二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解.docx

1、二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解2011年 6月第 25卷第 2期总 84期 北京联合大学学报 (自然科学版 Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun2011Vol25No2Sum No84收稿日期 20100920作者简介 王海菊 (1966 , 女 , 黑龙江人 , 北京联合大学基础部讲师 , 研究方向为应用数学与数学教学 。二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法王海菊(北京联合大学 基础部 , 北京100101摘 要 求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法 , 计算量很大 。 本文在不

2、脱离教材特解的求法 ,利用推导特解过程中出现的重要式子 Q (x +(2+p Q (x +(2+p +q Q (x =P m (x , 简 化 待 定 系 数 法 求 特 解 的 过 程 。 对 右 端 非 齐 次 项 e x P l (x cos x +P n (x sin x 是先设变换 , 化简右端非齐次项 。 关键词 微分方程 ; 特解 ; 待定系数法 中图分类号 O 241. 8文献标志码 A文章编号 1005-0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order LinearNon-ho

3、mogeneous Differential Equation with Constant CoefficientsWANG Hai-ju(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing100101, China Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coeff

4、icients , which is relatively complexInstead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adoptedThe solution of the problem can be simplifiedKey words :differential equation ; constant coefficients ; particulars0引言一般教材中 , 二

5、阶常系数线性的非齐次方程 y+py +qy =f (x (1 的特解采用待定系数法 1, 计 算量很大 , 也 很 繁 琐 ; 有 的 文 献 给 出 特 解 公 式2-3,又很难记住公式 。 采取以下方法减少运算量 , 又不 偏离教材中 求 特 解 的 方 法 。 常 见 的 方 程 右 端 非 齐 次项 f (x 主要有两种类型 :f (x =P m (x e x 及 e x P l (x cos x +P n (x sin x 1f (x =P m (x e x型解法是 设 特 解 y*=x k Q m (x e x =Q (x e x ,其中 Q (x =x kQ m (x 是 k +

6、m 次多项式 , 将特解y *代入方程 (1 , 化简并整理得 :Q (x +(2+p Q (x +(2+p +q Q (x =P m (x 。 (2结论1 不是特征方程的根时 , 取 k =0,2+p 及 2+p +q 都不为零 ;2 是特征方程的单根时 , 取 k =1, 2+p +q =0, 此 时 式 (2 就 简 化 为 Q (x +(2+p Q (x =P m (x ;3 是特征方程的重根时 , 取 k =2, 2+p +q =0, 且 2+p =0, 此时式 (2 就简化为 Q (x =P m (x 。北京联合大学学报 (自然科学版 2011年 6月可见 利 用 式 (2 , 只

7、 需 求 Q (x 及 Q (x 即可 , 不需求 y *的一阶 , 二 阶导 数 , 可 以 大 大 简 化 此类题的计算量 。 以教材 1中例题或习题为例 。 求y 2y +y =(2x +1 e x 的特解 。解 :由于 =1, 不是特征方程 的 单 根 , 取 k=0。设特解 y *=(ax +b e x , 则 Q (x =ax +b ,将 Q (x 代入式 (2 有 :(22 a +(1+2+1 (ax +b =2x +1,即 :4ax 4a +4b =2x +1。由待定系数法得 :a = 12, b =34, Q (x =12x + 3 4。因此求得一个特解为 y *=12x +

8、(3 4 e x ,求 y 5y +6y =x e 2x 的特解 。解 :由于 =2, 是特征方程的单根 , 取 k =1, Q (x 的系数为零 。设特解 y *=x (ax +b e 2x , 则 Q (x =ax 2+ bx , 将 Q (x 代入式 (2 有 :2a +(45 (2ax +b =x ,即 :2ax +2a b =x 。由待定系数法得 :a = 12, b =1, Q (x =12x 2x 。因此求得一个特解为 :y *=x 1 2 x (1e 2x 。 求 y 6y +9y =(x +1 e 3x 的特解 。解 :由于 =3, 是特征方程的重根 , 取 k =2, 则

9、Q (x , Q (x 的系数都为零 。可设特解 y *=x 2(ax +b e 3x , 则 Q (x =ax 3 +bx 2, 将 Q (x 代入式 (2 有 :6ax +2b =x +1。由待定系数法得 :a = 16, b = 1 2 ,因此求得一个特解为 y *=x 216x +(1 2 e 3x 。2f (x =e x P l (x cos x +P n(x sin x 型 特解可设为 :y *=x k e x R (1 m (x cos x +R (2m(x sin x 。主要是当 0时 , 用待定系数法求特解是很 麻烦的 。不妨先 设 变 换 y =e x u (x 代 入 式

10、 (1 , 消 去 e x , 得到一个与式 (2 极相似的式子 u (x +(2+p u (x +(2+p +q u (x =Pl(x cos x +Pm(x sin x (3 。这时方程 (3 没有 e x , 简化了非齐次项 , 就可 利用式 (3 来简化运算 。求 y y =e x cos2x 的一个特解 。解 :通 常 解 法 是 设 特 解 y *=e x (a cos2x + b sin2x , 求 y *的一阶 、 二阶导数是很麻烦的 , 那么 可先设变换 y =e x u (x 。将 u (x 代入式 (3 , 原题应简化为 :u (x +2u (x =cos2x 。 (4

11、设 (4 式的特解 u *=a cos2x +b sin2x , 代入式 (4 , 有 :4a cos2x 4b sin2x 4a sin2x +4b cos2x =cos2x 。比 较 两 端 同 类 项 的 系 数 , 有4a +4b =1 a +b = 0得 :a =18b =18。于是所求方程的一个特解为 :y *=18e x (sin2x cos2x 。求 y 2y +5y =e x sin2x 的一个特解 。 解 :先 设 变 换 y =e x u (x , 将 u (x 代 入 式 (3 , 原题就化简为 u +(12+5 u =sin2x , 即 :u +4u =sin2x 。

12、 (5 设式 (5 的特解 u *=x (a cos2x +b sin2x , 将 u *代入方程 (5 , 得 4a sin2x +4b cos2x = sin2x 。比较两端同类项的 系数 , 得a =14b =0, 即 u * =14x cos2x 。故 所 求 原 方 程 的 一 个 特 解 为 y *=14x e x cos2x 。教材通常的解法是设特解 y *=x e x (a cos2x + b sin2x , 将此特解代入 原微分方程中 , 需求 y *的47第 25卷第 2期 王海菊 :二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法一阶 、 二阶导数 , 而 y *是 3个 函 数

13、 乘 积 , 求 解 过 程 运算量很大 , 易出错 。通过例子 , 我 们 看 到 , 求 Q (x 或 u *的 一 阶 、二阶导数要比求 y *的一阶 、 二阶导数容易得多 , 又没偏离教材求 二 阶 常 系 数 线 性 的 非 齐 次 方 程 特 解 的基本方法 。参考文献 1同济大学数学系 高等数学 (上册 M 6版 北京 :高等教育出版社 , 2007. 2陈新一 一类二阶常系数微分方程的特解 J 高等数学研究 , 2010, 13(1 :8788.3朱德刚 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式 J 高等数学研究 , 2010, 13(3 :1516.(责任编辑 柴智 檪檪檪檪檪

14、檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 殏殏殏殏简讯 北京联合大学学报 (人文社科版 成为全国高校学报新秀2011年 3月 29日 , 中国人民大学人文社会科学学术成果评价研究中心发布了 “ 2010年度 复印报刊资料 转载学术论文指数排名 ” 。 北京联合大学学报 (人文社科版 取得了可喜成绩 , 在全国高等院校主办学报的排名中 ,按全文转载率排名第 26位 , 按综合指数排名第 43位 。 全国各类高等院校主 办的学报约有 1150种 ,被 2010年度 复印报刊资料 全文转载的学报有 435种 , 约占总数的 378%; 共被转载全文总数为 2763篇 , 约占 复印报刊资料 全文转载总量 (13531篇 的