运动物体经过点A(0,9),其轨迹方程是y=ax2+c(a0
3、),D=(6,7)为x轴上的给定区间为使物体落在D内,a的取值范围是_;6已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M(x0, y0),F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N则点N的坐标是_(用x0表示);简答:1-4BBDC; 4考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,5把点A的坐标(0,9)代入y=ax2+c得c=9,即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9令y=0,得ax2+9=0,即x2=若物体落在D内,应有67,解得a 6.N(x0+4, 0)四、经典例题做一做【例1】给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a0,P是抛物线上的一点
4、,且PA=d,试求d的最小值解:设P(x0,y0)(x00),则y02=2x0,d=PA=a0,x00,(1)当0a1时,1a0,此时有x0=0时,dmin=a(2)当a1时,1a0,此时有x0=a1时,dmin=【例2】过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦AB,点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1,求A1FB1解法1:由抛物线定义及平行线性质知A1FB1=180(AFA1+BFB1)=180(180A1AF)(180B1BF)=(A1AF+B1BF)=90法2:设弦AB的方程是: 得,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1y2= -p2又,从而知A1FB1=90提炼方法
5、: 1平面几何法与定义法结合,简捷高效;2 弦AB的方程是: (本题不存在AB垂直于y轴的情况),避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用【例3】 如下图所示,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点Nl1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程解:以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段其中A、B分别为曲线段C的端点设曲线段C的方程为y2=2px(p0)(xAxxB,y0),其中xA、x
6、B为A、B的横坐标,p=|MN|,所以M(,0) 、N(,0)由|AM|=,|AN|=3,得(xA+)2+2pxA=17, (xA)2+2pxA=9 联立解得xA=,代入式,并由p0,或解得 p=4, p=2,xA=1 xA=2 因为AMN为锐角三角形,所以xA所以故舍去 P=2, P=4,xA=2 xA=1由点B在曲线段C上,得xB=|BN|=4综上,曲线段C的方程为y2=8x(1x4,y0)提炼方法: 1熟练运用定义确定曲线C是抛物线段;2合理选择坐标系,确定标准方程;3运用距离公式求出标准方程中的待定系数;4特别注意范围的限定【例4】(2005全国卷)设两点在抛物线上,l是AB的垂直平分
7、线 ()当且仅当取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论; ()当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围 解:()两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是x轴的平行线,不同时为0,上述条件等价于, 上述条件等价于 即当且仅当时,l经过抛物线的焦点F另解:()抛物线,即,焦点为 (1)直线的斜率不存在时,显然有 (2)直线的斜率存在时,设为k, 截距为b即直线:y=kx+b 由已知得:即的斜率存在时,不可能经过焦点 所以当且仅当=0时,直线经过抛物线的焦点F (II)(理)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为;过点A、B的直线方程可写为,所以满足方程得;A,B为抛物线上不
8、同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为,则由即得l在y轴上截距的取值范围为()法二:y1=2x12, y2=2x22, 相减得,中点在抛物线内必【研讨欣赏】(2005山东文)已知动圆过定点,且与直线相切,其中(I)求动圆圆心的轨迹的方程;(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标解:(I)如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为(II)如图,设,由题意得。又直线的倾斜角满足,故。
9、直线的斜率存在,否则,的倾斜角。从而设直线的方程为,显然,将与联立消去,得由韦达定理知由,得。将式代入上式整理化简,得:此时直线的方程可表示为:,即。直线恒过定点五提炼总结以为师1求抛物线方程的方法:待定系数法,定义法,直接法;2涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时,要注意运用“设而不求”的策略,避免求交点坐标的复杂运算3解决焦点弦问题时,应注意抛物线的定义和焦点弦的几何性质应用,注意抛物线上的点,焦点,准线三者之间的联系同步练习 83抛物线方程及性质 【选择题】1(2005全国)抛物线上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( )A2 B3 C4 D52 已知点F是抛物线的焦点
10、,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是 ( ) A B C D 3一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为 ()A B C D4 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为 ( )A BC D 不确定【填空题】5抛物线的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是 _ 6对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)
11、能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_(要求填写合适条件的序号)简答提示:14:DCCC;2 把转化为M到准线的距离,然后求的最小值3 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题。4向量解法: 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出5可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短,答案6由抛物线方程y2=10x可知满足条件答案:【解答题】7(2005春北京文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2, y2)两点(1)求x1x2与y1y2的值;(2)求证:OMON()解:直线l的方程为 代入y2=2x消去y可得
12、 点M,N的横坐标x1与 x2是的两个根,由韦达定理得()证明:设OM,ON的斜率分别为k1, k2,8(本小题满分14分)(2005年高考广东卷17)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO(如图4所示) ()求AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; ()AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由解:(I)设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 则 (1)OAOB,即,(2)又点A,B在抛物线上,有,代入(2)化简得,所以重心为G的轨迹方程为(II)由(I)得当且仅当即时,所以
13、AOB的面积存在最小值,且最小值为19(本小题满分14分)(2005年春考北京卷理18)如图,O为坐标原点,直线在轴和轴上的截距分别是和,且交抛物线于、两点(1)写出直线的截距式方程;(2)证明:;(3)当时,求的大小()解:直线l的截距式方程为 ()证明:由及y2=2px消去x可得 点M,N的纵坐标y1, y2为的两个根,故()解:设OM,ON的斜率分别为k1,k2,10(2000春全国)已知抛物线y24px(p0),O为顶点,A、B为抛物线上的两动点,且满足OAOB,如果OMAB于M点,求点M的轨迹方程分析:点M随着A、B两点的变化而变化,点M是OM与AB的交点,而A、B为抛物线上的动点,
14、点M与A、B的直接关系不明显,因此需引入参数解法一:设M(x0,y0),则kOM=,kAB=,直线AB方程是y=(xx0)+y0由y2=4px可得x=,代入上式整理得x0y2(4py0)y4py024px02=0 此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标,A(,y1)、B(,y2)OAOB,kOAkOB=1=1y1y2=16p2根据根与系数的关系,由可得y1y2=,=16p2化简,得x02+y024px0=0,即x2+y24px=0(除去原点)为所求点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点解法二:设M(x,y),直线AB方程为y=kx+b,由OMAB得k=由y2=4px及y=kx+
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